第7章 1.3 随机事件&1.4 随机事件的运算（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§1.3　随机事件　 §1.4　随机事件的运算 学习目标 素养要求 1.理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念以及它们与样本点的关系． 2.了解随机事件的交、并的含义，能结合实例进行随机事件的交、并运算3.理解互斥事件和对立事件的概念及关系．． 1.通过学习互斥、对立事件等概念，培养数学抽象的核心素养． 2.通过判断事件的类型和关系，提升逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　随机事件 [问题1]　在试验E“在10个同类产品中，有8个正品，2个次品，从中任意抽出2个检验的结果”中，子集A＝{一个正品，一个次品}中的一个样本点是否会发生？ 答：可能发生，也可能不发生． [问题2]　事件的分类是确定的吗？ 答：事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化． ►知识填空 三种事件的概念 随机事件 把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示．在每次试验中，当这一事件发生时，这一子集中的样本点必出现其中一个；反之，当这一子集中的一个样本点出现时，这一事件必然发生． 续表 必然事件 样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件． 不可能事件 空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件． 知识点二　随机事件的运算 [问题]　一粒骰子掷一次，记事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事件C，D至少有一个发生时呢？ 答：事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点数为2.事件C，D至少有一个发生，掷出的点数可以是1，2，4，6. ►知识填空 事件的运算 定义 图形表示 符号表示 交事件 由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件). A∩B(或AB) 并事件 由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件). A∪B或(A＋B) 知识点三　互斥事件与对立事件 [问题]　一粒骰子掷一次，事件E＝{出现的点数为3}，事件F＝{出现的点数大于3}，事件G＝{出现的点数小于4}，则事件E与F能够同时发生吗？事件G与F能够同时发生吗？事件G与F可能都不发生吗？ 答：事件E与F不能同时发生，事件G与F不能同时发生，但二者必有一个发生． ►知识填空 事件的运算 定义 图形表示 符号表示 互斥事件 不能同时发生的两个事件A与B(A∩B＝∅)称为互斥事件．它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件． A∩B＝∅． 对立事件 若A与B互斥(A∩B＝∅)，且A∪B＝Ω，则称事件A与B互为对立事件，事件A的对立事件记作. A∩B＝∅且A∪B＝Ω． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)件A∩B是由事件A与事件B所有的样本点构成的集合．(　　) (2)互斥事件一定对立．(　　) (3)对立事件一定互斥．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．(多选)下列事件不是随机事件的是(　　) A．从分别标有1，2，3，4的4个乒乓球中任取一个，得到1号球 B．在标准大气压下，水加热到60 ℃时会沸腾 C．对顶角相等 D．同时掷两枚硬币，落地后都是反面向上 解析：选BC　AD是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件． 3．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　) A．A⊆B B．A＝B C．A＋B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3 答案：C 4．从100个同类产品中(其中2个次品)任取3个. ①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品． 其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________． 答案：⑥　④　①②③⑤ 题型一　事件类型的判断 [例 1]　判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件． ①“抛一石块，下落”； ②“在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化”； ③“某人射击一次，中靶”； ④“如果a>b，那么a－b>0”； ⑤“掷一枚硬币，出现正面”； ⑥“导体通电后，发热”； ⑦“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； ⑧“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； ⑨“没有水分，种子能发芽”； ⑩“在常温下，焊锡熔化”． 解：事件①④⑥是必然事件；事件②⑨⑩是不可能事件；事件③⑤⑦⑧是随机事件． 对事件类型判断的两个关键点 (1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生． (2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件；一定不发生的，则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件．　　 　(多选)下列事件是随机事件的是(　　) A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷 C．春霜不出三日雨 D．梅子黄时日日晴 解析：选ACD　B是必然事件，ACD是随机事件． 题型二　事件关系的判断 [例 2]　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由． 解：(1)是互斥事件，不是对立事件． 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件． 理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件． 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件． 要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．　　 　一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则下列结论正确的序号为________． ①A与B是互斥而非对立事件； ②A与B是对立事件； ③B与C是互斥而非对立事件； ④B与C是对立事件． 解析：一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，所得到的基本事件有6种：得到的点数为1点，得到的点数为2点，得到的点数为3点，得到的点数为4点，得到的点数为5点，得到的点数为6点． 事件A包含的结果有得到的点数为1点，得到的点数为3点，得到的点数为5点， 事件B包含的结果有得到的点数为1点，得到的点数为2点，得到的点数为3点， 事件C包含的结果有得到的点数为4点，得到的点数为5点，得到的点数为6点，所以B与C是对立事件． 答案：④ 题型三　事件运算的综合问题 [例 3]　在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次出现的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出1点”；事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”；事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”；事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”． (1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B； (2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件； (3)试用事件Aj表示随机事件A. 解：依题意可知样本空间为 Ω＝ (1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出1点”， 所以A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}． 因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，所以B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}． 所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}． (2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}． 因为A∩B＝{(1，5)}≠∅，A∩C＝{(1，4)}≠∅，B∩C＝∅，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件． (3)因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}, 所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6. 事件间运算方法 (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． (2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．　　 　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球)，事件B＝{3个球中两个红球，一个白球)，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}． (1)事件D与A，B是什么样的运算关系； (2)事件C与A的交事件是什么事件． 解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B. (2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，或3个红球，故C∩A＝A. [课堂小结] 1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件). 2．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系，在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$