精品解析：吉林省长春市北湖学校2024-2025学年下学期6月考前适应性训练九年级数学试题

长春北湖学校2024—2025学年度下学期九年级适应性训练 数学学科试卷 时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 与数5的和等于0的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，依题意列式，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴与数5的和等于0的数是， 故选：B 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 3. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论． 【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置． 故选：B 4. 如图，某农林部门用钢管为树木加固，已知钢管的长为4米，钢管与地面所成夹角．则固定点A离地面的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答；熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】由题意得： 在中， ，米， ∴米， 故选：D． 5. 如图，四边形内接于，若，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关定理．先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ∴的半径为：， 故选：A． 6. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 若连接，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据基本作图可知，，根据证明，即可得出，从而判断A、B、D不符合题意，C符合题意． 【详解】解：根据作图可得，，故A，B不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，故D不符合题意； 而不一定成立，故C符合题意． 故选：C． 8. 用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率（单位：）可近似地看成吸管长度（单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B. 对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C. 长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D. 对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与实际问题，反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键． 根据反比例函数图象性质逐项判断即可． 【详解】解：A、频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短，正确，故此选项符合题意； B、对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越短，原说法以错误，故此选项不符合题意； C、长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率小，原说法以错误，故此选项不符合题意； D、对于甲材质吸管乐器，长度越短，频率越大，原说法以错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 10. 一次函数y＝kx+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解． 【详解】解：∵一次函数y=kx+3的图象不经过第四象限， ∴经过第一、二、三象限， ∴k>0， 故答案为：k＞0． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数系数与图象的关系是解题关键． 11. 如果关于的方程有实数根，那么的值可以是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意可得，求解即可得解． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， 即方程有实数根， ∴， 解得：， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若关于，的方程组的解满足，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加减消元解二元一次方程组，根据题意得，进而可得，即可求解． 【详解】解： 得， ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 13. 如图，正五边形的边长为4，以为边作等边，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得阴影部分的面积即可． 【详解】解：在正五边形中，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得阴影扇形角度，难度不大． 14. 如图，在菱形中，，，点为中点，点、分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面五个结论： ①；②；③当时，； ④当时，四边形的面积是；⑤点与点距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有______．（诸填写序号） 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】证明得出，进而根据三角形的外角的性质可得，即可判断②，证明，得出不一定成立，故①不正确，证明求得，进而判断③，过点作于，过点于，求得，证明得出，，则四边形的面积是，即可判断④，以为边向下作等边三角形，得出四边形是的内接四边形，即在上运动，当在线段上时，最小，进而得出点与点距离的最小值为，进而判断⑤ ． 【详解】四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ∴， 在和中， ， ， ∴ ∴，故②正确 ∵， ∴ 又 ∴ ∴不一定成立，故①不正确 如图 ∵， ∴， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ∵ ∴，故③正确； 过点作于，过点于， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积是，故④不正确 如图，以为边向下作等边三角形， ∵，， ∴四边形是的内接四边形，即在上运动，当在线段上时，最小， 过点作，则， ∴， ∴ ∴点与点距离的最小值为，故⑤正确， 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，利用分式的运算法则先化简分式，再代入m的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 小明将如下四种软件的图标依次制成A、B、C、D不透明的四张卡片（背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． 从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽取到B，D两张卡片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 先根据题意列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽取到B，D两张卡片的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中恰好抽取到B，D两张卡片的结果有：，，共2种， ∴恰好抽取到B，D两张卡片的概率为． 17. 黄茅海跨海通道连接珠海市和江门市，是港珠澳大桥西延的关键通道，黄茅海大桥建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，问甲、乙工程队每天各铺设桥梁构件多少件？ 【答案】设甲工程队每天铺设桥梁构件 38 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件 42 件 【解析】 【分析】设甲工程队每天铺设桥梁构件 x 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件，根据甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，即可求解． 本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，得出等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲工程队每天铺设桥梁构件 x 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件， 解得： 乙工程队每天铺设桥梁构件为： 答：设甲工程队每天铺设桥梁构件 38 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件 42 件． 18. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）首先证明，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）分别在，中，利用勾股定理求出、即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∴，， 在中，， 在中， 19. 图①、②、图③均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点和的顶点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的边与网格线交于点，画出，使与关于所在的直线成轴对称，并确定点的对称点． （2）在图②中画出，使与关于点成中心对称． （3）在图③中，点在网格线上，且不在格点上，在线段上确定点，使． 【答案】（1） 如图，和点即为所求． （2） 如图，即为所求． （3）如图， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图可得与网格线的交点为点． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）连接并延长，交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接并延长，交于点，则点即为所求． 20. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 八年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1）88；87；40 （2） 解：八年级学生数学文化知识较好，理由如下： ∵两个年级10名学生的平均成绩相同，但是八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高， ∴八年级学生数学文化知识较好； （3）310人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等等： （1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，先求出把年级A组的人数，进而可求出m的值； （2）根据八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高即可得到结论； （3）用七年级的人数乘以七年级样本中优秀的人数占比求出七年级优秀人数，用八年级的人数乘以八年级样本中优秀的人数占比求出八年级优秀人数，再二者求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：八年级C组的人数为人，而八年级B组有4人，则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分， ∴八年级学生成绩的中位数； ∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多， ∴七年级的众数； 由题意得，， ∴； 故答案为：88；87；40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， ∴估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有310人． 21. 综合与实践 【问题背景】杆秤是我国古代传统的度量衡三大件之一，在学习了杆秤相关知识之后，小红学习小组想利用一根木棒制作一个简易杆秤． 【制作实验】 （1）如图所示，在木棒上先确定点为杆秤提组，点A处挂托盘，选取的托盘质量，秤砣质量，测得． （2）先在托盘里加相应质量的物体，调整秤砣位置，使杆秤保持平衡，记录的长度，获得的实验数据如表所示： 物体质量 0 1 2 3 4 长度 1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 任务1：杆秤在不挂重物而保持平衡时，其点所处的位置，称为定盘星．由表可知，定盘星和提纽的距离是______． 【建立模型】 任务2：小组讨论认为长度与物体质量的关系可以用一次函数来刻画．请求出长度与物体质量的函数关系式． 【结论应用】 任务3：经测量，发现该木棒在提纽挂秤砣一侧的长度为，根据要求，制作杆秤刻度时需在杆头和杆尾各预留长的部分用作杆秤美化，求该杆秤称量重物的最大量程． 【答案】任务1： 任务2： 任务3：该杆秤称量重物的最大量程为 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，杠杆原理，熟练掌握杠杆原理是解题的关键． 任务1：根据杆秤在不挂重物而保持平衡时长度即为定盘星和提纽的距离，于是得到结论； 任务2：设长度与物体质量的函数关系式为，把和代入解方程组得到长度与物体质量的函数关系式为； 任务3：根据杠杆原理列方程即可得到结论． 【详解】解：任务1：定盘星和提纽的距离是， 故答案为：． 任务2：设与的函数关系式为． 当时，；当时，． 代入数据，得， 解得 长度与托盘物体质量的函数关系式为． 任务3：由题意，得该杆秤上的长度最大为． 由任务2得，令，得 ， 解得． 答：该杆秤称量重物的最大量程为． 22. 【问题初探】 （）如图，动点在半径为的上，若，直接写出的最小值． 分析：由于和都是定长，当点，，形成三角形时，丽丽想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点在上时最短．按照丽丽的思路，请直接写出最小值______． 【类比分析】 （）如图，点和分别是边长为的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点，连接，求的最小值． 丽丽尝试着绘制了点在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图解决，请按照丽丽的思路完成求最小值的解题过程，以下是证明的部分过程． 证明：在正方形中，，， ， ， 证明过程缺失，， ∴可判断点的轨迹，进而求出的最小值． 请补全缺失的证明过程． 【学以致用】 （）如图，请结合上述探究过程在图中作出【类比分析】中的点（要求无刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并用铅笔或黑色笔加黑加粗）并直接写出此时的最小值_____． 【答案】（）； （）证明：在正方形中，，， ， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的半圆，即点在以为直径的半圆上， 设的中点为，连接，交半圆于点，则此时最小； （）如图所示，点即为所求， 【解析】 【分析】（）连接，设交于点，由三角形三边关系可得，进而即可求解； （）由正方形的性质可证，即得，进而由得到，即得到，得到点的运动轨迹是以为直径的半圆，即点在以为直径的半圆上，设的中点为，连接，交半圆于点，则此时最小； （）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，连接，交半圆于点，可知此时的值最小，点即为所求，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】（）连接，设交于点，如图， 则， ∴， ∴点与点重合时，取得最小值为， 故答案为：； （）略 （）∵正方形的边长为，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系，线段垂直平分线的作法，勾股定理，由题意判断出点的运动轨迹是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，点在边上，且．点从点出发，沿方向匀速运动到终点．当点不与的顶点重合时，连结，作点关于直线的对称点，连结、． （1）______； （2）直接写出的最小值______； （3）当点、、共线时，求四边形的面积； （4）当与的直角边垂直时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）1 （3） （4）1或或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）由，可得点在以点D为圆心，1为半径的圆上运动，由此可解； （3）利用勾股定理计算出点、、共线时的长度，设，用勾股定理解求出，则四边形的面积； （4）分三种情况：当且在上方时，当且在下方时，当时，画出图形，分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 点在以点D为圆心，1为半径的圆上运动， 如图，当点在位置时，取最小值，最小值为：， 故答案为：1； 【小问3详解】 解：点关于直线的对称点是， ，，，． 点、、共线 ， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 四边形的面积； 【小问4详解】 解：分三种情况： 当且在上方时，如图： 则， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ； 当且在下方时，如图：作于点E， 由题意得． ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， 解得， ，， ， ； 当时，如图： 此时， ， ， ，即， ， ； 综上可知，的值为1或或． 【点睛】本题考查动点问题，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，点到圆上一点的距离，轴对称的性质等，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过，点在抛物线上，横坐标为，点的坐标为，过点作垂直该抛物线的对称轴于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式及对称轴； （2）当点落在直线上时，求点的坐标； （3）连结并延长交抛物线对称轴于点，作点关于抛物线对称轴对称点，连结、和． ①求的值； ②当在对称轴左侧时，若四边形的周长与周长之比为，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为，对称轴为． （2）点的坐标为或 （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式，可求出其对称轴． （2）根据题意的点的纵坐标为，把代入中，利用公式法求解一元二次方程即可求点的坐标． （3）①过点作关于抛物线对称轴的对称点，连接，可得三点共线，设点为，表示和，即，得出四边形为平行四边形，进而证明为的中位线，即可求出． ②由上易证四边形为菱形，故菱形的周长为，周长为，即，代入数值，利用公式法即可求解或，再根据当在对称轴左侧时，，从而得出的值． 【小问1详解】 解：把代入 得：， ∴， ∴该抛物线对应的函数表达式为， ∴对称轴为直线，即． 【小问2详解】 解：由题意可得，直线为，点在直线上 ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 ①解：过点作关于抛物线对称轴的对称点，连接，如图 又∵点关于抛物线对称轴的对称点为点，延长交抛物线对称轴于点， ∴三点共线， 设点为， 又∵抛物线对称轴是直线，点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴点为， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线，即， ∴， ②∵为的中位线，垂直平分，四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为， ∵抛物线对称轴是，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴周长为， ∵四边形的周长与周长之比为， ∴， ∵点为，点的坐标为， ∴， 将和代入， 化简可得， 整理得：， ∴或， 解得：，，， ∵在对称轴左侧，即， ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查待定系数法，抛物线的对称轴，菱形的性和判定，平行四边形的性质和判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的公式法求根，熟练掌握待定系数法，勾股定理，平行四边形的性质，解方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春北湖学校2024—2025学年度下学期九年级适应性训练 数学学科试卷 时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 与数5的和等于0的数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 4. 如图，某农林部门用钢管为树木加固，已知钢管的长为4米，钢管与地面所成夹角．则固定点A离地面的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，四边形内接于，若，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 4 6. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 若连接，则 8. 用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率（单位：）可近似地看成吸管长度（单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B. 对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C. 长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D. 对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 的算术平方根是______． 10. 一次函数y＝kx+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是 _____． 11. 如果关于的方程有实数根，那么的值可以是_______． 12. 若关于，的方程组的解满足，则的值为_______________． 13. 如图，正五边形的边长为4，以为边作等边，则图中阴影部分的面积为_______． 14. 如图，在菱形中，，，点为中点，点、分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面五个结论： ①；②；③当时，； ④当时，四边形的面积是；⑤点与点距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有______．（诸填写序号） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 小明将如下四种软件的图标依次制成A、B、C、D不透明的四张卡片（背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． 从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽取到B，D两张卡片的概率． 17. 黄茅海跨海通道连接珠海市和江门市，是港珠澳大桥西延的关键通道，黄茅海大桥建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，问甲、乙工程队每天各铺设桥梁构件多少件？ 18. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 19. 图①、②、图③均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点和的顶点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的边与网格线交于点，画出，使与关于所在的直线成轴对称，并确定点的对称点． （2）在图②中画出，使与关于点成中心对称． （3）在图③中，点在网格线上，且不在格点上，在线段上确定点，使． 20. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 八年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 21. 综合与实践 【问题背景】杆秤是我国古代传统的度量衡三大件之一，在学习了杆秤相关知识之后，小红学习小组想利用一根木棒制作一个简易杆秤． 【制作实验】 （1）如图所示，在木棒上先确定点为杆秤提组，点A处挂托盘，选取的托盘质量，秤砣质量，测得． （2）先在托盘里加相应质量的物体，调整秤砣位置，使杆秤保持平衡，记录的长度，获得的实验数据如表所示： 物体质量 0 1 2 3 4 长度 1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 任务1：杆秤在不挂重物而保持平衡时，其点所处的位置，称为定盘星．由表可知，定盘星和提纽的距离是______． 【建立模型】 任务2：小组讨论认为长度与物体质量的关系可以用一次函数来刻画．请求出长度与物体质量的函数关系式． 【结论应用】 任务3：经测量，发现该木棒在提纽挂秤砣一侧的长度为，根据要求，制作杆秤刻度时需在杆头和杆尾各预留长的部分用作杆秤美化，求该杆秤称量重物的最大量程． 22. 【问题初探】 （）如图，动点在半径为的上，若，直接写出的最小值． 分析：由于和都是定长，当点，，形成三角形时，丽丽想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点在上时最短．按照丽丽的思路，请直接写出最小值______． 【类比分析】 （）如图，点和分别是边长为的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点，连接，求的最小值． 丽丽尝试着绘制了点在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图解决，请按照丽丽的思路完成求最小值的解题过程，以下是证明的部分过程． 证明：在正方形中，，， ， ， 证明过程缺失，， ∴可判断点的轨迹，进而求出的最小值． 请补全缺失的证明过程． 【学以致用】 （）如图，请结合上述探究过程在图中作出【类比分析】中的点（要求无刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并用铅笔或黑色笔加黑加粗）并直接写出此时的最小值_____． 23. 如图，在中，，，，点在边上，且．点从点出发，沿方向匀速运动到终点．当点不与的顶点重合时，连结，作点关于直线的对称点，连结、． （1）______； （2）直接写出的最小值______； （3）当点、、共线时，求四边形的面积； （4）当与的直角边垂直时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过，点在抛物线上，横坐标为，点的坐标为，过点作垂直该抛物线的对称轴于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式及对称轴； （2）当点落在直线上时，求点的坐标； （3）连结并延长交抛物线对称轴于点，作点关于抛物线对称轴对称点，连结、和． ①求的值； ②当在对称轴左侧时，若四边形的周长与周长之比为，直接写出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $