上海外国语大学附属奉贤外国语学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年上海外国语大学附属奉贤外国语学校七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.不等式的解集在数轴上表示为 A. B. C. D. 2.下列命题中，真命题是(    ) A. 真命题的逆命题一定是真命题 B. 两边分别平行的两个角相等 C. 等角的余角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3.若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 4.如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交直线于点，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.若线段，分别是的边上的高线和中线，则(    ) A. B. C. D. 6.月日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植棵树，八年级学生平均每人植棵树，为了保证植树总数不少于棵，则八年级学生参加活动的人数至少需(    ) A. 名 B. 名 C. 名 D. 名 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。 7.根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”：______． 8.不等式的非负整数解是______． 9.如果的解集为，则的取值范围是______． 10.将命题“同角的补角相等”改写成“如果那么”形式为          ． 11.已知中，：：：：，如果按角分类，那么是______三角形． 12.若一个等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形周长为______． 13.如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是______． 14.如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 15.如图，，，，，垂足分别是点，，，，则的长是___________． 16.如图，在中，是边的中点，是边的中点，阴影部分的面积为，则的面积是______． 17.如图，将长方形纸条折叠，按如图折叠，，则______ 18.如图，在中，，，点在的三边上运动，当为等腰三角形时，它的顶角度数是______． 三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 20.本小题分 求不等式组：的整数解． 21.本小题分 用直尺和圆规作钝角边上的高． 22.本小题分 如图所示，已知≌，顶点、、分别与顶点、、对应，，，垂足分别是点、求证：． 证明：≌，顶点、、分别与顶点、、对应， ______全等三角形对应边相等， ______． ，， ____________． 在和中 ≌______． 全等三角形对应边相等． 23.本小题分 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． 求证：； 若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 24.本小题分 如图，在中，，点，点分别在边，上，满足，连接，． 求证：． 若，，求的度数． 25.本小题分 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． 求证：； 若的周长为，，求的长． 26.本小题分 我们知道：如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等简称“”，那么这两个三角形不一定全等． 如图，在等腰三角形中，，为上一点，且，连接，那么在和中，，，，请判断：和 ______填“全等”或“不全等”遇到这种情况，我们可以添加一定的辅助线构造出全等的三角形：如图，在的条件下，在上取一点，使得，连接，请判断和是否全等？并说明理由． 如图，在四边形中，平分，，求证：． 如图，已知是边长为的等边三角形，点在的延长线上且，连接，在线段上取一点，使得，连接，求的长直接写答案 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：不等式中是小于等于号， 处是实心原点，且折线向左． 故选：． 根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可． 本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、真命题的逆命题不一定是真命题，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、两边分别平行的两个角相等或互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、等角的余角相等，正确，是真命题，符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：． 利用逆命题的定义、互余的定义、平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关定义及定理，难度不大． 3.【答案】  【解析】解：由三角形三边关系定理得：， 即， 即符合的只有， 故选：． 根据三角形三边关系定理得出，求出即可． 本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 4.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了平行线的性质，正确得出是解题关键． 直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出，进而得出答案． 【解答】 解：的平分线交直线于点， ， 直线，， ， ， ． 故选C． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题考查垂线段最短． 根据垂线段最短解答． 【解答】 解：因为线段，分别是的边上的高线和中线， 所以， 故选：． 6.【答案】  【解析】解：设八年级有名同学参加植树活动，则七年级有名同学参加植树活动， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为，即八年级学生参加活动的人数至少需名． 故选：． 设八年级有名同学参加植树活动，则七年级有名同学参加植树活动，根据两个年级植树总数不少于棵，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：根据题意，得． 故答案为：． 根据描述写出不等式即可． 本题考查列代数式，根据描述写出不等式是解题的关键． 8.【答案】，，  【解析】解：不等式， 整理得，， ； 则不等式的非负整数解是：，，． 故答案为：，，． 首先根据不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 本题主要考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键；解不等式应根据不等式的基本性质． 9.【答案】  【解析】解：关于的不等式的解集为， ， ． 故答案为：． 根据不等式的性质求解即可． 本题考查了解一元一次不等式，熟知不等式的性质是解题的关键． 10.【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等  【解析】【分析】 本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果那么”的形式的关键． “同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式． 【解答】 解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等． 则将命题“同角的补角相等”改写成“如果那么”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 故答案是如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 11.【答案】直角  【解析】解：：：：：， 设，，， ， ， 解得， ，，， 为直角三角形． 故答案为：直角． 设，，，根据三角形内角和定理得到，解得，则可计算出，从而可判断为直角三角形． 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是也考查了三角形的分类． 12.【答案】  【解析】解：当腰长为时，，不符合三角形三边关系，故舍去； 当腰长为时，符合三边关系，其周长为， 故该三角形的周长为． 故答案为：． 题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析． 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：是的垂直平分线，，， ， ． 故答案为：． 先根据线段垂直平分线的性质得出，再由即可得出结论． 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：如图， ，， ， ， ， 故答案为：． 先求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出的度数即可． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】【分析】 根据条件可以得出，进而得出≌，就可以得出，就可以求出的值． 本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型． 【解析】 解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ≌， ，． 故选答案为． 16.【答案】  【解析】解：，分别是，的中点， ，，，， ， ， ， 即的面积为， 故答案为：． 根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可． 本题考查了三角形的面积，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 根据两直线平行，内错角相等得出的度数，由折叠的性质得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，即可得解． 本题考查了翻折变换，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 18.【答案】或或  【解析】解：，， ． 当在上时，顶角只能是； 当在上时， 如果， ， ， 如果， ， ， 如果，则顶角是， 当为等腰三角形时，它的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 由三角形内角和定理求出当在上时，顶角是；当在上时，分三种情况，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解，于是得到答案． 本题考查等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论． 19.【答案】，数轴见解答．  【解析】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 在数轴上表示为： ． 先根据不等式的解法求解不等式，然后把它的解集表示在数轴上． 本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质： 不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 20.【答案】，不等式组的整数解为、、、．  【解析】解：解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为、、、． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21.【答案】见解析．  【解析】解：如图，线段即为所求． 过点作，交的延长线于点，线段即为所求． 本题考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 22.【答案】  全等三角形对应角相等    垂直的定义    【解析】证明：≌，顶点、、分别与顶点、、对应， 全等三角形对应边相等， 全等三角形对应角相等． ，， 垂直的定义． 在和中， ， ≌， 全等三角形对应边相等． 故答案为：，全等三角形对应角相等，，垂直的定义，，，，． 由全等三角形的性质可得，，由可证≌，可得． 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 23.【答案】证明：，， ， ； 解：与底座都平行于地面， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ．  【解析】结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； 根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 24.【答案】证明：在和中， ， ≌， ； 解：， ， ， ， ， ，， ， 由得：≌， ， ， 即， ， ， 即， ．  【解析】由证得≌，即可得出结论； 先证，推出，再由≌，得出，推出，再由三角形内角和定理即可得出结果． 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25.【答案】证明：垂直平分， ， ，， ， ； 解：的周长为， ， ， ， ，， ．  【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； 根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 26.【答案】不全等；和全等，理由见解析；   证明见解答过程；   ．  【解析】解：在和中，，，，和不全等， 故答案为：不全等； 如图，和全等，理由如下： ， 是等腰三角形， ， ， 在和中， ≌； 证明：在上取一点，使得， 平分， ， 又，， ≌， ， 又，，， ， ， ； 证明：， ， 是等边三角形， ， ，， ， 上取一 点使得为等边三角形，则， ≌， ， ， ， ， ． 根据，直接判断和不全等，根据等腰三角形的性质得，推出，根据证明三角形全等即可； 在上取一点，使得，从而得≌进而得，进而即可得到结论； 先推出，在上取一 点使得为等边三角形，则，从而得≌，进而即可得到答案． 本题是四边形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$