第3章 3.1 第2课时 指数函数的图象和性质的应用（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦指数函数图象和性质的应用，承接指数函数基本图象与性质，通过自主梳理中底数a>b>0时不同区间x0的函数值比较，搭建比较指数幂大小的思维支架，结合单调性解指数不等式，综合应用奇偶性、单调性证明，形成从基础到综合的知识链。 以核心素养为导向，通过问题驱动（如自主梳理比较大小问题）培养逻辑推理，题型分类（比较大小、解不等式、综合应用）结合例题解析提升数学运算，自主检验和课堂小结助学生查漏补缺。课中教师依托清晰题型结构高效授课，课后学生可借例题回顾深化理解，落实数学思维与运算能力培养。

第2课时　指数函数的图象和性质的应用 学习目标 素养要求 1. 能利用指数函数的性质和图象比较大小、解不等式． 2.掌握指数函数图象和性质的综合应用． 1.通过指数幂的大小比较，主要提升逻辑推理、数据分析的核心素养． 2.通过图象和性质的综合应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　指数函数y＝ax和y＝(a>0且a≠1)的图象与性质 [问题]　对于函数y＝ax和y＝bx；当a>b>0(a≠1，且b≠1)时，对一个实数x0，什么时候ax0>bx0？什么时候ax0<bx0？什么时候ax0＝bx0? 答：由图象可知：①当a>b>1时，x0∈(0，＋∞)，ax0>bx0；x0∈(－∞，0)，ax0<bx0；x0＝0，ax0＝bx0； ②当1>a>b>0时，x0∈(0，＋∞)，ax0>bx0；x0∈(－∞，0)，ax0<bx0；x0＝0，ax0＝bx0. 综上可知，对a>b>0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，ax0>bx0；xo∈(－∞，0)，ax0<bx0；x0＝0，ax0＝bx0. ►知识填空 底数互为倒数的两个指数函数的图象与性质的联系 　指数函数y＝ax和y＝(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象都在x轴的上方．(　　) (2)若指数函数y＝ax是减函数，则0<a<1.(　　) (3)对于任意的x∈R，一定有3x>2x.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．若y1＝40.9，y2 ＝80.48，y3＝，则(　　) A．y1>y2>y3　　　　B．y1>y3>y2 C．y2>y1>y3 D．y3>y1>y2 答案：B 3．若指数函数f(x) ＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值等于3a，则a＝________． 答案：3 4．函数y＝ax-1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． 解析：由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，因而在函数y＝ax-1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax-1－1的图象恒过点(1，0). 答案：(1，0) 题型一　比较指数幂的大小 [例 1]　(1)设a＝20.3，b＝0.32，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　　　　　　B．b<c<a C．c<b<a D．b<a<c (2)比较下列各组数的大小： ①0.80.5与；②20.3，，80.2； ③0.6-2与. 解析：(1)选D　因为a＝20.3，c＝＝22.5. 所以c>a>1.又因为b＝0.32<1， 所以c>a>b. (2)①＝＝0.80.4， 因为函数y＝0.8x在定义域R内是减函数，又因为0.5>0.4，所以0.80.5<0.80.4，即0.80.5＜. ②∵＝20.4，80.2＝20.6， 又y＝2x在定义域R上为增函数， ∴20.6>20.4>20.3，即80.2>>20.3. ③因为0. 6-2>0.60 ＝1，＜＝1， 所以0.6-2>. 比较幂值大小的三种类型及处理方法 　　 　比较下列各题中两个值的大小． (1)1.7-2.5，1.7-3；(2)1.70.3，1.50.3； (3)1.70.3，0.83.1. 解：(1)∵1.7>1， y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． 又－2.5>－3，∴1.7-2.5>1.7-3. (2)法一：∵1.70.3>0，1.50.3>0， 且＝， 又>1，0.3>0，∴>1， ∴1.70.3>1.50.3. 法二：幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增， 又1.7>1.5，∴1.70.3>1.50.3. (3)∵1.70.3>1.70＝1，0.83.1<0.80＝1， ∴1.70.3>0.83.1. 题型二　简单的指数不等式 [例 2]　(1)函数y＝ 的定义域为________； (2)解不等式>22x+3. 解析：(1)由题意32x-1≥＝3-2， 故原不等式等价于2x－1≥－2， 解得x≥－， 因此原函数的定义域为. 答案： (2)原不等式等价于>， 所以3x＋2<－2x－3，化简得5x<－5，解得x<－1. 所以原不等式的解集为(－∞，－1). 解指数不等式问题时需注意的三点 (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如ax>b(b>0)的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的形式利用函数图象求解．　　 　解关于x的不等式：a2x+1≤ax-5(a>0，且a≠1). 解：①当0<a<1时，∵a2x+1≤ax-5， ∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. ②当a>1时，∵a2x+1≤ax-5， ∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}；当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}． 题型三　指数函数性质的综合应用 [例 3]　已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝. (1)求a，b的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f (x)的值域． 解：(1)∵ ∴ 解得 故a，b的值分别为－1，0. (2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (3)设任意x1<x2，且x1，x2∈[0，＋∞)， 则f(x1)－f(x2)＝(2x1＋2－x1)－(2x2＋2－x2)＝(2x1－2x2)＋＝(2x1－2x2)·. 因为x1<x2，且x1，x2∈[0，＋∞)， 所以2x1－2x2<0，2x1＋x2>1， 所以2x1＋x2－1>0， 则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数． 当x＝0时，函数取得最小值，为f(0)＝1＋1＝2，所以f(x)的值域为[2，＋∞). 　 解决指数函数性质的综合问题应关注两点 (1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．　 1．已知函数f(x)＝－2x，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是减函数 C．是偶函数，且在R上是增函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 答案：B 2．已知定义在R上的函数f(x)＝m－. (1)判断并证明函数f(x)的单调性； (2)若f(x)是奇函数，求m的值； (3)若f(x)的值域为D，且D⊆[－3，1]，求m的取值范围． 解：(1)判断：函数f(x)在R上单调递增． 证明如下： 设x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝m－－ ＝. ∵x1<x2， ∴5x1＋1＞0，5x2＋1＞0，5x1－5x2＜0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在R上单调递增． (2)∵f(x)是R上的奇函数， ∴f(x)＋f(－x)＝m－＋m－＝0， 即2m－＝0， 整理得2m－2＝0， ∴m＝1. (3)由5x>0⇒0<<2⇒m－2<m－<m， 则D＝(m－2，m)， ∵D⊆[－3，1]， ∴解得－1≤m≤1， ∴m的取值范围是[－1，1]. [课堂小结] 指数函数性质的主要应用 一是单调性的应用(大小比较和解简单的指数不等式)；二是指数函数图象与性质的综合应用(研究函数的奇偶性、单调性等都要回归定义来解决). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$