第4章 对数运算与对数函数 章末复习课（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

该高中数学讲义通过分点梳理与层次递进构建对数、指数函数的知识体系，从对数运算性质、换底公式到图象特征、性质应用，用要点归纳呈现运算技巧（如“收”“拆”法）、图象定点问题及性质应用分类（比较大小、综合应用），清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与“数学思维”培养，例题涵盖基础运算（如对数式化简）、综合应用（如函数性质比较大小），例3通过中间量法比较指数、对数式大小引导逻辑推理，基础题巩固运算能力，综合题提升分析能力，教师可据此实施精准教学，支持学生自主复习与能力进阶。

章末复习课 一、对数的运算 1．对数的运算性质和换底公式 已知 a>0，b>0，a≠1，M>0，N>0，m≠0. (1)logaM＋logaN ＝loga (MN). (2)logaM－logaN＝loga. (3)logbn＝logab. 2．对数运算时注意的问题 (1)在进行对数的运算时，一定要注意真数大于0，即保证所用到的各条运算性质都有意义． (2)对数的三条运算性质，对数恒等式以及换底公式的综合运用是进行对数化简、运算的关键． 3．化简底数相同的对数式的两种基本方法 (1)“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差). [例 1]　(1)log3.1 9.61＋lg ＋ ln (e2·)＋log3 (log327) ； (2)lg 5 (lg 8＋lg 1000) ＋ (lg 2)2＋lg ＋lg 0.06. [解]　(1)原式 ＝log3.1 3.12 ＋lg 10-3 ＋ln (e2×e ) ＋log3(log333) ＝2＋(－3)＋ln e＋log33 ＝2－3＋＋1＝. (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋(lg 2)2＋lg 0.01 ＝3lg 2·lg 5＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2 ＝3－2 ＝1. 1．已知log152＝a，b＝log35，则log12518＝ ________． 解析：a＝log152＝＝＝， 所以log32＝a(b＋1)＝ab＋a， log12518＝＝ ＝＝. 答案： 2．化简求值： 2log32－log3＋log38－25log53. 解：原式log34－log3＋log38－52log53 ＝log3－5log59 ＝log39－9＝2－9＝－7. 二、对数函数、指数函数的图象问题 1．题型为选择题或填空题，主要考查识别指数函数、对数函数、幂函数的图象，利用图象解决一些数学问题． 2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象恒过定点(1，0). 3．识别函数的图象从以下几个方面入手：①单调性：函数图象的变化趋势；②奇偶性：函数图象的对称性；③特殊点对应的函数值． [例 2]　(1)对以a>0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax+1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________． (2)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________(填序号). [解]　(1)当x＝－1时，y＝a0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1，－1). (2)因为lg a＋lg b＝lg (ab)＝0，所以ab＝1，即b＝，则f(x)＝ax，g(x)＝logax.当a>1时，在各自的定义域内，f(x)是增函数，g(x)是增函数，所以②正确；0<a<1时，在各自的定义域内，f(x)是减函数，g(x)是减函数，所以①③④都不正确． [答案]　(1)(－1，－1)　(2)② 3．已知函数f(x) ＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(3)·g(3)>0，则f(x)与g(x)的图象为(　　) 答案：B 4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　) A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2} 解析：选C　作出函数y＝log2(x＋1)图象如图. 由 得 ∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}． 三、对数函数、指数函数性质的应用 角度1　比较大小问题 指数式与对数式的大小比较是基本初等函数中的一类重要题目类型，其主要方法有以下三种： (1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解； (2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0，1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决． [例 3]　比较下列各组数的大小． (1)1.70.2，log2.10.9与0.82.1； (2)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1). [解]　(1)因为函数y＝log2.1x在(0，＋∞)上是增函数且0.9<1，所以log2.10.9<log2.1 1＝0. 因为函数y＝1.7x在R上是增函数且0.2>0， 所以1.70.2＞1.70＝1. 因为函数y＝0.8x在R上是减函数且2.1>0， 所以0<0.82.1<0.80＝1. 综上，log2.10.9<0.82.1<1.70.2. (2)①当1<m＜10时，0<lg m＜1， 由1.9<2.1得，(lg m)1.9>(lg m)2.1； ②当m＝10时，lg m＝1， 故(lg m)1.9＝(lg m)2.1； ③当m>10时，lg m＞1，由1.9<2.1得， (lg m)1.9<(lg m)2.1. 角度2　对数函数性质的综合应用 指数函数与对数函数性质的对比 (1)相同点 指数函数与对数函数的图象和性质都与底数a的取值有关．当a变化时函数的图象与性质也随之改变． (2)不同点 ①指数函数的图象恒过定点(0，1)，而对数函数的图象恒过定点(1，0)； ②指数函数与对数函教的定义域与值域均不同，但它们的定义域与值域正好互换． (3)联系 ①指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数； ②两函数的图象关于直线y＝x对称． [例 4]　已知函数f(x)＝loga (x＋1)－loga (1－x)，(a>0且a≠1). (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围． [解]　(1)f(x) ＝loga (x＋1)－loga(1－x)， 则解得－1＜x＜1， 故所求定义域为(－1，1). (2)f(x)为奇函数．证明如下： 由(1)知f(x)的定义域为(－1，1). 且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)， 故f(x)为奇函数． (3)因为当a>1时，f(x)在定义域(－1，1)上是增函数，所以由f(x)>0，得loga (x＋1)－loga(1－x)>0，即loga (x＋1)>loga(1－x)，所以解得0＜x＜1. 所以使f(x)>0的x的取值范围是(0，1). 5．已知x满足－logx－6≤0，求f(x)＝(1＋log2x)log2的最大值与最小值及相应x的值． 解：由－logx x－6≤0， 得－2≤logx≤3， ∴≤x≤4. f(x)＝(1＋log2x)(log2x－2)， 令t＝log2x∈[－3，2]， ∴y＝(t＋1)(t－2)＝t2－t－2＝－， ∴当 t＝，即log2x＝，x＝时， 函数的最小值为－； 当t＝－3，即log2x＝－3，x＝时， 函数的最大值为－＝10. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$