第2章 2.1 双曲线及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§ 1 双曲线 2.1 双曲线及其标准方程 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第二章 圆锥曲线 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课程标准 素养解读 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程 2．掌握双曲线的标准方程及其求法 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题 1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养 2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养 [情境引入] 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质．本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题． [知识梳理] [知识点一]　双曲线的定义　 定义 平面内到两个定点F1，F2的　距离之差的绝对值　等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 两个　定点　F1，F2叫作双曲线的焦点 焦距 两个焦点间的　距离　叫作双曲线的焦距 集合语言 P＝{M|　||MF1|－|MF2||＝2a　，0<2a<|F1F2|} 1.双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ [提示]　当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 2．双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ [提示]　点M在双曲线的右支上． [知识点二]　双曲线的标准方程　 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 　eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1　 (a＞0，b＞0) 　eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1　 (a＞0，b＞0) 焦点 F1　(－c,0)　， F2　(c,0)　 F1　(0，－c)　， F2　(0，c)　 a，b，c的关系 c2＝　a2＋b2　 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(×) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×) (3)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×) (4)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(×) 2．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　 ) A．双曲线　　　　 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 解析：D　[F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．] 3．若双曲线E：eq \f(x2,9) －eq \f(y2,16) ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A．11　　 B．9　　　 C．5　　　 D．3 解析：B　[由题意知||PF2|－3|＝6，即|PF2|－3＝±6，解得|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)．] 4．经过点P(－3,2eq \r(7) )和Q(－6eq \r(2) ，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是　________________________　. 解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(m＜0，n＞0)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25)，))故双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1. 答案：eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75) ＝1 求双曲线的标准方程 [例1]　根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))； (2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3eq \r(2)，2)； (3)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上． [思路点拨]　(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解． (2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解． (3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解． [解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，把点A的坐标代入方程，得b2＝－eq \f(16,15)×eq \f(160,9)<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,b2)＝1(b>0)，把A点的坐标代入方程，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1. (2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3eq \r(2)，2)，∴eq \f(18,a2)－eq \f(4,b2)＝1.② 由①②得a2＝12，b2＝8， ∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1. 法二：设所求双曲线的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(3eq \r(2)，2)， ∴eq \f(18,16－λ)－eq \f(4,4＋λ)＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1. (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1. (1)求双曲线标准方程的步骤 ①确定双曲线的类型，并设出标准方程； ②求出a2，b2的值． (2)当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)来求解． [变式训练] 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)以椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点； (2)焦距为2eq \r(6)，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上； 解：(1)依题意，得双曲线的焦点在x轴上，且a＝eq \r(3)，c＝2eq \r(2)，所以b2＝c2－a2＝5. 所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1. (2)因为焦点在x轴上，且c＝eq \r(6)，所以设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,6－a2)＝1,0＜a2＜6. 又因为过点(－5,2)，所以eq \f(25,a2)－eq \f(4,6－a2)＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍去)． 所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－y2＝1. 双曲线的定义及应用 [例2]　若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． [思路点拨]　(1)直接利用定义求解． (2)在△F1PF2中利用余弦定理求∠F1PF2. [解]　双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq \r(a2＋b2)＝5. (1)由双曲线的定义得|MF1|－|MF2|＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝ eq \f(100－100,2×32)＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)， 所以∠F1PF2＝90°， 故S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16. (1)根据双曲线的定义求出|PF1|－|PF2|＝2a； (2)利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； (3)通过配方，利用整体的思想求出∠F1PF2； (4)利用公式S△PF1F2＝eq \f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积． (5)利用公式S△PF1F2＝eq \f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积． [变式训练] 2．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为　________　. 解析：不妨设点P在双曲线的右支上， 因为PF1⊥PF2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2eq \r(2))2，又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4， 可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12， 所以|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(3). 答案：2eq \r(3) 双曲线标椎方程的辨识 [例3]　(1)若方程eq \f(x2,k＋4) ＋eq \f(y2,k－1) ＝1表示双曲线，则k的取值范围是(　　) A．[－4,1) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞) C．(－4,1) D．(－∞，－4]∪[1，＋∞) (2)3<m<5是方程eq \f(x2,m－5) ＋eq \f(y2,m2－m－6) ＝1表示双曲线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　(1)根据题意，若方程eq \f(x2,k＋4)＋eq \f(y2,k－1)＝1表示双曲线，则有(k＋4)(k－1)<0，解得－4<k<1. (2)3<m<5时，m－5<0，m2－m－6>0，方程eq \f(x2,m－5)＋eq \f(y2,m2－m－6)＝1表示焦点在y轴上的双曲线；若方程eq \f(x2,m－5)＋eq \f(y2,m2－m－6)＝1表示双曲线，则(m－5)(m2－m－6)<0，所以3<m<5或m<－2，所以3<m<5是方程eq \f(x2,m－5)＋eq \f(y2,m2－m－6)＝1表示双曲线的充分不必要条件． [答案]　(1)C　(2)A 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0，))则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m<0，,n>0，))则方程表示焦点在y轴上的双曲线． [变式训练] 3．若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线 解析：C　[原方程化为eq \f(y2,k2－1)－eq \f(x2,k＋1)＝1.∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0. ∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．] 与双曲线有关的轨迹问题 [例4]　如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4eq \r(2)，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． [思路点拨]　eq \x(\a\al(建立平面直,角坐标系))→eq \x(\a\al(由已知条,件得到边,长的关系))→eq \x(\a\al(判断轨迹,的形状))→eq \x(写出轨迹方程) [解]　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)．由正弦定理，得sin A＝eq \f(|BC|,2R)，sin B＝eq \f(|AC|,2R)，sin C＝eq \f(|AB|,2R)(R为△ABC的外接圆半径)． ∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝eq \f(|AB|,2)＝2eq \r(2)<|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(x>a)， ∵a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，∴b2＝c2－a2＝6.即所求轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x>eq \r(2))． 求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程． (2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程． 提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． [变式训练] 4.如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|. ∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝eq \f(3,2)，c＝5，于是b2＝c2－a2＝eq \f(91,4).∴动圆圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,\f(91,4))＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2))). [当堂达标] 1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　 ) A．双曲线　　　　　　 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析：D　[由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．] 2．(多选)双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　 ) A．2　　 B．7　　　 C．17　　 D．22 解析：AD　[因为a2＝25，所以a＝5.由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10.由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2.] 3．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则实数k的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 解析：A　[将8kx2－ky2＝8化为标准方程，得eq \f(x2,\f(1,k))－eq \f(y2,\f(8,k))＝1.∵焦点在y轴上，∴eq \f(8,k)＜0，即k＜0，∴c2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,k)))＝9，∴k＝－1.] 4．双曲线eq \f(x2,16) －eq \f(y2,9) ＝1上有一点P，F1，F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3) ，求△PF1F2的面积． 解：∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(||PF1|－|PF2||＝8，,|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·,|PF2|·cos\f(π,3)＝100，)) ∴|PF1|·|PF2|＝36，∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin eq \f(π,3)＝9eq \r(3). $$