第4章 3.1 对数函数的概念&3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦对数函数的概念及y=log₂x的图象与性质，系统梳理对数函数的定义、定义域(0,+∞)、过定点(1,0)等核心内容，衔接指数函数建立反函数关系，构建从指数到对数的知识支架。 通过问题驱动（如“y=log₂x是否为函数”的探究）培养数学抽象，结合图象绘制与性质分析提升直观想象，例题中比较大小、解不等式强化数学运算。课中助力教师引导学生主动探究，课后自主检验与课堂小结帮助学生巩固知识，查漏补缺。

§3　对数函数 §3.1　对数函数的概念 §3.2　对数函数y＝log2x的图象和性质 学习目标 素养要求 1.理解对数函数的概念． 2.掌握对数函数y＝log2x的图象和性质及其简单应用． 1.通过对数概念的学习，培养数学抽象的核心素养 2.通过学习对数函数y＝log2x的图象与性质，提升直观想象、数学运算的核心素养 [自主梳理] 知识点一　对数函数的概念 [问题]　我们已经知道y＝2x是指数函数，那么y＝log2x(x>0)是否表示y是x的函数？为什么？ 答案：是．由对数的定义可知y＝log2x(x＞0)⇔x＝2y，结合指数的运算可知，在定义域{x|x>0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝log2x(x>0)表示y是x的函数，其定义域为(0，＋∞). ►知识填空 1．对数函数：函数y＝logax(a＞0，a≠1)，称为以a为底的对数函数．其中a称为底数，x是自变量． 2．基本性质：(1)定义域为(0，＋∞)； (2)图象过定点(1，0)． 3．常用对数函数与自然对数函数 称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作y＝lg_x；称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作y＝ln_x． 4．互为反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logx是互为反函数． 知识点二　函数y＝log2 x的图象与性质 [问题]　 阅读教材§3.2中画出函数y＝log2 x图象的两种方法，根据y＝log2x图象，探究其性质？ 答：定义域：(0，＋∞)，值域：R.在(0，＋∞)上是增函数．当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0. ►知识填空 函数y＝log2x的图象与性质 图象 续表 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R；； (3)过定点(1，0)； (4)在(0，＋∞)上是增函数； (5)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0； (6)当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2x＋1是对数函数．(　　) (2)函数y＝3x的反函数是y＝.(　　) (3) 对数函数的定义域、值域都是R.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．函数f(x)＝log2 (x＋1)定义域为(　　) A．(－∞，－1)　　　　　　B．[－1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞) 答案：C 3．使log3(2－x)>－1成立的实数x的取值范围是________． 答案： 4．若f(x)＝log2x，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为________． 解析：∵f(x)＝log2x在[2，3]上是单调递增的， ∴log22≤log2x≤log23， 即1≤log2x≤log23. 答案：[1，log23] 题型一　对数函数的概念 [例 1]　(1)下列给出的函数： ①y＝log5 x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)； ③y＝log(－1)x；④y＝log3 x； ⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logx. 其中是对数函数的为(　　) A．③④⑤　　　　　　B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ (2)对数函数的图象过点(16，2)，则对数函数的解析式为________． 解析：(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3 x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确． (2)设对数函数的解析式为y＝logax(a>10，且a≠1)， 由已知可得loga16＝2，即a2＝16， 解得a＝4，故函数解析式为y＝log4 x. 答案：(1)D　(2)y＝log4 x 判断一个函数是否为对数函数的方法 　　 　函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________． 解析：由题意可知 解得a＝4. 答案：4 题型二　对数型函数的定义域 [例 2]　(1)下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg D．y＝x2与y＝lg x2 (2)函数f(x)＝log(x2－1)的定义域为________． 解析：(1)只有C组定义域相同，故选C. (2)要使函数有意义，必须且只需 解得x>1且x≠， 故定义域(1，)∪(，＋∞). 答案：(1)C　(2)(1，)∪(，＋∞) 求与对数函数有关的函数定义域时应 遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.　　 　函数y＝的定义域为________． 解析：由题意可知，log2(x2－3)≥0， 即x2－3≥1，解得x≥2或x≤－2. 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 题型三　y＝log2x图象与性质的应用 [例 3]　(1)比较log2与log的大小； (2)若log2(2－x)>log0.5，求实数x的取值范围． 解：(1)∵log＝log2， 又y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， 且＞， ∴log2＞log. (2)∵log0.5＝log2(3x－2)， 又y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， ∴log2(2－x)＞log2(3x－2)⇔ 解得＜x＜1. 即x的取值范围是. 函数f(x) ＝log2x是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式、求函数值域、比较对数值的大小．　　 　根据函数f(x) ＝log2 x的图象和性质解决以下问题． (1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围； (2)求y＝log2 (2x－1)在x∈[2，14]上的最值． 解：作出函数y＝log2 x的图象如图． (1)因为y＝log2 x是增函数，若f(a)＞f(2)，即log2 a＞log2 2，则a＞2.所以a的取值范围为(2，＋∞). (2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27， ∴log23≤log2(2x－1)≤log227. ∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为log2 27. [课堂小结] 1．判断一个函数是不是对数函数的关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)这种形式． 2．函数y＝log2x图象和性质的应用(如大小比较、解简单对数不等式等). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$