第3章 指数运算与指数函数 章末复习课（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

该高中数学章末复习讲义通过知识框架图系统构建指数函数单元知识体系，梳理了分数指数幂的定义运算性质及指数函数的图象与性质，按“运算基础-图象分析-性质应用”递进呈现，突出运算原则和函数性质等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层例题设计与方法指导，如例1指数幂混合运算培养数学思维中的运算能力，例2图象平移题发展几何直观，例3比较大小题训练逻辑推理，练习题涵盖基础计算与综合应用，助力不同学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

章末复习课 一、指数幂的运算 1．分数指数幂 (1)a＝ (a＞0，m，n∈N1，且n＞1)； (2)a－＝＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)； (3)0的正实数指数幂等于0，0的零指数幂和负实数指数幂都没有意义． 2．指数幂的运算性质(见体系构建) 3．指数幂运算应遵循的原则 (1)注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算． (2)若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的． [例 1]　计算下列各式的值(式中字母都是正数)： (1)×＋80.25×＋(×)6； (2)2÷(4)·3. 解：(1)原式＝8(-1)××1＋(23)×2＋× ＝2＋2＋＋22×33＝112. (2)原式＝2a÷·3b ＝a－·b－·3b＝ab. 1．化简下列各式(a>0，b>0)： (1)(·)÷； (2)(ab)·(－3ab)÷. 解：(1)原式＝aaa－＝a＋－＝a. (2)原式＝－3×3aaa－bbb－ ＝－9a＋－b＋－＝－9a. 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断函数图象的交点个数问题． 2．指数函数的性质及应用是以函数的性质为依托，利用指数函数的性质进行大小比较、解方程和不等式等． 角度1　指数函数图象的应用 [例 2]　函数f(x)＝ax－b的图象如下图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b>0　　　　B．a>1，b<0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 [解]　f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象平移得到的，由图象可知f(x)在R上是递减函数，所以0<a<1，由y＝ax过点(0，1)得知y＝ax的图象向左平移|b|个单位得f(x)的图象，所以b<0. [答案]　D 角度2　指数函数性质的应用 [例 3]　比较下列各式值的大小： ，2，，. [解]　(1)负数：；(2)大于1的数： ，2；(3)大于0且小于1的数：. (2)中，<2 <2，也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如上图，故有<< <2. 2．定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是(　　) 解析：选A　∵当x≥0时，2x≥1， 当x<0时，2x<1， ∴f(x)＝1⊕2x＝ 3．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． 解析：当a>1时，通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象，则由图可知1<2a<2，即<a<1，与a>1矛盾；当0<a<1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象，则由图可知1<2a<2，即<a<1.综上可知，<a<1. 答案： 4．已知指数函数y＝f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)<g(3x)，求x的取值范围． 解：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)， 因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2， 又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝， 因此由g(2x－1)<g(3x)， 即<， 得2x－1>3x，解得x<－1. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$