精品解析：2025年河南省郑州市郑外国语学校中考三模数学试卷

数学 注意事项：本试卷分为试题卷和答题卡两部分．三个大题，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，则有理数在数轴上对应的数据可能是（ ） A. B. C. D. 2. 3月25日，郑许高速公路项目取得了阶段性突破，高速主线全长约64300米，该项目对加快中原城市群建设、完善郑州都市圈交通一体化布局具有重大意义，64300这个数据可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，如果“马”在点，“仕”在点，则“帅”所在点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式组 ，无解，则的取值范围是（ ） A. ≤2 B. ≥2 C. ＜2 D. ＞2 6. 如图，在平行四边形中，点为边上靠近的三等分点，连接交于点，若，则的面积为（ ） A. 9 B. 18 C. 32 D. 36 7. 下面的计算，不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 来郑州，一定要打卡“非遗里的河南”．朵朵和果果在假期来到“只有河南”体验有声、有色、有趣、有滋味的河南非遗．他们分别从以下三项非遗里选一项进行体验，则两人选择的非遗体验相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的内接三角形，直径于点．如果，，那么的长为（ ） A. 10 B. C. 15 D. 5 10. 如图，点为等腰直角直角边上一动点，连接，作于点，连接，与的长度关系如图所示，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=_____． 12. 我校为了解学生的消防安全意识，从九年级中随机抽取50位同学进行消防安全知识问答，整理成绩如右表，则得分的中位数为：_____． 分数 6 7 8 9 10 频数 2 7 15 16 10 13. 如果关于的方程有两个实数根，那么的最小整数值是_____． 14. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边在坐标轴上，顶点的坐标为，将沿翻折得到，则点的坐标为_____． 15. 已知如图，菱形的边长为6，，点E是直线上的一个动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，在平面内存在一点G，若以点C、F、D、G为顶点的四边形也是菱形，则此时线段的长为_______． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）化简： 17. 随着国务院印发的《2024－2025年节能降碳行动方案》提到加快淘汰老旧机动车，提高营运车辆能耗限值准入标准，逐步取消各地新能源汽车购买限制，并落实便利新能源汽车通行等支持政策，随着绿色出行、节能减排、低碳环保的理念不断深入人心，新能源汽车也越来越受到人们的青睐．小月家准备购买一辆新能源汽车．在预算范围内，收集了A，B两款汽车在2024年9月至2025年3月期间的月销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项评分数据，并整理、描述、分析如下： A，B两款新能源汽车网友评分数据统计表 A款 B款 外观造型 72分 70分 舒适程度 70分 71分 操控性能 67分 70分 售后服务 64分 68分 （1）B款新能源汽车在2024年9月至2025年3月期间月销售量的中位数为_____辆； （2）若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项评分数据按的比例统计，分别求出A，B款新能源汽车四项评分数据的平均数； （3）合理建议：请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小月家购买哪款汽车？说说你的理由． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）反比例函数表达式为____________________；一次函数表达式为____________________； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 19. 如图，在四边形中，，平分，， （1）求证：； （2）请用不带刻度的直尺和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断是否为的切线，并说明理由． 20. 开森和希宝两位同学开展实际测量活动，他们选择测量郊区一新建房屋（如图①）的高度，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁交于点（点在同一水平线上）．（参考数据：） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 21. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．某小区为给居民营造良好的阅读环境，决定建立社区图书馆．现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． （1）请求出A，B两种书架的单价； （2）该小区现需购进15个书架用于摆放书籍，且A种书架数量不少于种书架数量的，请设计费用最少的购买方案． 22. 已知抛物线（为常数） （1）当时 ①直接写出该抛物线与轴的交点的坐标：_____； ②求此时抛物线的顶点坐标； ③点也是该抛物线上的点，如果是直角三角形，求出此时点的坐标； （2）当时，所对应的函数值总大于，直接写出的取值范围． 23. 【特例分析】媛媛和早早在共同学习探究平移和旋转的过程中发现了有趣的事情： 如图1，是等边三角形，将绕顶点顺时针旋转得到，连接和，直线和交于点，那么在旋转的过程中，的度数始终等于_____，特别地，当时，_____； 【深入探究】如图2，媛媛继续探究，如果是等腰直角三角形，其中且，同样将绕顶点顺时针旋转得到，直线和交于点，则直线和直线所夹锐角的度数是_____；请猜想线段与的数量关系，并就图2说明理由． 【实践应用】早早在媛媛的探究下继续思考并提出问题：如图3，在矩形中，．，点是边上靠近顶点的三等分点，连接，将绕顶点顺时针旋转得到．连接和，直线交线段于点，在旋转的过程中，当点三点共线时，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项：本试卷分为试题卷和答题卡两部分．三个大题，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，则有理数在数轴上对应的数据可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，由数轴可知有理数在和之间，更靠近， 据此判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，有理数在和之间，更靠近， ∴有理数在数轴上对应的数据可能是， 故选：． 2. 3月25日，郑许高速公路项目取得了阶段性突破，高速主线全长约64300米，该项目对加快中原城市群建设、完善郑州都市圈交通一体化布局具有重大意义，64300这个数据可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数字64300用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】解：将数字64300用科学记数法表示为． 故选：B 3. 如图，如果“马”在点，“仕”在点，则“帅”所在点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查坐标系的实际应用、中国象棋棋盘布局知识．解题关键在于准确建立坐标系，结合棋子标准位置和图形相对距离进行空间推理，实现几何位置向坐标数值的转化．首先，建立坐标系，每个单位长度为棋盘的一个格子宽度．据此求解即可． 【详解】解：依题意，建立如图所示的坐标系，x轴向右为正方向，y轴向上为正方向，每个单位长度为棋盘的一个格子宽度，从图中观察，“帅”位于第四象限，“帅”的坐标为． 故选：D． 4. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 5. 已知关于的不等式组 ，无解，则的取值范围是（ ） A. ≤2 B. ≥2 C. ＜2 D. ＞2 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式组无解的条件即可求出的取值范围． 【详解】解：由于不等式组 无解 根据“大大小小则无解”原则，得出 故选：B． 【点睛】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，求不等式组的公共解，要遵守以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 6. 如图，在平行四边形中，点为边上靠近的三等分点，连接交于点，若，则的面积为（ ） A. 9 B. 18 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，四边形是平行四边形，，得，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点为边上靠近的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 下面的计算，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方的逆运算、幂的乘方及同底数幂的乘法法则分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，该选项计算正确，不合题意； B、，该选项计算正确，不合题意； C、，该选项计算正确，不合题意； D、，该选项计算错误，符合题意； 故选：D． 8. 来郑州，一定要打卡“非遗里的河南”．朵朵和果果在假期来到“只有河南”体验有声、有色、有趣、有滋味的河南非遗．他们分别从以下三项非遗里选一项进行体验，则两人选择的非遗体验相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用表格求概率．设三项非遗分别用A，B，C表示，根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中两人选择的非遗体验相同的有3种，再由概率公式计算，即可解答． 【详解】解：设三项非遗分别用A，B，C表示， 根据题意，列出表格如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 一共有9种等可能结果，其中两人选择的非遗体验相同的有3种， 所以两人选择的非遗体验相同的概率为． 故选：B 9. 如图，是的内接三角形，直径于点．如果，，那么的长为（ ） A. 10 B. C. 15 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，求出，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10. 如图，点为等腰直角直角边上一动点，连接，作于点，连接，与的长度关系如图所示，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点函数问题，点和圆的位置关系，圆周角定理等，由可得点在以为直径的圆上，设圆心为，连接交于点，可知此时最小，又由函数图象可得当时，，此时点在点处，即得，再利用等腰直角三角形的性质可得，即可得，得到，利用勾股定理求出进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，设圆心为，如图， 连接交于点，此时最小， 由函数图象可得，当时，，此时点在点处，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 12. 我校为了解学生的消防安全意识，从九年级中随机抽取50位同学进行消防安全知识问答，整理成绩如右表，则得分的中位数为：_____． 分数 6 7 8 9 10 频数 2 7 15 16 10 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了中位数，根据中位数的求法求解即可． 【详解】解：∵共有50个数据 ∴中位数为第25个数据和第26个数据的平均数 ∴得分的中位数为：． 故答案为：9． 13. 如果关于的方程有两个实数根，那么的最小整数值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是首先理解有两个实数根就是指，根据题目意思可知，解即可求，从而求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故的最小整数值是． 故答案为：． 14. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边在坐标轴上，顶点的坐标为，将沿翻折得到，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点F，因为矩形的边在坐标轴上，，求出，，由翻折得，所以，则，由勾股定理得，求得，则，由，，得，，则，所以，于是得以问题的答案． 【详解】解：作轴于点F，则， ∵矩形的边在坐标轴上，， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点D在第四象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题重点考查坐标与图形变化-对称、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 15. 已知如图，菱形的边长为6，，点E是直线上的一个动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，在平面内存在一点G，若以点C、F、D、G为顶点的四边形也是菱形，则此时线段的长为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分①如图，当时，②如图，当时，③如图，当时三种情况分析，通过菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】解：由以点C、F、D、G为顶点的四边形也是菱形，则可分： ①如图，当时，过D作于点M，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时，过D作于点M，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如图，当时，过F作于点N，过D作于点M， ∴，， ∴， 由旋转性质可知，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可知：线段的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，解题的关键是注意分类讨论． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算及分式的混合运算，熟知运算法则和运算顺序是关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则和零次幂的意义求解即可； （2）根据分式的混合运算先算括号内，再把除法转化为乘法运算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式= ． 17. 随着国务院印发的《2024－2025年节能降碳行动方案》提到加快淘汰老旧机动车，提高营运车辆能耗限值准入标准，逐步取消各地新能源汽车购买限制，并落实便利新能源汽车通行等支持政策，随着绿色出行、节能减排、低碳环保的理念不断深入人心，新能源汽车也越来越受到人们的青睐．小月家准备购买一辆新能源汽车．在预算范围内，收集了A，B两款汽车在2024年9月至2025年3月期间的月销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项评分数据，并整理、描述、分析如下： A，B两款新能源汽车网友评分数据统计表 A款 B款 外观造型 72分 70分 舒适程度 70分 71分 操控性能 67分 70分 售后服务 64分 68分 （1）B款新能源汽车在2024年9月至2025年3月期间月销售量的中位数为_____辆； （2）若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项评分数据按的比例统计，分别求出A，B款新能源汽车四项评分数据的平均数； （3）合理建议：请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小月家购买哪款汽车？说说你的理由． 【答案】（1）4667 （2）款车的平均数是分；款车的平均数是分 （3） 我推荐车，理由如下： 将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项评分数据按的比例统计， 从销量上来看：款车3月份的销量更高， 我推荐车．（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查中位数，加权平均数和折线统计图，根据统计数据作决策．熟练掌握定义，计算公式是解题的关键． （1）把款新能源汽车在2024年9月至2025年3月期间月销售量由小到大排序如下：1563，2254，3279，4667，5188，8153，8840，根据中位数的定义计算即可即可． （2）根据加权平均数的计算方法求解即可． （3）给出比例合理即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：把款新能源汽车在2024年9月至2025年3月期间月销售量由小到大排序如下：1563，2254，3279，4667，5188，8153，8840， 中位数是第四个数据，故中位数是4667辆， 故答案为：4667； 【小问2详解】 解：款车的平均数是：（分）； 款车的平均数是：（分）． 【小问3详解】 略 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）反比例函数表达式为____________________；一次函数表达式为____________________； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可； （3）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P的坐标为，利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为， 一次函数图象过，， ∴， 解得， 一次函数解析式为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由图象可知，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：在一次函数中，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴点． 19. 如图，在四边形中，，平分，， （1）求证：； （2）请用不带刻度的直尺和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断是否为的切线，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， 平分， ， ， ， 即． （2） 如图，即为所求． 是， 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】本题综合考查角平分线性质、勾股定理及逆定理、三角形外接圆与切线判定，核心是利用几何性质与定理，通过作辅助线、等量代换实现边与角关系转化，突破垂直证明与切线判定． （1）证：借角平分线作垂线，勾股定理算线段，再借助相似三角形的判定与性质，实现从边的计算到角的关系推导． （2）作外接圆与证切线：作垂直平分线定圆心作圆，利用半径相等、角平分线性质证平行，结合直角条件，依切线判定（垂直于半径外端）得结论，完成几何作图与位置关系证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 开森和希宝两位同学开展实际测量活动，他们选择测量郊区一新建房屋（如图①）的高度，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁交于点（点在同一水平线上）．（参考数据：） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 【答案】（1）屋顶到横梁的距离为 （2）房屋的高约 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据轴对称的性质可得，再利用平行线的性质求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可求解； （2）过点作于点，根据题意得．设，则，在中，利用锐角三角函数定义表示出 ，在中，利用锐角三角函数的定义解得，根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 在中，， ， 屋顶到横梁的距离为． 【小问2详解】 过点作于点， 由题意得，四边形为矩形， ． 设，则． 在中，， ． 在中，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， ， ， 房屋的高约． 21. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．某小区为给居民营造良好的阅读环境，决定建立社区图书馆．现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． （1）请求出A，B两种书架的单价； （2）该小区现需购进15个书架用于摆放书籍，且A种书架数量不少于种书架数量的，请设计费用最少的购买方案． 【答案】（1）种书架的单价是1200元，种书架的单价是1000元 （2）费用最少时的购买方案为：购买6个种书架，9个种书架 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，根据用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A种书架a个，则购进B种书架个，根据A种书架数量不少于B种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再设购买总费用为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设种书架的单价是元，则种书架的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：种书架的单价是1200元，种书架的单价是1000元； 【小问2详解】 解：现需购进15个书架用于摆放书籍，且购买个种书架， 购买个种书架． 购买种书架数量不少于种书架数量的， ，解得：． 设购买总费用为元， ， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时， 费用最少时的购买方案为：购买6个种书架，9个种书架． 22. 已知抛物线（为常数） （1）当时 ①直接写出该抛物线与轴的交点的坐标：_____； ②求此时抛物线的顶点坐标； ③点也是该抛物线上的点，如果是直角三角形，求出此时点的坐标； （2）当时，所对应的函数值总大于，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②点的坐标为；③点的坐标为或． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质（与坐标轴交点、顶点、单调性等）及直角三角形存在性问题，熟练掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解题的关键． （1）①求抛物线与轴交点，令代入解析式计算．②把代入解析式，通过配方法化为顶点式求顶点坐标．③先确定、坐标，设坐标，分、、为直角三种情况，利用勾股定理列方程求解． （2）先求抛物线对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况（、、），结合二次函数单调性，求出时的取值范围． 【小问1详解】 解：①当时，抛物线解析式为． 令，则， ． ②， 顶点． ③设，，． ∴，，． 当时，由解得，此时； 当时，由解得，此时； 当时，由解得或，对应点和点，不构成三角形，应舍去． 综上，或． 【小问2详解】 解：抛物线，对称轴，开口向下． 当时，时最小，． 由得，与无交集，舍去． 当时，或时最小，时，时． 由，解得， ． 当时，时最小，． 由得，结合， ． 综上，的取值范围是． 23. 【特例分析】媛媛和早早在共同学习探究平移和旋转的过程中发现了有趣的事情： 如图1，是等边三角形，将绕顶点顺时针旋转得到，连接和，直线和交于点，那么在旋转的过程中，的度数始终等于_____，特别地，当时，_____； 【深入探究】如图2，媛媛继续探究，如果是等腰直角三角形，其中且，同样将绕顶点顺时针旋转得到，直线和交于点，则直线和直线所夹锐角的度数是_____；请猜想线段与的数量关系，并就图2说明理由． 【实践应用】早早在媛媛的探究下继续思考并提出问题：如图3，在矩形中，．，点是边上靠近顶点的三等分点，连接，将绕顶点顺时针旋转得到．连接和，直线交线段于点，在旋转的过程中，当点三点共线时，直接写出此时的长． 【答案】【特例分析】；； 【深入探究】；， 由题意可知，， 又 ∴， ∴， ∴， 记与交于点，则有， ∴； 故答案为：； 线段与的数量关系：；理由如下： ∵， ∴点四点共圆（同弧所对的圆周角相等）， 如图，连接， ∵， ∴为直径， ∴，即， ∵， ∴（等腰三角形三线合一）； 【实践应用】或 【解析】 【分析】[特例分析]由题易得，从而在四边形中利用四边形内角和求出即可；连接，易证是的等腰三角形，，据此可得； [深入探究]易证，可得，证明；进而可证点四点共圆，且为直径，所以，根据等腰三角形三线合一即可得解； [实践应用]由前述思路可证M是中点，当点三点共线时，可分两种情况讨论，一是在中间，二是在中间，我们发现，而点的轨迹是以C为圆心，长为半径的小圆，点运动轨迹为以C为圆心，长为半径的大圆，因为，所以直线则和小圆相切，据此即可容易画出图形，进而求解即可． 【详解】解：[特例分析]由旋转可知， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在四边形中， ； ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴， 过点作于点，则，， ∴ ∴， ∴，即； 故答案为：；； [深入探究]略 [实践应用]∵旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 记与交于点，则， 又，， ∴， 即：， ∴点四点共圆， ∵， ∴为直径， ∴，即， ∵， ∴，即M为中点， ∵E为靠近点A的三等分点， ∴，， 第一种情况：当在线段中间时，如图，过作于点K，作于点G，过M作于点H， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵M为中点， ∴，， ∴， 在中，； 第二种情况：当在线段中间时，如图， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴， ∴，， ∴，， ∵M为中点， ∴，， ∴， 在中，； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $