第4章 3.3 对数函数y＝logax的图象和性质（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦高中数学对数函数y＝logₐx的图象和性质，系统梳理a＞1与0＜a＜1时的定义域、值域、定点及单调性等核心内容，衔接指数函数知识，通过自主梳理、检验及题型示例构建递进式学习支架。 资料突出直观想象与数学运算核心素养，借助图象规律分析培养数学眼光，如对称性及底数与图象位置关系。题型设计典型，如比较大小用中间值法、值域结合二次函数，提升数学思维。课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

§3.3　对数函数y＝logax的图象和性质 学习目标 素养要求 1.掌握对数函数的图象和性质． 2.利用对数函数的图象和性质解决大小比较、解不等式、最值等问题． 1.通过一般对数函数的图象应用，提升直观想象的核心素养． 2.通过对数函数性质的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　对数函数的图象和性质 ►知识填空 对数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性 质 (1)定义域：(0，＋∞)． (2)值域：R． (3)过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 续表 性 (4)当x>1时，y＞0；当0<x<1时，y＜0. 质 (4)当x>1时，y＜0； 当0<x<1时，y＞0. (5)在区间(0，＋∞)上是增函数． (5)在区间(0，＋∞)上是减函数． (6)当x值趋近于正无穷大时，函数值趋向于正无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大． (6)当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大． 知识点二　底数对函数图象的影响 　函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝logx的图象如图所示： 结合图象，可得函数y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象有如下规律： (1)y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称； (2)在直线x＝1的右侧，当a>1时，底数a越大，图象越靠近x轴；当0<a<1时，底数a越小，图象越靠近x轴． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的图象都过定点(0，1).(　　) (2)对数函数的图象都在y轴的右侧．(　　) (3)若对数函数y＝log2ax是减函数，则0<a<.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．函数y＝logx在区间[1，2]上的值域是(　　) A．[－1，0]　　　　　　B．[0，1] C．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 答案：A 3．设a＝30.7，b＝，c＝log0.7 0.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 答案：D 4．函数y＝log (1－2x)的单调增区间是________． 答案： 题型一　比较对数值的大小 [例 1]　比较下列各组数的大小： (1)log5与log5； (2)log2与log2； (3)log23与log54. 解：(1)法一：对数函数y＝log5x在定义域(0，＋∞)上是增函数，而<， 所以log5<log5. 法二：因为log5<0，log5>0， 所以log5<log5. (2)由于log2＝，log2＝， 又对数函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且0<<<1， 所以0>log2>log2， 所以<， 所以log2＜log2. (3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54. 比较两个对数值的大小的三种常用方法： 　　 1．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　) A．a<b<c　　　　　　B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a 答案：B 2．设a＝log2 e，b＝ln (3e)，c＝e-2(e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．b>a>c 答案：D 题型二　与对数函数有关的值域问题 [例 2]　(1)已知函数f(x)＝2＋log3x的定义域为[1，9]，则函数f(x)的值域是________． (2)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域． 解析： (1)∵1≤x≤9, ∴log31≤log3 x≤log3 9，即0≤log3 x≤2， 即2≤f(x)≤4，值域为[2，4]. 答案：[2，4] (2)因为－x2－4x＋12>0， 又因为－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16， 所以0<－x2－4x＋12≤16，故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，函数的值域为(－∞，4]. 求函数值域的常用方法 (1)单调性法 根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域． (2)换元法 求形如y＝logaf(x)型函数值域的步骤：①换元，令u＝f(x)利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象求出y的取值范围．　　 1．已知函数f(x) ＝2logx的值域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域为________． 答案： 2．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________． 解析：当a>1时，函数f(x)为增函数， f(x)max＝f(1) ＝a＋loga2， f(x)min＝f(0) ＝1， 故a＋loga 2＋1＝a，即loga2＝－1， 解得a＝，与a>1矛盾； 当0<a<1时，函数f(x)为减函数， f(x)max＝f(0) ＝1， f(x)min＝f(1) ＝a＋loga2， 故a＋loga2＋1＝a，即loga2＝－1， 解得a＝. 答案： 题型三　对数函数的综合应用 [例 3]　已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1). (1)求f(x)的定义域和值域； (2)判断并证明f(x)的单调性． 解：(1)由a>1，a－ax>0, 即a>ax， 得x<1. 故f(x)的定义域为(－∞，1). 由0<a－ax<a， 可知loga(a－ax)<logaa＝1. 故函数f(x)的值域为(－∞，1). (2)f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下： 任取1>x1>x2，又a>1， ∴ax1>ax2，∴a－ax1<a－ax2， ∴loga(a－ax1)<loga(a－ax2)， 即f(x1)<f (x2)， 故f(x)在(－∞，1)上为减函数. 解决对数函数综合问题的方法 对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算，解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．　　 1．已知函数f(x)＝ln (－x)，f(a)＝4，则f(－a)＝________． 解析：函数f(x)的定义域为R， 且f(－x)＋f(x)＝ln (＋x)＋ln (－x) ＝ln (1＋x2－x2)＝ln 1＝0. ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(－a)＝－f(a)＝－4. 答案：－4 2．讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性． 解析：由3x2－2x－1>0得函数的定义域为. ①当a>1时，若x>1，则u＝3x2－2x－1为增函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数； 若x<－，则u＝3x2－2x－1为减函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数， ②当0<a<1时，若x>1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；若x<－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． [课堂小结] 1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0<a<1两类分别求解． 2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$