3.1.2函数的单调性（第二课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

Mr宁静致远 时间：202X.X 主讲人： 高中数学人教B版（2019）必修一 3.1.2函数的单调性 第二课时 (函数的最值) · 01 02 03 04 目录 05 复习回顾 函数的最大值、最小值 二次函数的最值问题 函数不等式恒成立、能成立问题 利用函数的单调性求最值 复习回顾 判断函数单调性的方法？ 1.定义法 2.图像法 3.平均变化率法 4.性质法 问题1 如何描述函数的单调性？ 问题2 一般地,设函数y＝f (x)的定义域为D,且I⊆D,如果对任意x1,x2∈I (1)当x1＜x2时，都有f (x1)＜ f (x2)，则称y＝f (x)在I上是增函数(也称在I上单调递增) (2)当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，则称y＝f (x)在I上是减函数 (也称在I上单调递减) 探究知新1 这是江西庐山群山叠嶂，苏轼在《题西林壁》中这样研究“横看成岭侧成峰，远近高低各同”，描述的就是庐山的高低起伏，错落有致。在江西庐山群山之中，一定会找到一个最高的山峰和最低的山峰。 在数学上，这种现象如何来刻画呢? 探究知新2 x y 观察函数f(x)=x2的图象，容易发现图象上有一个最低点（0,0） 即对任意的x∈R，都有f(x)≥f(0) 最小值 当函数f(x)=x2的图象有最低点时，就说f(x)有最小值 反之，若图象有最高点，就说函数有最大值 概念生成 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D: (1)如果对任意x∈D，都有 f(x)≤f(x0)，则称 f(x)的最大值为 f(x0)，而x0称为 f(x)的最大值点; (2)如果对任意x∈D，都有 f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点. 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点。 知识点、函数的最值 概念剖析 (1)最值的两个条件： ①对于定义域内的全部元素，都有f (x)≤f (x0)(f (x)≥f (x0))成立； ②f (x0)是一个函数值，它是值域的一个元素． (2)若f (x)在[a，b]上单调递增，则 f (a)≤f (x)≤f (b)，即最大值为f (b)，最小值为 f (a)； 若f (x)在[a，b]上单调递减，则f (b)≤f (x)≤f (a)，即最大值为f (a)，最小值为f (b)． 教材典例解析 例2 判断函数f(x)=3x+5，x∈[-1，6]的单调性，并求这个函数的最值。 【解】法一：任取 x1，x2∈[-1，6]且x1<x2，则x1-x2<0， 那么解f(x1)-f(x2)=(3x1+5)-(3x2+5)=3(x1-x2)<0, 所以这个函数是___增_____函数 因此，当-1≤x≤6时，有f(-1)≤f(x)≤f(6) 从而这个函数的最小值为f(-1)=5，最大值为f(6)=6 法二：不等式的知识得到:因为-1≤x≤6，所以 -3≤3x≤18，2<3x+5≤23,即f(-1)≤f(x)≤f(6)，单调性证明同上. 求最值方法：单调性法、不等式法 教材典例解析 例5 证明函数 f(x)=x2+2x在(一∞，-1]上是减函数，在[-1,十∞)上是增函数，并求这个函数的最值。 【证明】设x1≠x2，则 因此： 当x1，x2∈(一∞，-1]时，有x1+x2<-2，从而 ，故f(x)在(一∞，-1]上是减函数； 当x1，x2∈[-1，十∞)时，有x1+x2>-2，从而 ，故f(x)在[-1，十∞)上是增函数. 由函数的单调性可知，函数没有最大值; 而且，当x∈(-∞，-1]时，有f(x)≥f(-1)；当 x∈[-1，十∞)时，不等式也成立， 因此f(-1)=-1 是函数的最小值 探究知新 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调性为: (1)当a>0时，f(x)在 上单调递减， 在 上单调递增， 函数没有最大值，但有最小值 (2)当a<0时，f(x)在 上单调递增， 在 上单调递减， 函数没有最小值，但有最大最值 当然，这一结论也可以从二次函数的图象是关于 ， 对称的抛物线与开口方向看出来. 题型训练一 利用单调性求最值 1.已知函数 (1)判断f (x)在区间[1，2]上的单调性，并证明； 解：f (x)在区间[1，2]上单调递减． 证明：任取x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，则 ∵x1＜x2，∴x1－x2＜0. 当1≤x1＜x2≤2时，x1x2＞0，1＜x1x2＜4，即x1x2－4＜0 题型训练一 (2)根据f (x)的单调性求出f (x)在区间[1，2]上的最值． 解：f (x)在区间[1，2]上单调递减． 由(1)知f (x)的最小值为f (2)，f (2)＝2＋ ＝4，f (x)的最大值为f (1)，f (1)＝1＋4＝5，∴f (x)的最小值为4，最大值为5． ∴f (x1)＞f (x2)，即f (x)在区间[1，2]上单调递减． 题型训练一 利用单调性求最值 2．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数 的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B【分析】判断函数定义域及单调性，即可判断函数最值. 【详解】由已知 ,即函数的定义域为 [0,4] ， 且 则函数在[0,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减， 即当x=2时， 取得最大值为1，故选：B. 题型训练一 利用单调性求最值 3.(24-25高一上·福建泉州·期中)函数 的值域为（    ） A．(-∞，-1] B．[1,+∞) C．[-1,1] D．R 【答案】D【分析】分析函数单调性可得函数的值域. 【详解】由 得 . ∵ 在[-1,0),(0,+∞)上为减函数， 在[-1,0),(0,+∞) 上为增函数， ∴ 在[-1,0),(0,+∞)上均单调递减. 当x>0且x→0时，f(x)→+∞，当x→+∞时，f(x)→-∞， ∴函数的值域为R.故选：D. 题型训练一 利用单调性求最值 题型训练二 二次函数的最值问题 角度1 定轴定区间 【答案】B【分析】由f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4，x∈[0,3]，根据二次函数的性质即可求得结果. 【详解】因为f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4，x∈[0,3]， 则当x=1时，函数f(x)的最小值为f(1)=-4， 当x=3时，函数f(x)的最大值为f(3)=0， 故则函数f(x)的值域为[-4,0].所以本题答案为B. 【例】已知函数f(x)=x2-2x-3，若x∈[0,3]，则函数f(x)的值域为（ ） A．[-3,0] B．[-4,0] C．[-4,-3] D．[-3,1] 解：y＝(x－a)2－1－a2． 当a＜0时，函数在[0，2]上单调递增，如图①． 故函数在x＝0处取得最小值－1， 在x＝2处取得最大值3－4a． 当0≤a≤1时，结合函数图象(如图②)知， 函数在x＝a处取得最小值－a2－1， 在x＝2处取得最大值3－4a． 题型训练二 二次函数的最值问题 角度2 动轴定区间 【例】求函数y＝x2－2ax－1在区间[0，2]上的最值． 0 2 a 2 a 0 1 ③当1＜a≤2时，结合图象(如图③)知， 函数在x＝a处取得最小值－a2－1， 在x＝0处取得最大值－1． ④当a＞2时，函数在[0，2]上单调递减，如图④． 函数在x＝0处取得最大值－1， 在x＝2处取得最小值3－4a． 综上，当a＜0时，函数在区间[0，2]上的最小值为－1，最大值为3－4a； 当0≤a≤1时，函数在区间[0，2]上的最小值为－a2－1，最大值为3－4a； 当1＜a≤2时，函数在区间[0，2]上的最小值为－a2－1，最大值为－1； 当a＞2时，函数在区间[0，2]上的最小值为3－4a，最大值为－1． 0 2 a 0 2 a 1 题型训练二 二次函数的最值问题 角度3 定轴动区间 【例】已知函数f (x)＝x2－2x＋2(其中x∈[t，t＋1]，t∈R)的最小值为g(t)，求g(t)的解析式． 解：由函数f (x)＝x2－2x＋2知其图象的开口向上，对称轴为直线x＝1．下面分三种情况讨论： ①当t＋1≤1，即t≤0时，如图①所示， 此时函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递减， ∴g(t)＝f (t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋2＝t2＋1． 题型训练二 二次函数的最值问题 t t+1 1 x ②当 即0＜t＜1时，如图所示， 此时，函数f (x)在区间[t，1]上单调递减， 在区间[1，t＋1]上单调递增，∴g(t)＝f (1)＝1． ③当t≥1时，如图③所示，此时，函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递增，∴g(t)＝f (t)＝t2－2t＋2． 综上可知， 题型训练二 二次函数的最值问题 0 t 1 t+1 x 0 1 t t+1 x 题型训练三 函数不等式恒成立、能成立问题 1.(24-25高一上·陕西西安·期末)已知命题p： ，则p的一个充分不必要条件是（   ） A．a<-1 B．a>0 C．a>1 D．a>2 【答案】D 【详解】命题p： ,则 上恒成立， 而函数 上单调递增，则 ，因此 -a<-1， 解得a>1，能推出a>1的选项，并且a>1又不能推出该选项的只有D符合，所以p的一个充分不必要条件是a>2,故选：D 题型训练三 函数不等式恒成立、能成立问题 2.(24-25高一上·重庆·阶段练习) ,使得关于的不等式 有解，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】 ，使得关于的不等式 有解， 即 ,不等式 ,则只需要 即可， 由对勾函数的性质可得函数 在 上单调递减，在 上单调递增,当x=1时，y=3，当x=2时，y=3， 所以 ，所以 ,所以实数a的取值范围是 (-∞,3].故选：B. 汇报时间：202X.X 汇报人：iPPT 202X 谢谢大家 Mr宁静致远 高中数学人教B版（2019）必修一 时间：202X.X $$