《1.1三角形中的线段和角（第一课时）》课件2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.1三角形中的线段和角（第一课时） 第一章 三角形 2025-2026学年苏科版八年级数学同步教学课件 学习目标： 1.理解三角形的定义、基本元素（顶点、边、角），能够准确识别三角形。 2.掌握三角形按边和按角的分类方法，能对给定三角形进行正确分类。 3.深入理解并熟练运用三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ，判断三条线段能否组成三角形以及已知两边求第三边的取值范围。 3 一. 三角形的定义与元素 什么是三角形？ 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形。 3 2.表示：三角形可用符号“△”来表示，如图中的 三角形可记作△ABC”，读作“三角形ABC”. 其中，A，B，C叫作△ABC的顶点；∠A，∠B， ∠C叫作△ABC的内角（简称△ABC的角）； 线段AB，BC，CA叫作△ABC的边. 通常∠A，∠B，∠C的对边BC，AC，AB可分别用a，b， c来表示. 。 A B C a b c 二. 三角形的分类 你能找出下列三角形的三边长的特点吗？ 有两条边相等 三边均不相等 三条边均相等 三边各不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 腰 顶角 底角 底边 三角形中，有的三边都不相等，有的两边相等，有的三边都相等，其中，两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角，如图所示. 1.等腰三角形 等腰三角形 底边 底角 底角 腰 顶角 腰 2.等边三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形. 3.三角形按边分类 三角形 三边各不相等的三角形 等腰三角形 腰和底边不相等的三角形 腰和底边不相等的三角形（等边三角形） 2 2 4  三. 三角形的三边关系 猜想一 若三边长是2、2、4能围成三角形呢？ 两边的和等于第三边，不能组成三角形。 猜想二 若三边长是2、3、6能围成三角形呢？ 2 3 6 两边的和小于第三边，不能组成三角形。 4 5 6 猜想三 若三边长是2、3、6能围成三角形呢？ 两边的和大于第三边，能组成三角形。 结论 两边的和大于第三边，能围成三角形。 a b A B C c 换句话说：三角形的任意两边的和大于第三边。 问题：这一结论的根本依据是什么？ 线段的基本事实：两点之间，线段最短。 三角形的三边关系定理 AC+BC>AB AB+BC>AC AB+AC>BC 三角形任意两边的和大于第三边 AC>AB-BC AB>AC-BC AB>BC-AC 三角形任意两边的差小于第三边 利用不等式的性质可得 四.三角形边和角的关系 1.大边对大角 【思考】在△ABC中，AB＞AC，则∠B和∠C有什么大小关系？                          ∠B＜∠C A C B A C B D 在AB上截取AD=AC 验证 在△ABC中，AB＞AC，求证：∠C＞∠B 【解析】在AB上截取AD = AC 因为在△ ABC中，在AB上截取AD = AC，连接CD（辅助线的添加）。根据等腰三角形的性质，在△ADC中，AD = AC，所以∠ADC=∠ACD（等边对等角）。又因为∠BDC是△ADC的一个外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，所以∠BDC> ∠B。而∠BDC = ∠ADC（同一个角），且∠ACD是 ∠ACB的一部分，即∠ACB>∠ ACD，所以∠ACB> ∠B，也就是∠C>∠ B。 A C B 延长AC至E,使AE=AB E 验证 在△ABC中，AB＞AC，求证：∠C＞∠B 【解析】延长AC至E，使AE = AB 因为在△ABC中，延长AC至E，使AE = AB，连接BE（辅助线的添加）。根据等腰三角形的性质，在△ABE中，AE = AB，所以∠ABE=∠AEB（等边对等角）。又因为∠ABC是∠ABE的一部分，即∠ABE>∠ABC。而∠ACB是△BCE的一个外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，所以∠ ACB>∠AEB。因为∠ABE= ∠AEB，所以∠ACB>∠ABC，也就是∠C>∠B。 【结论】 在一个三角形中，如果两条边不等，那么他们所对的角也不等，大边所对的角较大。 类似的在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。 2.大角对大边 【即时理解】 (1)在三角形中，已知BC＞AB＞AC,那么∠A，∠B,∠C有怎样的大小关系？ 【解析】∵CB＞AB＞AC；∴∠A＞∠C＞∠B (2)如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？ 【解析】已知这个三角形中最大的边所对的角是锐角，因为最大边对应最大角，所以这个三角形的最大角是锐角。而三角形中最大角是锐角，那么其他的角肯定也都是锐角（因为其他角比最大角小，最大角是锐角，那么比它小的角必然也是锐角）。根据锐角三角形的定义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，所以这个三角形一定为锐角三角形。 (3)直角三角形的那一条边最长？为什么？ 【解析】因为直角是直角三角形中最大的角，根据大角对大边的性质，直角所对的边就是直角三角形中最长的边，这条边被称为斜边。 。 经典例题 例1.有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒，用长度为2 cm的木棒能与它们首尾相接摆成三角形吗？为什么？长度为13 cm的木棒呢？ 解：取长度为2 cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形； 取长度为13 cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形. 例2.下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 4,3,2 B. 1,5,3 C. 3,3,5 D. 4,6,2 【解析】已知三条线段，先找到最短的两条线段，再利用三角形的两边之和大于第三边来判断。 A 例3.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,求这个等腰三角形的周长。 解：当三角形的腰为4时， 则三边为4，4，9 ∵4+4<9 ∴不能组成三角形（舍去） 当三角形的腰为9时， 则三边为9，9，4 ∵4+9>9 ∴能组成三角形 ∴周长为9+9+4=22cm ∴综上：周长为22cm 例4.已知等腰三角形的周长为18cm，如果一边长等于4cm， 求另两边的长？ 解：设另一边为x厘米 当三角形的腰为4时， 则三边为4，4，x ∴ 4+4+x=18 解得： x=10 ∵4+4<10 ∴不能组成三角形（舍去） 当三角形的腰为x时， 则三边为x，x，4 ∴ x+x+4=18 解得： x=7 ∵4+7>7 ∴能组成三角形 ∴另外两边分别为：7cm,7cm 综上：另外两边分别为：7cm,7cm 例5. 已知三角形的两边分别为6、4，求另一边的取值范围？ 解：设另一边为x 有 6-4＜x＜6+4 解得：2＜x＜10 ∴另一边的取值范围是：2＜x＜10 例6. 如图,D是△ABC内一点. 求证:(1)AB+AC>BD+CD. (2)AB+BC+AC>AD+BD+CD. 解：(1)证明:如图,延长BD交AC于点E.在△ABE中,有AB+AE>BE,在△EDC中,DE+CE>CD,∴AB+AE+DE+CE>BE+CD. ∵AE+CE=AC,BE=BD+DE,∴AB+AC+DE>BD+DE+CD,∴AB+AC>BD+CD. (2)由(1)同理可得AB+BC>AD+CD,BC+AC>BD+AD,AB+AC>BD+CD, ∴2(AB+BC+AC)>2(AD+BD+CD),∴AB+BC+AC>AD+BD+CD. 三角形的相关概念及三边关系 三角形 按边分类 三边各不相等的三角形 等腰三角形 三角形的三边关系 任意两边之和大于第三边 不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形，用符号“△”来表示 三角形的顶点、内角、边 等边三角形 腰和底边不相等的三角形 课堂小结 随堂练习 1.已知三条线段的长度比如下:①2∶3∶4;②1∶2∶3;③2∶4∶6; ④3∶3∶6;⑤6∶6∶10;⑥6∶8∶10,其中能构成三角形的有(　　) A.1个　　　　  B.2个　　   C.3个　　　　  D.4个 【解析】①设三条线段的长分别为2x,3x,4x,x>0,则2x+3x>4x,故能构成三角形;②设三条线段的长分别为x,2x,3x,x>0,则x+2x=3x,故不能构成三角形;③设三条线段的长分别为2x,4x,6x,x>0,则2x+4x=6x,故不能构成三角形;④设三条线段的长分别为3x,3x,6x,x>0,则3x+3x=6x,故不能构成三角形;⑤设三条线段的长分别为6x,6x,10x,x>0,则6x+6x>10x,故能构成三角形;⑥设三条线段的长分别为6x,8x,10x,则6x+8x>10x,故能构成三角形.故选C。 C 2.图①是一副创意卡通圆规,图②是其平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂,已知OA=OB=8 cm.使用时,以点A为支撑点,铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆,则圆的半径AB不可能是(　　) A.10 cm　　    B.13 cm　　    C.15 cm　　　　D.17 cm 【解析】根据三角形的三边关系可知0 cm<AB<16 cm,所以选项D不符合要求,故选D D 3.老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5cm、9cm、10.5cm，并且只能对10.5cm的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】设从10.5cm的小木棍上裁剪的线段长度为xcm，则9-5＜x＜9+5；，即4＜x＜14；∴整数x的值为5cm、6cm、7cm、8cm、9cm、1cm0，∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架．故选：C． C 4.若a，b，c是三角形的三边长，则化简|a－b－c|＋|a＋c－b|－|c－a－b|的结果是(   ) A. 3a－b－c            B. －a－b＋3c         C. a＋b＋c       D. a－3b＋c 【解析】∵a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b，∴原式＝b＋c－a＋a＋c－b－a－b＋c＝－a－b＋3c B 5.四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为(　　) A.2　　　   B.3　　　    C.4　　　     D.5 【解析】当AB=AC=3时,2+2>3,符合题意;当BC=AC=4时,2+2=4,不能形成△ADC.故选B B 6.有四根长度分别为2、4、5、x(x为正整数)的木棒,从中任取三根,首尾顺次相接都能围成一个三角形,则围成的三角形的周长(　　) A.最小值是8　　　B.最小值是9 C.最大值是13　　 D.最大值是14 【解析】根据题意可得长度分别为2、4、x,4、5、x,2、4、5,2、5、x的三根木棒都能组成三角形,∴4-2<x<4+2,5-4<x<5+4,5-2<x<5+2,即2<x<6,1<x<9,3<x<7,∴3<x<6.∵x为正整数,∴x取4或5.组成的三角形周长最小时,x=4,三边长分别为2、4、4,其最小周长为2+4+4=10;组成的三角形周长最大时,x=5,三边长分别为4、5、5,其最大周长为4+5+5=14.故选D. D 7.三个数3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则a的取值范围为　　　　　　.  【解析】∵3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列,∴3<1-a<1-2a,∴a<-2,∵以这三个数为边长能构成三角形,∴3+1-a>1-2a,∴a>-3,∴-3<a<-2,故答案为-3<a<-2. 【答案】-3<a<-2 8.三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有        个． 【解析】根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过6.5； 根据三角形各边为整数，所以任何一边都大于1，且小于6，故三边可选的数字为2、3、4、5；根据各边不相等可得，三边可以为：2、3、4；2、4、5；3、4、5； 故这样的三角形共有3个，故答案为：3. 【答案】3 9.∠MAB为锐角，AB=16，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为8，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是____． 【解析】∵点B到射线AM的距离为8，AB=16，∴当BC⊥AM时，有BC=8，此时△ABC是直角三角形，当BC≥AB时，∴△ABC是钝角三角形，且只有∠ABC是钝角，当8＜BC＜16时，△ABC可能是钝角三角形也可能是锐角三角形，综上：△ABC的形状、大小是唯一确定的，则有∠ACB=90°或BC≥AB，则x的取值范围是x=8或x≥16，故答案为：x=8或x≥16. 【答案】x=8或x≥16 10.若m,n满足等式|m-3|+(n-4)2=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两边长,则△ABC的周长是　　　　.  【解析】∵|m-3|+(n-4)2=0,|m-3|≥0,(n-4)2≥0,∴m-3=0,n-4=0,解得m=3,n=4,当3是等腰三角形的底边长时,三边长分别为4,4,3,能构成三角形,周长为4+4+3=11;当4是等腰三角形的底边长时,三边长分别为3,3,4,能构成三角形,周长为3+3+4=10.综上,△ABC的周长是11或10. 【答案】　11或10 11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断△ABC的形状; (2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值及最小值. 解：(1)∵(a-b)2+(b-c)2=0,∴a-b=0,b-c=0,∴a=b=c,∴△ABC是等边三角形. (2)∵a=5,b=2,∴5-2<c<5+2,即3<c<7,又c为整数,∴c=4,5,6,当c=4时,△ABC的周长最小,最小值=5+2+4=11;当c=6时,△ABC的周长最大,最大值=5+2+6=13. 12.【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”,例如，三边为6，8，10的三角形是“好运三角形”． （1）【概念运用】在△ABC中，AB=2，BC=4，若△ABC为“好运三角形”，求AC的长； （2）【变式运用】已知△ABC的周长为16，AC=4，若1B的长为偶数，试判断△ABC是否为“好运三角形”． 解：(1)△ABC中，根据三角形三边关系“任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”，已知AB = 2，BC = 4，所以4 - 2 ＜AC ＜4 + 2，即2＜ AC ＜6。因为＜ABC为“好运三角形”，“好运三角形”三边长均为偶数，所以AC的长为偶数。在2 ＜AC ＜6这个范围内的偶数只有4，所以AC = 4。 (2)已知△ABC的周长为16，AC = 4，因为三角形周长等于三边之和，即AB + BC + AC = 16，所以AB + BC = 16 - 4 = 12，则BC = 12 - AB。因为AB的长为偶数，12是偶数，根据偶数减偶数为偶数，所以BC = 12 - AB的长也为偶数。又已知AC = 4为偶数，所以 △ABC的三边长均为偶数，根据“好运三角形”的定义，可知＜ABC是“好运三角形”. 数学就象你头顶上的果实， 只要肯稍作努力，成功的 甜蜜就属于你！ 祝你成功！ See You $$