3.3.1 空间向量基本定理-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

●079 §3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算的坐标表示 3.1空间向量基本定理 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.掌握空间向量基本1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基本定理，能通过空间向量的线 定理 性运算用基底表示空间向量，培养逻辑推理的核心素养！ 2.会用空间向量基本2.重点理解空间向量基本定理，它是将几何问题转化为向量问题，并使用 定理解决有关 代数的方法解决立体几何问题的基础，培养数学抽象和直观想象的核 问题 心素养 必备知识探新知 知识点空间向量基本定理 空间向量基本定理：如果向量，b,c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存 在唯一的三元有序实数组(x,y,2),使得 由上述定理可知，如果向量，b,c是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就 是{plp=xa+yb+zc,x,y,8∈R,这个集合可以看成是由向量a,b,c生成的，这时{a,b,c}叫作空 间的一组基，其中a,b,c都叫作基向量. 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 题型一基的判断 判断基的基本思 例.)设x=a+b)=b+c,这=c+a,且a,bc是空间的一组基，给出 路及方法 基木思 图形判断 下列向量组：①{4，b,x},②{x,y,z},③{b,c,z,④{x,y,a+b+c} 设a=b+e 其中可以作为空间一组基的向量组有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 可作为香<程组有 是是 (2)已知{e1,e2,e}是空间的一组基，且0A=e1+2e2-e3,0B=-3e1 不可作为基 +e2+2e3,0C=e1+e2-e,试判断{OA,OB,0C能否作为空间的一 组基 [规律方法] 080 )对点训练1 下列各组向量能构成一组基的是 规律方法： A.长方体ABCD-AB,C,D,中的向量AB,AC,AD 用基表示空间向 B.三棱锥A-BCD中的向量AB,AC,AD 量的解题策略 C.三棱柱ABC-AB,C,中(E是A,C,的中点)的向量AA,A正，AC 1.在空间中，任 一向量都可以用一组 D.四棱锥S-ABCD中的向量DA,DB,DC 基表示，且只要基确 题型二用基表示空间向量 例2如图在三棱柱ABC-ABC中，已知=a,店 定，则表示形式是唯 一的. b,AC=c,点M,N分别是BC',B'C'的中点，试用基 ~、B 2.用基表示空间 {a,b,c}表示向量AM,AN. BL== 向量时，一般要结合 [分析]利用图形寻找待求向量与a,b,c的关系→ 图形，运用向量加 利用向量运算进行拆分→直至向量用a,b,c表示. 法、减法的平行四边 形法则、三角形法 则，以及数乘向量的 运算法则，逐步向基 向量过渡，直至全部 用基向量表示 3.在空间几何体 中选择基时，通常选 取公共起点最集中的 向量或关系最明确的 向量作为基，例如， 在正方体、长方体、 D[规律方法] 平行六面体、四面体 中，一般选用从同一 对点训练2 页点出发的三条棱所 已知正方体ABCD-A,B,C,D,中，点E为上底面AB,C,D的中心，若AE 对应的向量作为基 =AA+xAB+yAD,则x,y的值分别为 A.x=1,y=1 Bx=1y=分 C.x={y=1 1 2y=2 D.x=2y=1 题型三空间向量基本定理 规律方法： 例3·间四边北01BC中，6H分别是△BC,△0BC的重心，设Oi=a, 用基底表示空间 向量时，要注意运用 OB=b,OC=c,试用向量a,b,c表示GH. 数形结合的思想，尽 量向基向量靠拢 ·[规律方法] 087 )对点训练3 设0为口ABCD所在平面外任意一点，E为0C的中点，若花=0币+x0店+y0i,求x,y 的值 ●易错警示 例4.图所示.已知空间四边形01Bc,其对角线为O,4C,M,N分别为OA,BC 的中点，点G在线段MW上，且MG=2G示，若OC=xOA+yOB+zOC,则x,y, z的值分别为 [错解]因为M为0A的中点，所以Oi=)0A 因为心=2成，所以w=子， 所以0心-0i+MG=0i+号=0i+子(om-0功=}o成i+号oN 了×i+(o呢+0心)右i+号+0C 6 苏以，的值分别为行号号 [辨析]错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当.实际 上，本题中由N是BC的中点知ON=(O店+0). [正解] 课堂检测 固双基 1.设p:a,b,c是三个非零向量；q:{a,b,c}为空3.如图，ABCD-A,B,CD1是平行六面体，则下列 间的一组基，则p是q的 错误的一个命题是 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A.存在唯一的实数对x,y,使得AC=xAB 2.在平行六面体ABCD-A,B,C,D1中，AB+AD +yAD +AA1的运算结果是 B.存在唯一的实数对x,y,使得AC=xAB A.AC B.AC +yAD C.BD D.BD C.存在唯一的有序实数组x,y,z,使得AC1= 082 x AB+y AD+AA F分别是PC和PB的中点，试用a,b,c表示 D.存在唯一的有序实数组x,y,,使得AC= BE.BE.AE.EF. x AB+y AD AA 4.正方体ABCD-A'B'C'D'中，O1,O2,O3分别是AC, AB',AD'的中点，以{AO,AO,A0,}为空间的一组 基，AC=xAO1+yAO2+zAO3,则x,y,z的值是 ( A.1,1,1 B.111 2’2’2 c.222 D.2,2,2 2’2’2 5.如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形， 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[20] P01平面0ABC,设0i=a,0元=b,02=c,E, 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐1.对于空间向量运算的坐标表示，可类比平面向 标表示 量运算的坐标表示并加以理解，两者的实质一 2.掌握空间向量运算的坐标表示. 样，只是表达形式不同，前者可看作是后者的推 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用. 广，培养逻辑推理的核心素养 4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离2.关注空间向量平行与垂直的坐标表示并进行正 公式，能运用公式解决问题， 确运算. 必备知识探新知 知识点1空间向量运算的坐标表示 1.标准正交基 在空间直角坐标系0-xz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i,j,k,这三个互相垂直 的单位向量就构成空间向量的一组基i,j,k,这组基叫作标准正交基. 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,),使得p= xi+yj+zk. 把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量p在标准正交基{ij,k}下的坐标，记作p=(x,y,z). 单位向量i,j,k都叫作坐标向量. 2.若点A的坐标为(1，y1,),点B的坐标为(x22,2),则A=0店-Oi(2-x1y2-y,-), 也就是说：一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去相 应的起，点的坐标 3.空间向量运算的坐标表示 设向量a=(x1少1，之)，b=(x2少2,2)，根据空间向量的运算法则，不难得到： (1)a+b=(x1+x2,y1+y2,31+32);2E成.d-2111店1cms120°=2·号·s120a+b+7c --2 对点训练2：C如图，A正=AA+A,龙= 故结果为a2的式子的序号是② +G=+分硒+， B 课堂检测固双基 1.D由正四面体每个面都是正三角形可知，(B元，C⑦)=180° 放=子y=分 1 D (CB,Ci)=180°-60°=120°，故选D. 例3：设BC边中点为D,则G=Oi 2D因为A正=D元，所以四边形ABCD为平行四边形 -0c. 所以D0=0,Ai=B元，OA=Cd 3.A因为2Ad+C2=0,所以C2=-2A元=2C,则0元+0= 0i子励-子×分成d=g6+e0. 20A,故0元=20A-0i. 0心=0i+a花=0i+号d 4.Aa·a=la2,.√a·a=lal,故①正确. m(Aa)·b=(ma)·b=mAa·b=(mA)a·b(m,AeR),故② =0i+号(0-0i 正确.a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故③ 正确a2b=la2b,b2a=1b12a,又a,b不共线，故④不正确. =号0i+子x分a成+od) 5.Ba-b与a垂直，(a-b)·a=0.a·a-a·b=la2- =a++字， a1lb1csa,b)=1-1x2×as(a.b)=0,ms(a,b)=号 .0°≤(a,b〉≤180°，.∴.〈a,b〉=45° 3, §3空间向量基本定理及向量的直角 i=34 坐标运算的坐标表示 对点训练3：A正=A应+B元+C立 =0i-0i+0心-0i-)0d 3.1空间向量基本定理 必备知识探新知 =-ai+o成=-a+2o成+Dd 知识点p=xa+yb+zc =-0i+)(0币+) 关键能力攻重难 例1：(1)C如图所示，令a=AB,b=AA,c=AD,则x=AB,y =-i+20i+2(0成-0i =AD,z=AC,a+b+c=AC. 由于A,B,C,D四点不共面，可知向量x,y,2也不共面，同理 名a+2市+应， b,c,z和x,y,a+b+c也不共面，故选C 1 D =宁=子 C B 例4：6g号 M为01中点，0i=)O B :-20试证=子城 (2)设0A=x02+y0元，则e,+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e)+ 0心=0成+心-o成+子=}oi+子o y(e1+e2-e), 即e1+2e-e=(y-3x)e:+(x+y)e+(2x-y)e, ry-3x=1, =分i+号成+动 ·{x+y=2,此方程组无解.即不存在实数x,y,使得OA=x0 =。i+成+d, 2x-y=-1. +y0C, 的值分将为石分号 所以0,0,0心不共面 课堂检测固双基 所以0A,0B,0心能作为空间的一组基 1.B当非零向量a,b,c不共面时，a,b,c}可以作为空间的一组 对点训练1：B 基，否则不能作为基.当{a,b,c}为基时，一定有a,b,c为非零向 例2：连接A'W 量.因此p是q的必要不充分条件 应=店+2B配=A店+2(Bd+C=店+28配+2元2B+0+=A花+=C :3.A若选项A中命题为真，则可得到AC,AB,AD共面.而由图可知 =+乃（配-商）+分=+乃花+=之(a++配，破不共面 c), 4.A如图所示，C=应+d+=之（店+动）+(+ 成=+=A+(4E+AC=+(店+A花)= )+(+)=0+a0+40, 一319— 则M03)3)-(30,) MB 又AC=xAO+yAO,+zAO,所以根据空间向量基本定理的唯一 D C 性得x=y=z=1 例2：(1)a+b=(2,-1,3)+(0,-1,2) 5连接80，则8-励-2(8d+0耐 =(2+0,-1-1,3+2)=(2,-2,5). (e-b-m)-a-e (2)2a-3b=(4,-2,6)-(0,-3,6)=(4,1,0). (3)a·b=(2,-1,3)·(0,-1,2) 成=+成=-a+本 =2×0+(-1)×(-1)+3×2=7. (4)(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+1+9-0-1-4=9. =-a+2(ad+0ò 对点训练2：(1)9b+c=(2,0,5),a·(b+c) =(2,-3,1)·(2,0,5)=9. =-a-2+2c (2)-381al=√14，b1=√3， (a+2b)·(a-2b) 正=+P元-0+0+(P而+o心) =1a12-41b12=-38 =-a+c+(-c+)=-a+2b+c 例3：(1)ha+b=(k-2,5k+3,-k+5) a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16). -2i-2i-2a :(ha+b)∥(a-3b), 号弘号诺解得=行 3.2空间向量运算的坐标表示及应用 (2).(ka+b)⊥(a-3b), 关键能力攻重难 ∴.(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0. 例1：由已知A010B,0,010A,0,010B,从而建立以OA, 0店，00方向上的单位向量i,j,k为正交基的空间直角坐标系 解得6=195 0-xyz,如图， 对点训练3：证明：如图所示，建立空间 直角坐标系，设正方体的棱长为1个单位， 则A(1,0,0),A1(1,0,1), B 0.0,)o30 m=-成-（分3 -成-i=(-1,0,2) d=×(-)+(-2)x0+1x=0， 则0A=4i,02=2j,00=4k; .OA⊥A立 例4：(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则有 Dd=-0成=-(00+0=-[o0+2(o+0成)】 0.0）20.c0.1,0.B11,D =-00-}0-)0成 =-2i-j-4k, 故D0的坐标为(-2，-1，-4). A,B=02-0A=0i-(01+AA)=0i-0-AA=-4i +2j-4k, 故A1B的坐标为(-4,2，-4). 即D0=（-2,-1,-4),A1B=(-4,2,-4). 对点训练1：(1)(-2,0,1)（1,1,2)A(2,0,0),M(0, 0,1),0(1,1,0),B(2,2,2), 则脉=（分3-(0,0，）=（分3，）t .A7=(0,0,1)-(2,0,0)=(-2,0,1),0B=(1,1,2). 2)以D8,4P所在直线分别为x轴了轴、轴建立空间(0.1,0-（11,1)=(-1,0，-1)， 直角坐标系如图所示， 一320