第1章 3.2 第2课时 基本不等式的应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

第2课时　基本不等式的应用 学习目标 素养要求 1.会用基本不等式求简单函数的最值． 2.会用基本不等式解决实际问题． 1.借助基本不等式求最值，提升数学运算的核心素养． 2.通过基本不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点　基本不等式求最值 [问题]　已知函数f(x)＝x(1－x)(0＜x＜1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？ 答：最大值；能． ∵0＜x＜1，∴1－x＞0，又∵≥_， ∴ab≤，∴x(1－x)≤ ＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，f(x)有最大值. ►知识填空 基本不等式与最值 已知x，y都是正数时，下列命题均成立． 和定积最大 若x＋y＝s(和为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取值最大值． 积定和最小 若xy＝p(积为定值)，则当且仅当x＝y值，x＋y取值最小值2． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两个正数的和为定值，则它们的积有最大值．(　　) (2)x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　) (3)若x＞0，则函数f(x)＝x2＋的最小值等于4.(　　) (4)若不等式a≥f(x)恒成立，则a≥[f(x)]max.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2　　　　　　　　　　　B．a C． D．3 答案：D 3．已知a＋b＝2，a＞0，b＞0，则＋的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：A 4．已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为________． 解析：y＝x(1－2x)＝·2x·(1－2x)≤＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取“＝”． 答案： 题型一　利用基本不等式的变形求最值 [例 1]　(1)已知x＜0，则3x＋的最大值为________． 解析：因为x＜0，所以－x＞0. 则3x＋＝－≤ －2＝－12， 当且仅当＝－3x， 即x＝－2时，3x＋取得最大值为－12. 答案：－12 (2)已知x＞2，则x＋的最小值为 ________． 解析：因为x＞2，所以x－2＞0，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，所以当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时，x＋的最小值为4. 答案：4　 (3)已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值． 解：法一：＋＝·1 ＝·(a＋2b) ＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当 即a＝－1；b＝1－时等号成立． ∴＋的最小值为3＋2. 法二：＋＝＋＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当 即a＝－1；b＝1－时，等号成立， ∴＋的最小值为3＋2. 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值，特别注意“1”的代换.　　 　(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值； (2)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值． 解：(1)∵x＞0，y＞0，2x＋3y＝6， ∴xy＝(2x·3y)≤×＝×＝，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值. (2)∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋9＝＋＋10，又∵x＞0，y＞0， ∴＋＋10≥2＋10＝16， 当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立． 由得 即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. 题型二　基本不等式在实际问题中的应用 [例 2]　“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大”中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元).已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件． 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 解：设该批产品的利润为y， 由题意知y＝·Q－2－x ＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x ＝20－－x＝21－， 0≤x≤3. ∵21－≤21－2＝17， 当且仅当x＝1时，上式取“＝”， ∴当x＝1时，ymax＝17. 故当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元． 基本不等式解决实际问题的思路方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数． (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)回到实际问题中，结合实际意义写出正确的答案．　　 　北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝(v＞0). (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 解：(1)由题意y＝＝≤＝， 当且仅当v＝，即v＝40时取等号． ∴ymax＝≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v＝40千米/小时时， 车流量最大为11.1千辆/小时． (2)由题意：＞10， 整理得v2－89v＋1600＜0， 即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64. ∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时． 题型三　利用基本不等式解决恒成立问题 [例 3]　设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围． 解：由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，a－c>0， ∴原不等式等价于＋≥m， 要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可， ∵＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立， ∴m≤4，即m的取值范围为(－∞，4]. (1)恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax，将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式． (2)运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意根据各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．　　 　已知a>0，b>0，若不等式≤＋恒成立，则m的最大值为________． 解析：由已知得不等式≤＋恒成立，得m≤(3a＋b)·(a>0，b>0)， (3a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝b时取等号， 故m的最大值为16. 答案：16 [课堂小结] 1．应用基本不等式求最值技巧 获得定值条件是应用基本不等式的难点和关键，常用方法有： (1)拆项、添项、配凑；(2)常值代换；(3)构造不等式：即当和与积同时出现在同一个等式中时利用基本不等式构造一个不等式，从而求出和或积的取值范围． 2．利用基本不等式求解实际应用问题，关键要设出变量，建立正确的函数关系式，然后利用基本不等式求最值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$