第一章 勾股定理 章节（8知识点回顾+27题型巩固）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（北师大版2024）

第一章 勾股定理 章节（8知识点回顾+27题型巩固） 目录 知识梳理 1.勾股定理 2.勾股定理的验证 3.勾股定理的简单应用 4.直角三角形的判定 5.勾股数 6.勾股定理与网格问题 7.勾股定理与折叠问题 8.确定几何体上的最短路线 题型巩固 一、用勾股定理解三角形 二、以直角三角形三边为边长的图形面积 三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 四、利用勾股定理证明线段平方关系 五、勾股定理的证明方法 六、以弦图为背景的计算题 七、用勾股定理构造图形解决问题 八、求旗杆高度(勾股定理的应用) 九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 十、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 十一、勾股树（数）问题 十二、判断三边能否构成直角三角形 十三、在网格中判断直角三角形 十四、利用勾股定理的逆定理求解 十五、勾股定理逆定理的拓展问题 十六、勾股定理与网格问题 十七、勾股定理与折叠问题 十八、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 十九、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 二十、解决航海问题(勾股定理的应用) 二十一、求河宽(勾股定理的应用) 二十二、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 二十三、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 二十四、判断是否受台风影响 二十五、选址使到两地距离相等 二十六、求最短路径(勾股定理的应用) 二十七、勾股定理逆定理的实际应用 知识梳理 知识点1.勾股定理 1. 勾股定理 文字语言 图示 符号语言 变式 直角三角形 两直角边的 平方和等于 斜边的平方 如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c a²=c²-b²， b²=c²-a² 确定了直角三角形三边的数量关系 2. 找准条件灵活应用勾股定理 条件 结论 注意 Rt △ ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c ∠A =90° b²+c²=a² (a为斜边长) ① Rt △ ABC 中，斜边的长不一定是c； ② 应用勾股定理时若没有明确哪个角是直角，则需分情况讨论 ∠B =90° a²+c²=b² (b为斜边长) ∠C =90° a²+b²=c² (c 为斜边长) 知识点2.勾股定理的验证 1. 常用验证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法(以后将学到)，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系验证。 2. 著名验证法举例 方法 图形 说明 赵爽弦图 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又因为大正方形的面积＝4×ab＋  (b－a)²＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 知识点3.勾股定理的简单应用 运用勾股定理解决实际问题的一般思路 若所求线段不在 直角三角形中， 常作辅助线构造 直角三角形 知识点4.直角三角形的判定 1. 直角三角形的判定条件 如果三角形的三边长a，b，c 满足a² +b²=c²，默认c为最长的边长 那么这个三角形是直角三角形。 2.利用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形的步骤 3.归纳： 勾股定理与直角三角形的判定条件的区别与联系 类别 勾股定理 直角三角形的判定条件 区别 勾股定理以“直角三角形”为条件， 得到数量关系“a² +b²=c²”，以“形”定“数” 直角三角形的判定条件以“三角形的三边长a，b，c 满足a² +b²=c²”为条件，得到这个三角形是直角三角形，以“数”定“形” 联系 (1)都与“三角形的三边关系a² +b²=c²”有关； (2)都与“直角三角形”有关 知识点5.勾股数 1.勾股数：满足a² +b²=c² 的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17 等。 勾股数应具备两个条件： (1)这三个数均为正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方。 2.判断勾股数的方法 (1)判断三个数是否都是正整数； (2)若是，确定出最大数，并计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； (3)进行比较，若相等，则是勾股数，否则不是。 知识点6.勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l=。 知识点7.勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点8.确定几何体上的最短路线 1.利用勾股定理解决有关高度、宽度、长度、距离等问题 2. 直角的判断 步骤 具体操作 图示 ①取点 在∠ C 两边上分别取点A，B，并连接AB ②测量  测量AC，BC，AB 的长 ③计算 计算AC²+BC² 和AB² 的值 ④判断 若AC²+BC²=AB²，则△ ABC 是直角三角形，且∠ C=90°；若AC²+BC² ≠ AB²，则∠ C ≠ 90° 题型巩固 题型一、用勾股定理解三角形 1．如图，四边形中，于点，若，则等于（   ） A．15 B．16 C．17 D．20 2．如图，在中，． （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ． 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 3．如图，在中，，分别以、为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．16 B．24 C．32 D．64 4．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为 ． 题型三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 6．如图，在四边形中，E，F分别是的中点． (1)若，求的长． (2)若，求证：． 题型四、利用勾股定理证明线段平方关系 7．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 题型五、勾股定理的证明方法 8．如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：． 9．如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 题型六、以弦图为背景的计算题 10．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．1 11．“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 ． 题型七、用勾股定理构造图形解决问题 12．如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则 ． 13．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． (1)求小凳子的高度； (2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 题型八、求旗杆高度(勾股定理的应用) 14．[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　） A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺 15．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 题型九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 16．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 17．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 题型十、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 18．如图，一棵高为的大树被台风刮断．若树在离地面的点C处折断，则树顶端落在离树底部（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 19．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高10尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，则竹的余高为 尺． 题型十一、勾股树（数）问题 20．下面四组数中是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．，， C． D．6，7，8 21．（1）大家知道（3，4，5）（5，12，13）（8，15，17）都是勾股数组，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为这种观点正确吗？说明你的理由． （2）除此之外，你还能发现勾股数具有哪些规律?与同伴进行交流． 题型十二、判断三边能否构成直角三角形 22．判断由线段a，b，c组成的三角形是否是直角三角形？如果是直角三角形，请指出哪一个角是直角． (1)，，; (2)，，． 23．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)试说明是直角三角形； (3)已知点在轴上，若，写出满足条件的一个点的坐标为 ． 题型十三、在网格中判断直角三角形 24．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 25．如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点．    (1)AB2＝ ．BC2＝ ．AC2＝ ． (2)∠ABC＝ °． (3)在格点上存在点P，使∠APC＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点P．（用P1、P2……表示） 题型十四、利用勾股定理的逆定理求解 26．如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 27．已知如图，四边形中，，，且．求四边形的面积． 题型十五、勾股定理逆定理的拓展问题 28．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 题型十六、勾股定理与网格问题 29．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ） A． B．3 C． D． 30．如图1，两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，能得到4个等腰直角三角形，这4个三角形可以拼成一个大正方形，所得大正方形的边长为． (1)如图2，现有一张的长方形纸片，尝试分割这张纸片，拼接成一个大正方形，要求不重叠，且无空隙．如果可以，请你仿照图1在纸片上用虚线画出分割方法，并在网格中画出大正方形的拼法，使它的四个顶点均位于网格的格点上，然后写出所得正方形的边长；如果不可以，请说明理由． (2)请从以下两题中任选一题作答，我选择 题． 按照上述方法，让我们尝试其他图形的分割： A．如图3，是由个小正方形组合得到的两种图形，请你选择一个组合图形尝试分割，将其拼接成一个大正方形，要求不重叠，且无空隙．如果可以，在组合图形上用虚线画出分割方法，并在网格中画出大正方形的拼法（使它的四个顶点均位于网格的格点上），然后写出所得正方形的边长；如果不可以，请说明理由． 若选择A题作答，我选择完成图3中的组合 ． B．请直接写出当组合图形中小正方形的个数满足什么条件时，可以通过分割拼接得到大正方形（不重叠，且无空隙），并使得大正方形的四个顶点都能画在网格纸的格点上． 题型十七、勾股定理与折叠问题 31．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 32．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 题型十八、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 33．如图，一根长为的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时的长为．如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移的距离（    ） A．等于 B．大于 C．小于 D．以上都不对 34．如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 题型十九、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 35．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 题型二十、解决航海问题(勾股定理的应用) 37．一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 38．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行 海里． 题型二十一、求河宽(勾股定理的应用) 39．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 40．为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形（），如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 题型二十二、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 41．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元． 42．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 题型二十三、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 43．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 题型二十四、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 44．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 45．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 题型二十五、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 46．如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？ 题型二十六、求最短路径(勾股定理的应用) 47．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 48．如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 题型二十七、勾股定理逆定理的实际应用 49．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”） 50．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理 章节（8知识点回顾+27题型巩固） 目录 知识梳理 1.勾股定理 2.勾股定理的验证 3.勾股定理的简单应用 4.直角三角形的判定 5.勾股数 6.勾股定理与网格问题 7.勾股定理与折叠问题 8.确定几何体上的最短路线 题型巩固 一、用勾股定理解三角形 二、以直角三角形三边为边长的图形面积 三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 四、利用勾股定理证明线段平方关系 五、勾股定理的证明方法 六、以弦图为背景的计算题 七、用勾股定理构造图形解决问题 八、求旗杆高度(勾股定理的应用) 九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 十、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 十一、勾股树（数）问题 十二、判断三边能否构成直角三角形 十三、在网格中判断直角三角形 十四、利用勾股定理的逆定理求解 十五、勾股定理逆定理的拓展问题 十六、勾股定理与网格问题 十七、勾股定理与折叠问题 十八、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 十九、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 二十、解决航海问题(勾股定理的应用) 二十一、求河宽(勾股定理的应用) 二十二、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 二十三、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 二十四、判断是否受台风影响 二十五、选址使到两地距离相等 二十六、求最短路径(勾股定理的应用) 二十七、勾股定理逆定理的实际应用 知识梳理 知识点1.勾股定理 1. 勾股定理 文字语言 图示 符号语言 变式 直角三角形 两直角边的 平方和等于 斜边的平方 如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c a²=c²-b²， b²=c²-a² 确定了直角三角形三边的数量关系 2. 找准条件灵活应用勾股定理 条件 结论 注意 Rt △ ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c ∠A =90° b²+c²=a² (a为斜边长) ① Rt △ ABC 中，斜边的长不一定是c； ② 应用勾股定理时若没有明确哪个角是直角，则需分情况讨论 ∠B =90° a²+c²=b² (b为斜边长) ∠C =90° a²+b²=c² (c 为斜边长) 知识点2.勾股定理的验证 1. 常用验证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法(以后将学到)，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系验证。 2. 著名验证法举例 方法 图形 说明 赵爽弦图 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又因为大正方形的面积＝4×ab＋  (b－a)²＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 知识点3.勾股定理的简单应用 运用勾股定理解决实际问题的一般思路 若所求线段不在 直角三角形中， 常作辅助线构造 直角三角形 知识点4.直角三角形的判定 1. 直角三角形的判定条件 如果三角形的三边长a，b，c 满足a² +b²=c²，默认c为最长的边长 那么这个三角形是直角三角形。 2.利用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形的步骤 3.归纳： 勾股定理与直角三角形的判定条件的区别与联系 类别 勾股定理 直角三角形的判定条件 区别 勾股定理以“直角三角形”为条件， 得到数量关系“a² +b²=c²”，以“形”定“数” 直角三角形的判定条件以“三角形的三边长a，b，c 满足a² +b²=c²”为条件，得到这个三角形是直角三角形，以“数”定“形” 联系 (1)都与“三角形的三边关系a² +b²=c²”有关； (2)都与“直角三角形”有关 知识点5.勾股数 1.勾股数：满足a² +b²=c² 的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17 等。 勾股数应具备两个条件： (1)这三个数均为正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方。 2.判断勾股数的方法 (1)判断三个数是否都是正整数； (2)若是，确定出最大数，并计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； (3)进行比较，若相等，则是勾股数，否则不是。 知识点6.勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l=。 知识点7.勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点8.确定几何体上的最短路线 1.利用勾股定理解决有关高度、宽度、长度、距离等问题 2. 直角的判断 步骤 具体操作 图示 ①取点 在∠ C 两边上分别取点A，B，并连接AB ②测量  测量AC，BC，AB 的长 ③计算 计算AC²+BC² 和AB² 的值 ④判断 若AC²+BC²=AB²，则△ ABC 是直角三角形，且∠ C=90°；若AC²+BC² ≠ AB²，则∠ C ≠ 90° 题型巩固 题型一、用勾股定理解三角形 1．如图，四边形中，于点，若，则等于（   ） A．15 B．16 C．17 D．20 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴ ， ∴的值为17 故选：C． 2．如图，在中，． （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ． 【答案】 5 6 13 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，弄清楚直角边和斜边成为解题的关键． （1）（2）（3）直接运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在中，． （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则． 故答案为：5，6，13． 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 3．如图，在中，，分别以、为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．16 B．24 C．32 D．64 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求解即可． 【详解】解：正方形的面积为：，正方形的面积为：； 在中，， 又 ∵， ∴， 故选：D． 4．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理结合正方形的面积，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 那么， 所以正方形的边长为． 故答案为：． 题型三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 6．如图，在四边形中，E，F分别是的中点． (1)若，求的长． (2)若，求证：． 【答案】(1)13 (2)见解析 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）取的中点P，连接，由三角形中位线定理得，且，且＝12，再证，然后由勾股定理即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得，且，，且，再证，然后由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）如图，取的中点P，连接， ∵E，F分别是的中点，， ∴，且，且． 又∵， ∴， ∴． 在中，． （2）证明：如图，取的中点P，连接． ∵E，F分别是的中点， ∴，且，，且． ∴． ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、勾股定理以及平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解题的关键． 题型四、利用勾股定理证明线段平方关系 7．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 题型五、勾股定理的证明方法 8．如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：． 【答案】见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明．根据四个全等的直角三角形面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积列式，整理后即可得到结论． 【详解】证明：∵， 整理，得， ∴． 9．如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 【答案】见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，涉及到长方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及通过作辅助线构造特殊图形是解题的关键．首先作辅助线得到长方形，再证明三角形全等，然后根据长方形面积与几个三角形和一个等腰直角三角形面积之和相等，列出等式化简后得出勾股定理结论． 【详解】证明：如答图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是长方形． ， ，， ． 又， ， ， ， ． 题型六、以弦图为背景的计算题 10．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．1 【答案】C 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用， 根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案． 【详解】解：一个直角三角形的面积为． 故选：C． 11．“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 ． 【答案】1 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算，解题关键是发现图中的面积关系与掌握勾股定理的计算公式． 本题利用13减去四个直角三角形的面积等于小正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴小正方形面积为1， ∴小正方形边长为1， 故答案为：1 ． 题型七、用勾股定理构造图形解决问题 12．如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则 ． 【答案】4 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理．过点C作于点E，则人离墙的距离为， 在中，根据勾股定理列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，传感器A距地面的高度为，人高， 过点C作于点E，则人离墙的距离为， 由题意可知，， 当人离传感器A的距离时，灯发光． 此时，在中，根据勾股定理可得， ， ∴， ∴， 即人走到离墙远时，灯刚好发光． 故答案为：． 13．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． (1)求小凳子的高度； (2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】(1)． (2) 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】（1）过A作垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可； （2）延长交墙面于点N，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过A作垂直于墙面，垂足M， 根据题意可得，， 在中，， 即凳子的高度为． （2）解：延长交墙面于点N，可得， 设cm，则，，， 在中，，即， 解得，则． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理解答． 题型八、求旗杆高度(勾股定理的应用) 14．[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　） A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺 【答案】D 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为14.5尺． 故选：D． 15．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 题型九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 16．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 17．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【答案】6.5 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案． 【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m， ∴AC=m， ∴1.3÷0.2＝6.5s， 答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处． 【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 题型十、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 18．如图，一棵高为的大树被台风刮断．若树在离地面的点C处折断，则树顶端落在离树底部（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】A 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴树顶端落在离树底部处， 故选：A． 19．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高10尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，则竹的余高为 尺． 【答案】4.55 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，如图所示，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴竹的余高为4.55尺， 故答案为；4.55． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确画图图形利用勾股定理求解是解题的关键． 题型十一、勾股树（数）问题 20．下面四组数中是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．，， C． D．6，7，8 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，解答即可． 【详解】解：A、，是勾股数，故符合题意； B、∵，，不是整数，不是勾股数，故不符合题意； C、，不是勾股数，故不符合题意； D、，不是勾股数，故不符合题意； 故选：A． 21．（1）大家知道（3，4，5）（5，12，13）（8，15，17）都是勾股数组，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为这种观点正确吗？说明你的理由． （2）除此之外，你还能发现勾股数具有哪些规律?与同伴进行交流． 【答案】（1）正确，见解析；（2）见解析 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】（1）根据奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，奇数加奇数为偶数即可判断； （2）发现当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数． 【详解】（1）勾股数中一定有一个是偶数， 如果全部为奇数，为偶数，而为奇数，两者不可能相等， 即一定存在一个偶数． （2）勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数， 理由如下： 不妨令最大整数为，跟它连续的整数为， 根据勾股定理有， ， 即最小数的平方为奇数． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，奇数加奇数是偶数． 题型十二、判断三边能否构成直角三角形 22．判断由线段a，b，c组成的三角形是否是直角三角形？如果是直角三角形，请指出哪一个角是直角． (1)，，; (2)，，． 【答案】(1)是，边c所对的角是直角 (2)不是 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键； （1）根据勾股定理的逆定理，求出两短边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可． （2）根据勾股定理的逆定理，求出两短边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可． 【详解】（1）解：， 所以该三角形是直角三角形，其中边c所对的角是直角． （2）解：， 所以该三角形不是直角三角形． 23．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)试说明是直角三角形； (3)已知点在轴上，若，写出满足条件的一个点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 (写出一个即可) 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、画轴对称图形 【分析】本题考查作图-轴对称变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得结论． （3）由图可确定点的位置，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）由勾股定理得，，，， ， ， 是直角三角形． （3）如图，点，均满足题意， ，则 ，则 ∴，为等腰直角三角形， ∴， 点的坐标为或． 故答案为：或 写出一个即可． 题型十三、在网格中判断直角三角形 24．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】连接AD，BE，根据勾股定理逆定理可得，，从而得到∠ACD=∠CAD=45°，∠BCE=90°，即可求解． 【详解】解：如图，连接AD，BE， 根据题意得：， ， ∴AD=CD，，， ∴∠ADC=90°，∠BCE=90°， ∴∠ACD=∠CAD=45°， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 25．如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点．    (1)AB2＝ ．BC2＝ ．AC2＝ ． (2)∠ABC＝ °． (3)在格点上存在点P，使∠APC＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点P．（用P1、P2……表示） 【答案】(1)5，20，25； (2)90； (3)答案见详解． 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】（1）利用勾股定理分别计算即可； （2）根据（1）中计算结果，利用勾股定理的逆定理即可求解； （3）根据勾股定理的逆定理找到满足的格点P即可． 【详解】（1）解：，,， 故答案为：5，20，25． （2）解：， ， 故答案为：． （3）解：， ； ， ； ， ． 故如图所示，为所求．    【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握风格结构、勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 题型十四、利用勾股定理的逆定理求解 26．如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 27．已知如图，四边形中，，，且．求四边形的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解答本题的关键在于熟练掌握勾股定理及其逆定理，运用已知条件求出三角形的边长即可求得四边形的面积． 【详解】解：∵在中，， 由勾股定理可得， ∴； 又∵在中， ，，， 满足 ∴． ∴四边形的面积为： ． 题型十五、勾股定理逆定理的拓展问题 28．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可. 【详解】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0， ∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， 即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的）， ∵52+122=132， ∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°． （2）设AB边上的高为h， 根据直角三角形面积的两种表示法可得，， 即， 解得h=. ∴AB边上的高为. 【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键. 题型十六、勾股定理与网格问题 29．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据题意可得该阴影正方形的边长为：， 故选：A． 30．如图1，两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，能得到4个等腰直角三角形，这4个三角形可以拼成一个大正方形，所得大正方形的边长为． (1)如图2，现有一张的长方形纸片，尝试分割这张纸片，拼接成一个大正方形，要求不重叠，且无空隙．如果可以，请你仿照图1在纸片上用虚线画出分割方法，并在网格中画出大正方形的拼法，使它的四个顶点均位于网格的格点上，然后写出所得正方形的边长；如果不可以，请说明理由． (2)请从以下两题中任选一题作答，我选择 题． 按照上述方法，让我们尝试其他图形的分割： A．如图3，是由个小正方形组合得到的两种图形，请你选择一个组合图形尝试分割，将其拼接成一个大正方形，要求不重叠，且无空隙．如果可以，在组合图形上用虚线画出分割方法，并在网格中画出大正方形的拼法（使它的四个顶点均位于网格的格点上），然后写出所得正方形的边长；如果不可以，请说明理由． 若选择A题作答，我选择完成图3中的组合 ． B．请直接写出当组合图形中小正方形的个数满足什么条件时，可以通过分割拼接得到大正方形（不重叠，且无空隙），并使得大正方形的四个顶点都能画在网格纸的格点上． 【答案】(1)图形见解析； (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查图形的分割拼接，解题的关键是根据图形的面积计算正方形的边长． （1）按照图1的方法进行分割拼接，并由正方形面积计算出周长； （2）按照图1的方法进行分割拼接，并由正方形面积计算出周长． 【详解】（1）分割纸片图为， 拼成大正方形如图， 面积为个小正方形， ∴大正方形边长为． （2）A题答案为， 分割纸片如图， 拼成大正方形如图， 大正方形面积为个小正方形， ∴大正方形边长为． B题答案为， ∵若大正方形面积为， 则大正方形边长为， 要使大正方形的四个顶点都能画在网格纸的格点上， 则需使为正整数的平方，或者为两个正整数的平方和， ∴当组合图形中小正方形的个数为正整数的平方，或者为两个正整数的平方和时， 大正方形的四个顶点都能画在网格纸的格点上． 题型十七、勾股定理与折叠问题 31．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠性质，先根据勾股定理求出的长，再由折叠性质得到，，设，则，，再根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：，，， ， ． 由折叠的性质可得，． 设，则，． 在中，， ，解得， 即， ， ． 故选C． 32．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 题型十八、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 33．如图，一根长为的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时的长为．如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移的距离（    ） A．等于 B．大于 C．小于 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查正确运用勾股定理．梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，根据勾股定理知，， 在中，根据勾股定理知，， 所以． 故选：A． 34．如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 【答案】滑动的水平距离是 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，在和中利用勾股定理解直角三角形是解答本题的． 利用勾股定理先求出滑动前的长，再求出滑动后的长，二者相减即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴中，， ∴， 即滑动的距离为． 题型十九、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 35．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 36．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】该题考查了勾股定理的应用，在中和中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，因为， 所以． 在中， 因为， 所以， 所以． 题型二十、解决航海问题(勾股定理的应用) 37．一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设两个小时后两船的位置分别为、，由方向角得出；再由时间与速度之间的关系得出，然后运用勾股定理求的长，即可完成解答． 【详解】解：如图所示，设后两船的位置分别为、， 则， ， 即后，两船相距． 故选：C． 38．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行 海里． 【答案】 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：． 题型二十一、求河宽(勾股定理的应用) 39．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 40．为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形（），如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【答案】8m 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的形式． 在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】在中，，， ∴ 答：图中、两点之间的距离是8m． 题型二十二、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 41．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】280 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】地毯的面积即楼梯的表面积，且地毯展开后是一个长方形；再结合图形可知，展开后长方形的长是楼梯水平长与竖直高的和，最后再结合楼梯的宽与地毯价格即可求解． 【详解】解：楼梯的竖直高是3m，斜边是5m， 水平直角边是m， 购买这种地毯的长是3m+4m=7m， 楼梯宽2m，地毯价格为每平方米20元 价格是7×2×20=280元． 故答案为280． 【点睛】本题主要考查勾股定理的简单运用，属于基础的实际应用题，难度不大．解题的关键是结合图例分析出地毯的长是楼梯竖直高与水平长的和． 42．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理即可得出结论． 【详解】如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型二十三、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 43．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 题型二十四、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 44．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 45．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 题型二十五、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 46．如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？ 【答案】20cm 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】由题意知：BC=AC，设BC=x cm，则OC=（36-x） cm．在 Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意BC=AC是解题的关键． 题型二十六、求最短路径(勾股定理的应用) 47．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 【答案】25尺 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先将葛藤缠绕的状态展开（见解析），再根据题意可得尺，尺，，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：将葛藤缠绕的状态展开如图所示： 则一条直角边（即枯木的高）尺，另一条直角边（尺）． 由勾股定理，得， 所以， 所以尺（负值已舍）． 答：葛藤的最短长度为25尺． 48．如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 【答案】30米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将图形展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如答图，将木块展开． 由题意可知，长相当于是（个正方形的边长）， ∴长为（米），宽为18米， 由勾股定理，得：最短路程为米． 答：最短路程是30米． 题型二十七、勾股定理逆定理的实际应用 49．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键在于掌握勾股定理的逆定理； 首先，用桌面长的平方加上宽的平方，看其是否等于对角线的平方； 然后，若其相等则满足勾股定理的逆定理，三者构成直角三角形，桌面合格，否则不合格． 【详解】解：∵长方形桌面的长为，宽为，对角线长为，， ∴，， ， ∴ ∴桌面的角是直角， ∴这个桌面是合格的， 故答案为：合格． 50．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)选择八（1）班的方案，理由见解析 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用； （1）根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）先利用等积法求出的长，再分别计算与，然后进行比较大小即得结论． 【详解】（1）证明：由题意可得：， ∴， ∴， 即； （2）解：选择八（1）班的方案，理由如下： ∵， ∴， 则按照八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管，需要铺设水管的总长度为； 按照八（2）班方案：沿线段，，铺设3段水管，需要铺设水管的总长度为， ∵， ∴从节约水管的角度考虑，应该选择八（1）班的铺设方案. 学科网（北京）股份有限公司 $$