第3章 2 空间向量与向量运算（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦选择性必修第一册第三章“空间向量与立体几何”，涵盖空间向量的基本概念（有向线段、相等向量等）、向量运算及立体几何空间形式。通过课前预习梳理概念，课堂互动结合空间几何体示意图，帮助学生从平面向量过渡到空间向量，构建知识支架。 其亮点在于以“预习-互动-作业”完整教学链为框架，借助空间几何体示意图培养几何直观（数学眼光），通过概念辨析与逻辑推理发展数学思维，答案提示与课时作业强化数学语言表达。学生能提升空间观念与推理能力，教师可依托系统资料高效实施教学。

第三章　空间向量与立体几何 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 §2 空间向量与向量运算 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十九） Part 03 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 大小 方向 有向线段 大小 有向线段 |a| 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 相等 相同 起点 相反 相等 －a 重合 平行 平行 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 不共线 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 答案：(1)AB　(2)0 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 答案：B 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 课时作业（十九） 点击进入word 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．3.掌握空间向量运算(线性运算、数量)的定义和运算律，并能综合应用． 1.通过类比的方法得到空间向量的概念和运算，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养．2.通过对空间向量的线性运算和数量积的几何意义的学习，培养数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　从平面向量到空间向量 [问题1]　平面内既有大小又有方向的量是什么？ 答：向量． [问题2]　有哪些特殊的平面向量？ 答：零向量、单位向量、相等向量、相反向量等． [问题3]　能否类比平面向量，定义空间中的向量呢？ 答：能． ►知识填空 1．空间向量的概念及表示 (1)与平面向量类似，在空间中，我们把具有 和 的量叫作空间向量．向量的 叫作向量的长度或模． (2)空间向量也有两种表示法：一种用 表示，另一种用a，b，c，…表示，书写用a→，b→，c→，…表示． 2．空间向量的模 表示向量a的 的长度叫做向量的长度或模，用 表示． 3．特殊的空间向量 名称 定义及表示 相等向量 方向 且模 的向量，如a＝b 自由向量 数学中所研究的向量，与向量 无关 相反向量 方向 且模 的向量，a的相反向量用 表示 零向量 规定模为0的向量记作0，零向量的方向为任意方向 共线(平行)向量 表示向量的两条有向线段所在的直线 或 ，称这两个向量互为共线向量，规定0与任意的向量 共面向量 能平移到同一平面内的向量叫作共面向量 2.空间向量共线和共面的充要条件 共线(平行)向量 共面向量 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在唯一实数λ，使 ．(共线向量基本定理或一维向量基本定理) 如果两个向量a，b ，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝ a＝λb xa＋yb 知识点三　空间向量的数量积 [问题1]　平面内两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？ 答：在平面内任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up15(→))＝a， eq \o(OB,\s\up15(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. 规定：0≤〈a，b〉≤π. [问题2]　平面向量的数量积是如何定义的？ 答：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos_〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉． [问题3]　能否类比平面向量的数量积，定义空间向量的数量积？ 答：能，因为空间中任意两向量共面． ►知识填空 1．两个向量的夹角 (1)夹角的定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up15(→))＝a， eq \o(OB,\s\up15(→))＝b，则∠AOB叫做向量的夹角，记作 ． 〈a，b〉 (2)夹角的范围： ． ①两个向量的夹角唯一，且〈a，b〉＝〈b，a〉； ②当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同； ③当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反． (3)两个向量垂直，当〈a，b〉＝ eq \f(π,2)时，称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.规定：零向量与任意向量垂直． [0，π] eq \r(a·a) 2．空间两个向量的数量积 定义 已知两个空间向量a，b则 叫做a，b的数量积，记作 ，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．零向量与任意向量数量积为0. 性质 (1)cos 〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0)；(2)|a|＝ ；(3)a⊥b⇔a·b＝0 |a| |b| cos〈a，b〉 eq \f(a·b,|a||b|) 性质 (3)a⊥b⇔a·b 运算律 交换律 a·b＝ 分配律 a·(b＋c)＝ 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝ b·a λ(a·b) a·b＋a·c a0·b 3.投影向量与投影数量 (1)如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up15(→))＝a， eq \o(OB,\s\up15(→))＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量 为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于 ． (2)向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos 〈a，b〉＝ ＝ ．(其中a≠0，a0为与向量a同方向的单位向量) eq \o(OB1,\s\up15(→)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|b|cos 〈a，b〉)) eq \f(a·b,|a|) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在空间中，任意一个向量都可以进行平移.(　　) (2)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　) (3)若向量 eq \o(AB,\s\up15(→))与 eq \o(CD,\s\up15(→))的夹角为α，直线AB与CD所成的角也为α.(　　) (4)a·b＝a·c且a≠0⇒b＝c.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．化简 eq \o(PM,\s\up15(→))－ eq \o(PN,\s\up15(→))＋ eq \o(MN,\s\up15(→))所得的结果是(　　) A． eq \o(PM,\s\up15(→))　　　　　　　　B． eq \o(NP,\s\up15(→)) C．0 D． eq \o(MN,\s\up15(→)) 答案：C 3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________． 答案： eq \f(2,3)π 解析：因为cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－3,3×2)＝－ eq \f(1,2). 所以〈a，b〉＝ eq \f(2,3)π. 4．已知向量a，b满足|a|＝1，且a·b＝2，a与b的夹角为 eq \f(π,3)，则|b|＝________，b在a方向上的投影数量为________． 答案：4　2 题型一　空间向量的线性运算 [例 1]　 (1)(多选)如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为 eq \o(BD1,\s\up6(→))的是(　　) A． eq \o(A1D1,\s\up15(→))－ eq \o(A1A,\s\up15(→))－ eq \o(AB,\s\up15(→)) B． eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(BB1,\s\up15(→))－ eq \o(D1C1,\s\up15(→)) C． eq \o(AD,\s\up15(→))－ eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(DD1,\s\up15(→)) D． eq \o(B1D1,\s\up15(→))－ eq \o(A1A,\s\up15(→))＋ eq \o(DD1,\s\up15(→)) (2)化简( eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(CD,\s\up15(→)))－( eq \o(AC,\s\up15(→))－ eq \o(BD,\s\up15(→)))＝________． 解析：(1)A中， eq \o(A1D1,\s\up15(→))－ eq \o(A1A,\s\up15(→))－ eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(AD1,\s\up15(→))－ eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(BD1,\s\up15(→))； B中， eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(BB1,\s\up15(→))－ eq \o(D1C1,\s\up15(→))＝ eq \o(BC1,\s\up15(→))＋ eq \o(C1D1,\s\up15(→))＝ eq \o(BD1,\s\up15(→))； C中， eq \o(AD,\s\up15(→))－ eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(DD1,\s\up15(→))＝ eq \o(BD,\s\up15(→))－ eq \o(DD1,\s\up15(→))＝ eq \o(BD,\s\up15(→))－ eq \o(BB1,\s\up15(→))＝ eq \o(B1D,\s\up15(→))≠ eq \o(BD1,\s\up15(→))； D中， eq \o(B1D1,\s\up15(→))－ eq \o(A1A,\s\up15(→))＋ eq \o(DD1,\s\up15(→))＝ eq \o(BD,\s\up15(→))＋ eq \o(AA1,\s\up15(→))＋ eq \o(DD1,\s\up15(→))＝ eq \o(BD1,\s\up15(→))＋ eq \o(AA1,\s\up15(→))≠ eq \o(BD1,\s\up15(→)).故选AB. (2)法一(转化为加法运算)： ( eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(CD,\s\up15(→)))－( eq \o(AC,\s\up15(→))－ eq \o(BD,\s\up15(→)))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(CD,\s\up15(→))－ eq \o(AC,\s\up15(→))＋ eq \o(BD,\s\up15(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(DC,\s\up15(→))＋ eq \o(CA,\s\up15(→))＋ eq \o(BD,\s\up15(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BD,\s\up15(→))＋ eq \o(DC,\s\up15(→))＋ eq \o(CA,\s\up15(→))＝0. 法二(转化为减法运算)： ( eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(CD,\s\up15(→)))－( eq \o(AC,\s\up15(→))－ eq \o(BD,\s\up15(→))) ＝( eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(AC,\s\up15(→)))＋( eq \o(BD,\s\up15(→))－ eq \o(CD,\s\up15(→)))＝ eq \o(CB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＝0. [反思感悟] 1．解决空间向量线性运算问题的方法及技巧 进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中． 2．和空间向量的线性运算相关的结论． (1)位置向量： eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(OB,\s\up15(→))－ eq \o(OA,\s\up15(→)). (2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，有 eq \o(AC1,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(AA1,\s\up15(→)). (3)若G为△ABC的重心，则 eq \o(AG,\s\up15(→))＋ eq \o(BG,\s\up15(→))＋ eq \o(CG,\s\up15(→))＝0. (4)若O为空间中任意一点，则 ①点P是线段AB中点的充要条件是 eq \o(OP,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(OB,\s\up15(→)))； ②若G为△ABC的重心，则 eq \o(OG,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3)( eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(OB,\s\up15(→))＋ eq \o(OC,\s\up15(→))). 1．若如图所示，在三棱锥O ­ABC中，点D是棱AC的中点，若 eq \o(OA,\s\up15(→))＝a， eq \o(OB,\s\up15(→))＝b， eq \o(OC,\s\up15(→))＝c，则 eq \o(BD,\s\up15(→))等于(　　) A．a＋b－c　　　　　　B． eq \f(1,2)a－b＋ eq \f(1,2)c C．a－b＋c D．－ eq \f(1,2)a＋b－ eq \f(1,2)c 2．如图 ，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，M是线段AC′的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． (1) eq \o(AA′,\s\up15(→))－ eq \o(CB,\s\up15(→))； (2) eq \o(AB′,\s\up15(→))＋ eq \o(B′C′,\s\up15(→))＋ eq \o(C′D′,\s\up15(→))； (3) eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \f(1,2) eq \o(A′A,\s\up15(→)). 解： (1) eq \o(AA′,\s\up15(→))－ eq \o(CB,\s\up15(→))＝ eq \o(AA′,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＝ eq \o(AA′,\s\up15(→))＋ eq \o(A′D′,\s\up15(→))＝ eq \o(AD′,\s\up15(→))； (2) eq \o(AB′,\s\up15(→))＋ eq \o(B′C′,\s\up15(→))＋ eq \o(C′D′,\s\up15(→))＝ eq \o(AD′,\s\up15(→))； (3) eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \f(1,2) eq \o(A′A,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AA′,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AA′,\s\up15(→)))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC′,\s\up15(→))＝ eq \o(AM,\s\up15(→)).(向量 eq \o(AD′,\s\up15(→))， eq \o(AM,\s\up15(→))如图所示). 题型二　空间向量共线、共面问题 [例 2]　 (1)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝ eq \f(1,2)FC1，判断 eq \o(ME,\s\up15(→))与 eq \o(NF,\s\up15(→))是否共线？ (2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝ eq \f(1,3)BD，AN＝ eq \f(1,3)AE.求证：向量 eq \o(MN,\s\up15(→))， eq \o(CD,\s\up15(→))， eq \o(DE,\s\up15(→))共面． 解：(1)由已知可得， eq \o(ME,\s\up15(→))＝ eq \o(MD1,\s\up15(→))＋ eq \o(D1A1,\s\up15(→))＋ eq \o(A1E,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \o(CB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(A1A,\s\up15(→))＝－ eq \o(NB,\s\up15(→))＋ eq \o(CB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(C1C,\s\up15(→))＝ eq \o(CN,\s\up15(→))＋ eq \o(FC,\s\up15(→))＝ eq \o(FN,\s\up15(→))＝－ eq \o(NF,\s\up15(→))，所以 eq \o(ME,\s\up15(→))＝－ eq \o(NF,\s\up15(→))，故 eq \o(ME,\s\up15(→))与 eq \o(NF,\s\up15(→))共线． (2)证明　因为M在BD上，且BM＝ eq \f(1,3)BD， 所以 eq \o(MB,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(DB,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up15(→)). 同理 eq \o(AN,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up15(→)). 所以 eq \o(MN,\s\up15(→))＝ eq \o(MB,\s\up15(→))＋ eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \o(AN,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up15(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up15(→))))＋ eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up15(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up15(→)))) ＝ eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up15(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up15(→)). 又 eq \o(CD,\s\up15(→))与 eq \o(DE,\s\up15(→))不共线，根据向量共面的充要条件可知 eq \o(MN,\s\up15(→))， eq \o(CD,\s\up15(→))， eq \o(DE,\s\up15(→))共面． [反思感悟] (1)判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb(b≠0)成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a＝λb从而得出a∥b. (2)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明． (3)向量共面：向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面． 1．已知空间向量a，b且 eq \o(AB,\s\up15(→))＝a＋2b， eq \o(BC,\s\up15(→))＝－5a＋15b， eq \o(CD,\s\up15(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D　　　　　　　B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：选A　 eq \o(BD,\s\up15(→))＝ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(CD,\s\up15(→))＝(－5a＋15b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2 eq \o(AB,\s\up15(→))，所以A，B，D三点共线． 2． 如图所示，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．用向量法证明E，F，G，H四点共面． 证明：连接BG，EG，则 eq \o(BF,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up15(→))， eq \o(EH,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up15(→))， eq \o(BG,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(BD,\s\up15(→)))，所以 eq \o(EG,\s\up15(→))＝ eq \o(EB,\s\up15(→))＋ eq \o(BG,\s\up15(→))＝ eq \o(EB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(BD,\s\up15(→)))＝ eq \o(EB,\s\up15(→))＋ eq \o(BF,\s\up15(→))＋ eq \o(EH,\s\up15(→))＝ eq \o(EF,\s\up15(→))＋ eq \o(EH,\s\up15(→)). 即向量 eq \o(EG,\s\up6(→))， eq \o(EF,\s\up6(→))， eq \o(EH,\s\up6(→))共面， 故E，F，G，H四点共面． 题型三　空间向量的数量积及其应用 [例 3]　已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求： (1) eq \o(BC,\s\up15(→))· eq \o(ED1,\s\up15(→))； (2) eq \o(BF,\s\up15(→))· eq \o(AB1,\s\up15(→))； (3)AC1的长． 解：如图所示，设 eq \o(AB,\s\up15(→))＝a，AD＝b， eq \o(AA1,\s\up15(→))＝c， 则|a|＝|c|＝2， |b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. (1) eq \o(BC,\s\up15(→))· eq \o(ED1,\s\up15(→))＝ eq \o(BC,\s\up15(→))·( eq \o(EA1,\s\up15(→))＋ eq \o(A1D1,\s\up15(→))) ＝b· eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(c－a)＋b))＝|b|2＝42＝16. (2) eq \o(BF,\s\up15(→))· eq \o(AB1,\s\up15(→))＝( eq \o(BA1,\s\up15(→))＋ eq \o(A1F,\s\up15(→)))·( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AA1,\s\up15(→))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)| eq \o(AC1,\s\up15(→))|2＝| eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))＋AA1|2＝ eq \o(AB2,\s\up15(→))＋ eq \o(AD2,\s\up15(→))＋2,1) eq \o(AA,\s\up15(→)) ＝2×22＋42＝24，∴| eq \o(AC1,\s\up15(→))|＝2 eq \r(6)，即AC1的长为2 eq \r(6). [反思感悟] 在几何体中进行向量的数量积的计算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．在解题过程中注意适当的设向量，以简化步骤．　 已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1　　　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 解析：选A　∵p⊥q且|p|＝|q|＝1， ∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. [课堂小结] 本节课主要是在平面向量的基础上学习了空间向量的基本概念、线性运算和空间向量的数量积，加深了对空间向量的概念的理解，明确了空间向量和平面向量的区别和联系． $$