第4章 1 对数的概念（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦高中数学对数的概念这一核心知识点，从细胞分裂的指数式N=2^x引入对数定义，系统梳理常用对数、自然对数的表示，结合零和负数无对数、log_a1=0、log_aa=1等性质及对数恒等式a^log_aN=N，构建从具体问题到抽象概念的学习支架。 资料以问题链驱动学习，通过细胞分裂等实例抽象对数概念提升数学抽象素养，设置分层题型（如指数对数互化、多重对数求值）发展数学运算能力。课中助力教师引导探究，课后自主检验（判断、例题）帮助学生巩固知识、弥补盲点。

　对数运算与对数函数 §1　对数的概念 学习目标 素养要求 1. 理解对数的概念，掌握对数的基本性质． 2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质求值． 1.通过对数概念的学习，提升数学抽象的核心素养． 2.通过对数性质的应用，发展数学建模、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　对数的概念 [问题]　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数N是多少？ 上述问题中，如果已知细胞分裂后的个数N，能求出分裂次数x吗？ 答：N＝2x；能，x＝log2N. ►知识填空 1．对数的定义：如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b．其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．常用对数：当对数的底数a＝10时，通常称之为常用对数，并将log10N简记为lg_N． 3．自然对数：以e为底数的对数称之为自然对数，并将logeN简记为ln_N． 知识点二　对数的性质及对数恒等式 [问题1]　是不是所有的实数都有对数？为什么？ 答：零和负数没有对数，因为ax＝N(a>0且a≠1)中无论x取什么值，N总大于0，故零和负数无对数． [问题2]　根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1及logaa的值吗？ 答：设loga1＝x，则ax＝1＝a0，故x＝0，即loga1＝0，同理logaa＝1. [问题3]　根据对数的定义，你能推出对数恒等式alogaN＝N吗？ 答：因为ax＝N，x＝logaN，所以alogaN＝N. ►知识填空 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logaN是loga与N的乘积．(　　) (2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　) (3)若3x＝2，则x＝log32.(　　) (4)对数lg N没有底数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．将＝9写成对数式，正确的是(　　) A．log9＝－2　　　　B．log9＝－2 C．log(－2) D．log9(－2)＝ 解析：选B　根据对数的定义，得log9＝－2. 3．已知logx16＝2，则x＝(　　) A．4　　　B．±4　　　C．256　　　D．2 答案：A 4．求值： (1)25log54＝________； (2)31＋log32＝________． 解析：(1)25log54＝(52)log54＝4. (2)31＋log32＝3×3log32＝3×2＝6. 答案：(1)4　(2)6 题型一　 对数的概念 [例 1]　(1)若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是(　　) A．≤x＜2　　　　　　B．＜x＜2 C．<x<2或x＞2 D．2≤x≤3 (2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： ①2-7＝；②log32＝－5；③lg 100＝2；④ln x＝2. 解析：(1)选C　依题意得解得<x<2或x>2.故选C. (2)①由2-7＝，可得log2＝－7. ②由log32＝－5，可得＝32. ③由lg 100＝2，可得102＝100. ④由ln x＝2，可得e2＝x. 指数式与对数式互化的思路 　　 　(多选)下列指数式与对数式互化正确的有(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．8－＝与log8＝－ C.log416＝2与16＝4 D．log77＝1与71＝7 解析：选ABD　C选项中，由log416＝2，得42＝16，故C错误，ABD均正确． 题型二　利用指数式与对数式的关系求值 [例 2]　求下列各式中x的值： (1)log64x＝－；(2)logx8＝6； (3)lg 1 000＝x；(4)log5＝x. 解：(1)x＝64－＝(43)－＝4-2＝. (2)因为x6＝8，且x>0, 所以x＝＝8＝(23)＝2＝. (3)10x＝1 000＝103，所以x＝3. (4)5x＝＝5-2，所以x＝－2. 利用指数与对数的互化求变量值的策略 (1)若已知的式子为指数式，则直接利用指数运算求值． (2)若已知式子为对数式，则先把对数式化为指数式，再求值．　　 　求下列各式中的x值： (1)log2x＝；(2)log216＝x； (3)logx27＝3. 解：(1)∵log2x＝，∴x＝2，∴x＝. (2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，x＝4. (3)∵logx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33， ∴x＝3. 题型三　利用对数性质和对数恒等式求值 [例 3]　求下列各式中x的值： (1)log3 (log2x) ＝0；(2)3log3＝9； (3)已知log5 (log3 (log2a))＝0，计算36log6a的值． 解：(1)∵log3 (log2x)＝0， ∴log2x＝1，∴x＝21＝2. (2)由3log3＝9得＝9，解得x＝ 81. (3)因为log5 (log3 (log2a))＝0， 所以log3 (log2a) ＝1，即log2a＝3. 所以a＝23＝8. 所以原式＝(62)log6a＝6log6a2＝a2＝64. 利用对数性质及对数恒等式求值 (1)对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质：loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解． (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式：alogaN＝N的应用．　　 　求下列各式中x的值： (1)ln (lg x)＝1； (2)log2 (log5 x)＝0； (3)32＋log35＝x. 解：(1)∵ln (lg x)＝1，∴lg x＝e，∴x＝10e. (2)∵log2 (log5 x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5. (3)x＝32×3log35＝9×5＝45. [课堂小结] 1．指数式ax＝N和对数式x＝logaN的关系对数的概念中出现了两个等式：指数式ax＝N和对数式x＝logaN，这两个等式是等价的，它们之间的关系如下： 根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可以将对数式化成指数式． 2．对数性质和对数恒等式 (1)零和负数没有对数；(2)loga1＝0； (3)logaa＝1；(4)alogaN＝N. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$