1.1.1一次函数的图象与直线的方程、1.1.2直线的倾斜角、斜率及其关系 学案-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

1.1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 一、知识梳理 1.直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴 与直线l 的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为. 因此，直线的倾斜角的取值范围为 . 2.直线的斜率：一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母k表示，即 . 倾斜角是 的直线没有斜率. 3.斜率公式：如果直线经过两点，，，那么斜率公式为 . 4.斜率与方向向量：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为，则 . 二、基础训练 1.分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角. （1），； （2），； （3），； （4），. 2.已知直线l的斜率的绝对值为，求这条直线的倾斜角. 3.已知直线l经过点与，求直线l的一个方向向量、斜率k与倾斜角. 4.在同一个平面直角坐标系中，作出经过原点且斜率分别为1，，2，的直线，并总结斜率分别为k和的两条直线的倾斜角有什么关系. 5.分别写出下列直线的倾斜角： （1）垂直于x轴的直线； （2）垂直于y轴的直线； （3）第一、三象限的角平分线； （4）第二、四象限的角平分线. 6.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角： （1），； （2），. 三、课后练习 1.已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.斜率为的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3.已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为( ) A. B. C. D. 4.若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是( ) A. B. C. D. 5.直线l的一个方向向量为，倾斜角为，则( ) A.2 B. C. D. 6.如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 7.已知点，，若向量是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为( ) A. B. C. D. 8.（多选）若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角可能为( ) A. B. C. D. 9.（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 10.（多选）在下列四个命题中，正确的有( ) A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.直线的倾斜角的取值范围是 C.若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D.若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 答案及解析 一、知识梳理 1.正向 向上 2.正切值 90° 3. 4. 二、基础训练 1.答案：见解析 解析：（1）存在，，. （2）存在，，. （3）存在，，. （4）直线的斜率不存在，. 2.答案：或 解析：，，或. 3.答案：方向向量，斜率，倾斜角 解析：直线l的一个方向向量， 斜率，倾斜角. 4.答案：互补 解析：如图.斜率分别为k和的两条直线的倾斜角互补. 5.答案：（1） （2） （3） （4） 解析：（1）当直线垂直于x轴时，直线的向上方向与x轴正方向形成的夹角为， 所以所求直线的倾斜角为. （2）当直线垂直于y轴时，此时，直线与x轴平行或重合， 所以所求直线的倾斜角为. （3）当直线为第一、三象限的角平分线时，直线的向上方向与x轴正方向形成的夹角为， 所以所求直线的倾斜角为. （4）当直线为第二、四象限的角平分线时，直线的向上方向与x轴正方向形成的夹角为， 所以所求直线的倾斜角为. 6.答案：（1），锐角 （2），钝角 解析：设倾斜角为， （1）因为，所以，所以为锐角； （2）因为，所以，所以为钝角. 三、课后练习 1.答案：C 解析：设直线l的倾斜角为，，由直线l的一个方向向量为，得，则.故选：C. 2.答案：D 解析：设直线的倾斜角为a，则，因，故得.故选：D. 3.答案：D 解析：由题意可得直线l的斜率.故选：D. 4.答案：C 解析：设直线的倾斜角为，则，又，故.故选：C 5.答案：D 解析：因为直线l的一个方向向量为，所以，则.故选：D 6.答案：D 解析：由题图可知，的倾斜角为锐角，且的倾斜程度比大，所以，的倾斜角为钝角，所以.综上，.故选D. 7.答案：A 解析：直线的斜率，所以直线l的倾斜角为.故选：A. 8.答案：ACD 解析：设直线l的倾斜角为，则，因为直线l的斜率，所以且，结合正切函数的图象，可得，结合选项，可得ACD符合. 9.答案：AD 解析：由图像可知，则，故选：AD. 10.答案：BC 解析：对于A，与y轴平行的直线没有斜率，故A错误； 对于B，由直线倾斜角的取值范围可知直线的倾斜角的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为，故C正确； 对于D，若直线的倾斜角为，则直线无斜率，故D错误；故选：BC. 学科网（北京）股份有限公司 $$