第1章 4.3 一元二次不等式的应用(习题课)（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§4.3　一元二次不等式的应用(习题课) 学习目标 素养要求 1.了解简单的分式不等式的解法． 2.理解并掌握不等式恒成立问题． 3.会用一元二次不等式解决一些简单的实际问题． 1.通过不等式中的恒成立问题，提升数学运算的核心素养． 2.借助一元二次不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养． 题型一　解简单的分式不等式 [例 1]　(1)不等式＞0的解集是________． (2)已知关于x的不等式＞0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝________． (3)解不等式≤2. 解析：(1)因为＞0， 所以(x－2)(x＋4)＜0，故－4＜x＜2. (2)＞0等价于(ax－1)(x＋1)＞0， 由题意得a＞0，且－1和是方程(ax－1)(x＋1)＝0的两个根， 所以＝0，所以a＝2. (3)移项得－2≤0， 左边通分并化简得≤0， 即≥0，可转化为 所以x＜2或x≥5， 所以原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}． 答案：(1){x|－4＜x＜2}　(2)2 (3){x|x＜2或x≥5} 解分式不等式一般先移项，使不等式的一端为零，再利用不等式的性质将其转化整式不等式(组)来解．　　 　已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式＞0的解集是(　　) A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|－1＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2} 答案：A 题型二　不等式中的恒成立问题 [例 2]　设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解：(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0.若m≠0， ⇒－4＜m＜0. ∴－4＜m≤0，即m的取值范围是(－4，0]. (2)法一：要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，就要使m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立． 令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]. 当m＞0时，g(x)是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，∴0＜m＜；当m＝0时，－6＜0恒成立；当m＜0时，g(x)是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，得m＜6.∴m＜0. 综上所述，m＜，即m的取值范围是. 法二：当x∈[1，3]时，f(x)＜－m＋5恒成立， 即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立． ∵x2－x＋1＝＋＞0， 又m(x2－x＋1)－6＜0，∴m＜. ∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为， ∴只需m＜即可． ∴m的取值范围是. 一元二次不等式恒成立的类型及解法 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (1)f(x)＞0在R上恒成立⇔ (2)f(x)＜0在R上恒成立⇔ (3)a＞0时，f(x)＜0在区间[α，β]上恒成立⇔ (4)a＜0时，f(x)＞0在区间[α，β]上恒成立⇔ (5)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k≥f(x)(k＞f(x))恒成立⇔k≥f(x)max(k＞f(x)max)；k≤f(x)(k＜f(x))恒成立⇔k≤f(x)min(k＜f(x)min).　　 　若不等式x2－2x＋m＜0对∀x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围． 解析：如下图，令f(x)＝x2－2x＋m，f(x)＜0对∀x∈[1，2]恒成立， 需满足解得m＜0. ∴m的取值范围为(－∞，0). 题型三　 一元二次不等式的实际应用 [例 3]　某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120 (0≤t≤24). (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？ 解：(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨， 则y＝400＋60t－120(0≤t≤24). 令x＝，则t＝， 所以y＝400＋10x2－120x ＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)， 所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40， 即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)由已知400＋10x2－120x＜80， 得x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8， 即4＜＜8，＜t＜，而－＝8， 所以每天约有8小时供水紧张． 解不等式应用题的步骤 　　 　北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？ 解：(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解， 等价于当x>25时，a≥＋＋有解． 由于＋≥2＝10，当且仅当＝， 即x＝30时等号成立，所以a≥10.2. 故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． [课堂小结] 1．不等式恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0； 当a≠0时， (2)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0； 当a≠0时， 类似地，还有f(x)≤a，恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a恒成立⇔[f(x)]min≥a. 2．解不等式应用题，一般可按如下四步进行 (1)阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)； (3)解不等式(或求函数最值)； (4)回扣实际问题． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$