第3章 3.1 空间向量基本定理（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，系统讲解基向量概念、定理内容及应用。课前通过问题链（平面向量基底要求→空间向量共面问题）衔接平面向量知识，搭建从二维到三维的学习支架，帮助学生自然过渡。 其亮点在于以问题驱动预习，结合分层例题（如三棱柱基底选择、平行六面体向量表示），培养数学抽象、逻辑推理与数学运算素养。课堂小结结构化梳理基向量要点及表示方法，学生能循序渐进构建知识，教师可直接用于教学，提升效率。

第三章　空间向量与立体几何 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 §3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算 §3.1　空间向量基本定理 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（二十） Part 03 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 {a，b，c} a，b，c 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 答案：C 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 答案：3 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 课时作业（二十） 点击进入word 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 掌握空间向量基本定理，理解一组基、基向量的概念，会用向量基本定理解决相关问题． 1.通过空间向量基本定理，提升数学抽象的核心素养．2.通过用一组基表示向量并灵活应用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　空间向量基本定理 [问题1]　平面向量对基底有什么要求？ 答：要求两个基向量不共线． [问题2]　平面内任意向量都能用基底表示吗？ 答：是． [问题3]　空间中存在不共面的两个向量吗？三个向量呢？ 答：空间中任意两个向量共面，三个向量可能共面也可能不共面． ►知识填空 1．空间向量基本定理 如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.这时 叫作空间的一组基，其中 都叫作基向量． 2．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基． [拓展]　当a，b，c不共面时，xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0. [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)0也可以作为基向量．(　　) (2)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间一个基底．(　　) (3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．在三棱柱ABC ­A1B1C1中，可以作为空间向量一组基的是(　　) A． eq \o(AB,\s\up15(→))， eq \o(BC,\s\up15(→))， eq \o(A1C1,\s\up15(→)) B． eq \o(AB,\s\up15(→))， eq \o(AB1,\s\up15(→))， eq \o(AA1,\s\up15(→)) C． eq \o(AB,\s\up15(→))， eq \o(AC,\s\up15(→))， eq \o(AA1,\s\up15(→)) D． eq \o(AA1,\s\up15(→))， eq \o(AC,\s\up15(→))， eq \o(A1C1,\s\up15(→)) 解析：选C　C不共面的三个向量可以作为一组基． 3．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若 eq \o(PA,\s\up15(→))＝a， eq \o(PB,\s\up15(→))＝b， eq \o(PC,\s\up15(→))＝c，则 eq \o(BE,\s\up15(→))＝(　　) A． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c B． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,2)c C． eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＋ eq \f(1,2)c D． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋ eq \f(3,2)c 4．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{ eq \o(AO1,\s\up15(→))， eq \o(AO2,\s\up15(→))， eq \o(AO3,\s\up15(→))}为一组基， eq \o(AC′,\s\up15(→))＝x eq \o(AO1,\s\up15(→))＋y eq \o(AO2,\s\up15(→))＋z eq \o(AO3,\s\up15(→))(x，y，z∈R)，则x＝______________，y＝__________，z＝__________． 答案：1　1　1 题型一　对基向量、一组基的理解 [例 1]　已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且 eq \o(OA,\s\up15(→))＝e1＋2e2－e3， eq \o(OB,\s\up15(→))＝－3e1＋e2＋2e3， eq \o(OC,\s\up15(→))＝e1＋e2－e3，试判断{ eq \o(OA,\s\up15(→))， eq \o(OB,\s\up15(→))， eq \o(OC,\s\up15(→))}能否作为空间的一组基？若能，试以此组基表示向量 eq \o(OD,\s\up15(→))＝2e1－e2＋3e3；若不能，请说明理由． 解：假设 eq \o(OA,\s\up15(→))， eq \o(OB,\s\up15(→))， eq \o(OC,\s\up15(→))共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使 eq \o(OA,\s\up15(→))＝x eq \o(OB,\s\up15(→))＋y eq \o(OC,\s\up15(→))成立， ∴e1＋2e1－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一组基， ∴e1，e2，e3不共面， ∵ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程组无解， 即不存在实数x，y使 eq \o(OA,\s\up15(→))＝x eq \o(OB,\s\up15(→))＋y eq \o(OC,\s\up15(→))， ∴ eq \o(OA,\s\up15(→))， eq \o(OB,\s\up15(→))， eq \o(OC,\s\up15(→))不共面． 故{ eq \o(OA,\s\up15(→))， eq \o(OB,\s\up15(→))，OC}能作为空间的一组基． 设OD＝p eq \o(OA,\s\up15(→))＋q eq \o(OB,\s\up15(→))＋z eq \o(OC,\s\up15(→))，则有2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)·e2＋(－p＋2q－z)e3. ∵{e1，e2，e3}为空间的一组基， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p－3q＋z＝2，,2p＋q＋z＝－1，,－p＋2q－z＝3，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝17，,q＝－5，,z＝－30.)) ∴ eq \o(OD,\s\up15(→))＝17 eq \o(OA,\s\up15(→))－5 eq \o(OB,\s\up15(→))－30 eq \o(OC,\s\up15(→)). [反思感悟] 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为一组基，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组．若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基．给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间的一组基的有______个． 解析： 如图，设a＝ eq \o(AB,\s\up6(→))，b＝ eq \o(AA1,\s\up6(→))，c＝ eq \o(AD,\s\up6(→))，则x＝ eq \o(AB1,\s\up6(→))，y＝ eq \o(AD1,\s\up6(→))，z＝ eq \o(AC,\s\up6(→))，a＋b＋c＝ eq \o(AC1,\s\up6(→)).由A，B1，D1，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的一组基，因为x＝a＋b，所以a，b，x共面，故不能作为空间的一组基． 题型二　空间向量基本定理的应用 [例 2]　在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，设 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AD,\s\up6(→))＝b， eq \o(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示 eq \o(D1B,\s\up6(→))， eq \o(EF,\s\up6(→))； (2)若 eq \o(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 解：(1)连接AF， eq \o(D1B,\s\up15(→))＝ eq \o(D1D,\s\up15(→))＋ eq \o(DB,\s\up15(→))＝－ eq \o(AA1,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(AD,\s\up15(→))＝a－b－c， eq \o(EF,\s\up15(→))＝ eq \o(EA,\s\up15(→))＋ eq \o(AF,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(D1A,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up15(→))＝－ eq \f(1,2)( eq \o(AA1,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→)))＋ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→)))＝ eq \f(1,2)(a－c). (2)因为 eq \o(D1F,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(D1D,\s\up15(→))＋ eq \o(D1B,\s\up15(→)))＝ eq \f(1,2)(－ eq \o(AA1,\s\up15(→))＋ eq \o(D1B,\s\up15(→)))＝ eq \f(1,2)(－c＋a－b－c)＝ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b－c， 所以x＝ eq \f(1,2)，y＝－ eq \f(1,2)，z＝－1. [反思感悟] 用一组基表示向量的方法 (1)根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基． (2)用确定的空间的一组基(或已知空间的一组基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． 四面体OABC中，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，若 eq \o(OG,\s\up15(→))＝x eq \o(OA,\s\up15(→))＋y eq \o(OB,\s\up15(→))＋z eq \o(OC,\s\up15(→))，则x＋y＋z＝________． 解析：∵ eq \o(OG,\s\up15(→))＝ eq \o(OM,\s\up15(→))＋ eq \o(MG,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(MN,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \f(2,3)( eq \o(ON,\s\up15(→))－ eq \o(OM,\s\up15(→)))＝ eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(\o(OB,\s\up15(→))＋\o(OC,\s\up15(→)))－\f(1,2)\o(OA,\s\up15(→))))＝ eq \f(1,6) eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up15(→))，又 eq \o(OA,\s\up15(→))， eq \o(OB,\s\up15(→))， eq \o(OC,\s\up15(→))不共面． ∴x＝ eq \f(1,6)，y＝ eq \f(1,3)，z＝ eq \f(1,3)，∴x＋y＋z＝ eq \f(5,6). 答案： eq \f(5,6) [课堂小结] 1．基向量中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为一组基，隐含着三个向量一定为非零向量． 2．用一组基表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． $$