第1章 3.2 第1课时 基本不等式（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 学习目标 素养要求 1.理解基本不等式的证明过程． 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小 1.借助基本不等式的证明过程，培养逻辑推理的核心素养． 2.通过利用基本不等式比较大小或证明不等式，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　基本不等式 [问题1]　我们把“风车”造型抽象成平面图形，如下图所示，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为a，b，那么正方形的边长为多少？面积为多少？4个直角三角形的面积和又是多少？ 答：，a2＋b2，2ab. [问题2]　根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得一个怎样的不等式？ 答：a2＋b2＞2ab. ►知识填空 1．概念：如果a≥0，b≥0，那么 ≥，当且仅当a＝b时，等号成立．这个不等式称为基本不等式，其中称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值，因此基本不等式又称为均值不等式． 2．文字叙述：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 3．几何意义：半径大于或等于半弦． [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　) (2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2.(　　) (3)当a＞0，b＞0时，ab≤.(　　) (4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．给出下列条件： ①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中可使＋≥2成立的个数是(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：选C　根据基本不等式的条件，a，b同号，则①③④符合要求，故选C. 3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 答案：C 4．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________． 答案：2 题型一　对基本不等式的理解 [例 1]　给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0， ∴＋＝－ ≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①②　　　　　　　　　　B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：选B　①∵a，b为正实数， ∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴＋a≥2＝4是错误的． ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． 在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”． 一正：a，b均为正数； 二正：不等式一边为定值； 三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解．　　 　若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞b＞＞ B．a＞＞＞b C．a＞＞b＞ D．a＞＞＞b 答案：B 题型二　利用基本不等式直接求最值 [例 2]　(1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值． 解：(1)∵x>0，∴>0，4x>0. ∴＋4x≥2＝8. 当且仅当＝4x， 即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8. (2)∵x<0，∴－x>0. 则＋(－4x)≥2＝8， 当且仅当＝－4x时， 即x＝－时取等号． ∴＋4x≤－8. ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8. 在利用基本不等式求最值时的注意点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是检验等号成立的条件是否具备．　　 　已知x>0，y>0，xy＝9，则x＋3y的最小值为(　　) A．8 B．6 C．8 D．6 解析：选D　利用基本不等式，x＋3y≥2＝2＝6，当且仅当x＝3y＝3时，等号成立，故选D. 题型三　利用基本不等式证明不等式 [例 3]　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， 求证：＋＋＞9. 证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋ ＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2 ＋2 ＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c时等号成立， 又a，b，c互不相等，∴＋＋＞9. (1)条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系． (2)先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．　　 　设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以＋≥2，＋≥2， ＋≥2， 所以＋＋＋＋＋≥6， 当且仅当＝，＝，＝， 即a＝b＝c时，等号成立． 所以＋＋≥6. [课堂小结] 　应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a＞0，b＞0时，才会有≤.对于“当且仅当……时，‘等号’成立．”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面，当＝时，也有a＝b. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$