第1章 预备知识 章末复习课（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

章末复习课 一、集合的概念与运算 1．集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合中的核心内容．在进行集合的运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解． 2．掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养． [例 1]　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ [解]　(1)A＝{x|0≤x≤2}． ∴∁RA＝{x|x＜0或x＞2}． ∵(∁RA)∪B＝R.∴ ∴－1≤a≤0. (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3. ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在． 1．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R. (1)求A∪B，(∁UA)∩B； (2)若A∩C≠∅，求a的取值范围． 解：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}． ∵∁UA ＝{x|x<2或x>8}， ∴(∁UA)∩B＝{x|1<x<2}． (2)∵A∩C≠∅，作图易知，只要a在8的左边即可， ∴a<8. ∴a的取值范围为{a|a<8}． 二、常用逻辑用语 1．若p⇒q，且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的必要条件． 2．先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 3．全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题． [例 2]　(1)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则(　　) A．p是假命题，命题p的否定：∃x∈R， x2＜0 B．p是假命题，命题p的否定：∃x∈R， x2≤0 C．p是真命题，命题p的否定：∀x∈R， x2＜0 D．p是真命题，命题p的否定：∀x∈R， x2≤0 (2)“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是(　　) A．m≥1　　　　　　　B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2 [解析]　(1)由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B. (2)“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的充要条件为“(－2)2－4m≤0”，即“m≥1”， 又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件， 即“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是“m≥2”，故选D. [答案]　(1)B　(2)D 2．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A＝(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________． 解析：A＝(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}． 若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6； 若A≠∅，则A⊆B⇔解得6≤a≤9. 综上可知，A＝(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9. 答案：a≤9　6≤a≤9(答案不唯一) 3．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是__________________． 答案：存在一个能被7整除的数不是奇数 三、不等式 基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能．解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立． 角度1　通过配凑法求最值 [例 3]　已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． B． C． D． [解析]　∵0＜x＜1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3＝. 当且仅当x＝1－x，即x＝时，“等号”成立． [答案]　B 角度2　通过常值代换法求最值 [例 4]　已知2a＋3b－1＝0且a＞0，b＞0，则代数式＋的最小值为(　　) A．24 B．25 C．26 D．27 [解析]　因为2a＋3b－1＝0，a＞0，b＞0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2 ＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25，故选B. [答案]　B 角度3　通过消元法求最值 [例 5]　已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则s＝的最小值为________． [解]　由条件得x2＋y2＝1－z2＝(1－z)(1＋z)，则1＋z＝，于是s＝＝≥＝≥＝4，当且仅当x＝y，且z＝1－z，即z＝，x＝y＝时取等号． [答案]　4 4．(1)已知x>0，y>0，xy＝4，求＋的最小值； (2)已知x>0，y>0，x＋2y＝2，求＋的最小值． 解：(1)∵xy＝4，且x>0，y>0， ∴＋≥2＝2＝， 当且仅当x＝2，y＝时取等号， 即＋的最小值为. (2)∵x>0，y>0，x＋2y＝2， ∴2＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8， ∴＋≥4， 当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号， 即＋的最小值为4. 四、一元二次函数与一元二次不等式 解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的一元二次函数图象、一元二次方程的解的关系．如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论． [例 6]　解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0. [解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a. 函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以 (1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； (2)当a＝－1时，原不等式解集为∅； (3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． 5．若a＝4时，对任意x≤1，－x2＋a(5－a)x＋c＜0恒成立，求实数c的取值范围． 解析：当a＝4时，－x2＋a(5－a)x＋c＜0对任意x≤1恒成立， ∴c＜x2－2x对任意x≤1恒成立， 又当x＝1时，x2－2x取得最小值，为－， ∴c＜－，即实数c的取值范围是. 五、不等式的实际应用 1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题． 2．在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模和数学运算素养． [例 7]　某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [解]　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)， 整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 必须有 即 解得0<x<， 所以投入成本增加的比例x应在0<x<的范围内． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$