第2章 1 生活中的变量关系（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　函　数 §1　生活中的变量关系 学习目标 素养要求 1.通过实例，了解生活中具有函数关系的两个变量之间的关系． 2.通过实例理解分段函数的概念． 1.通过生活中的变量关系，培养数学建模的核心素养． 2.借助变量间的关系的表示，提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点　生活中的变量关系 [问题]　初中我们已经学习过函数的概念，它是如何用函数描述变量之间的依赖关系的呢？ 答：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． ►知识填空 1．依赖关系 在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系． 2．函数关系 (1)如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． (2)两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么变量x和y具有函数关系． 3．依赖关系与函数关系 函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系．要确定变量间的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量． 4．分段函数 一般地，分段函数就是对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)某商场一天的销售额与客流量之间是函数关系．(　　) (2)家庭买衣服的支出与交手机费之间是依赖关系．(　　) (3)高铁运营里程与年份之间存在依赖关系，但不是函数关系．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则(　　) A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 答案：A 3．(1)球的半径与表面积之间的关系是________关系． (2)家庭收入与支出之间的关系是________关系． 答案：(1)函数　(2)依赖 4．交通路口，通过的汽车的数量与时间是______关系． 答案：依赖 题型一　两变量关系的判断 [例 1]　下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系； (2)商品的销售额与广告费之间的关系； (3)家庭的食品支出与电视价格之间的关系． 解：(1)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h)与时间(t)具有关系h＝gt2，其中g是常量，很显然，对于时间t在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数； (2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系； (3)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系． 综上可知，(1)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量间不存在依赖关系． 依赖关系与函数关系的判断方法与步骤 (1)对于两个变量，如果一个变量的改变影响另一个变量，则这两个变量具有依赖关系，否则不具有依赖关系． (2)如果两个变量具有依赖关系，且一个变量的确定决定另一个变量的确定，则这两个变量具有函数关系，否则不具有函数关系．　　 　下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)圆的面积和它的半径长； (2)商品的价格与销售量； (3)一个人的身高与体重； (4)某同学的学习时间与其学习成绩． 解：(1)因为圆的面积S与半径r存在S＝πr2的关系，因此圆的面积与其半径长存在依赖关系，也是函数关系． (2)一般情况下，商品的价格越低销售量越大，但只是依赖关系，不是函数关系． (3)一个人的身高与体重有一定的关系，但体重并不完全由身高来决定，还受人的胖瘦等因素的影响，因此一个人的身高与体重之间存在依赖关系，但不是函数关系． (4)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系，但不是函数关系． 综上所述，(1)(2)(3)(4)均存在依赖关系，其中仅(1)是函数关系． 题型二　变量关系的表示 [例 2]　下图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题． (1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？ (2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？ (3)大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？ (4)变量Q是关于变量t的函数吗？ 解：观察图象可知： (1)全天最高气温大约是9 ℃，在14时达到．全天最低气温大约是－2 ℃，在4时达到． (2)大约在8时和22时，气温为0 ℃. (3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上． (4)由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降．对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数． (1)表达两变量关系的常用方法是图象法和表格法． (2)在解题过程中要尽可能地利用题目所提供的数据，充分挖掘图象以及数据、表格中包含的信息，从而将问题解决．　　 1．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是(　　) 解析：选C　从亮亮的体温变化，可以看出图象应为早晨37 ℃以上37 ℃(中午)37 ℃以上(半夜)，结合图象知，只有C项符合． 2．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间有如下关系：(其中0≤x≤20) 提出概念所用时间x/分钟 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？ (4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，随x的增大学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，随x的增大学生的接受能力逐步降低？ 解：(1)画图如下： 反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系．其中x是自变量，y是因变量． (2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59. (3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强． (4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，随x的增大学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，随x的增大学生的接受能力逐步降低． [课堂小结] 1．依赖关系与函数关系的联系与区别 函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系，因此依赖关系不一定是函数关系，而函数关系一定是依赖关系． 2．表示变量间关系的两种方法 (1)图象法：它是一种常用的表示两变量关系的方法．在解此类题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的相互依赖关系是如何变化的． (2)表格法：两变量之间的关系，体现在表格中就是要求我们能从表格中找到因变量和自变量，并能判断因变量和自变量之间的对应关系，从而说明因变量如何随自变量的变化而变化． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$