第1章 3.1 不等式（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§3　不等式 §3.1　不等式的性质 学习目标 素养要求 1.掌握不等式的性质并能利用不等式的性质比较数与式的大小或证明简单的不等式 2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.． 1.借助不等式的性质的应用，培养逻辑推理的核心素养． 2.通过运用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，提升数学建模的核心素养 [自主梳理] 知识点一　基本事实 ►知识填空 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a＞b，a＝b，a＜b. 依据 如果a＞b，那么a－b＞0． 如果a＜b，那么a－b＜0． 如果a＝b，那么a－b＝0． 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系． 知识点二　不等式的性质 [问题1]　已知事实a＞b，那么a－b＞0.这个结论有什么用途？ 答：利用两个数或两个式子相减后的结果与0的大小关系，比较它们的大小． [问题2]　已知3＞2，若两边同乘以2，不等式成立吗？若两边同乘以c(c为常数)，不等式成立吗？ 答：同乘以2，不等式成立；两边同乘以c，不等式不一定成立，当c＝0时，3c＝2c；当c＞0时，3c＞2c；当c＜0时，3c＜2c. [问题3]　如果a＞b，那么a2＞b2成立吗？ 答：不一定成立． [问题4]　对于不等式的性质，同向不等式是否相减也成立？ 答：不一定成立，例如5＞3且4＞1时，则5－4＞3－1是错的． [问题5]　同向不等式相除还成立吗？ 答：不一定成立，例如5＞3且4＞1，则＞是错的． ►知识填空 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 2 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 3 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc c的符号 a＞b，c＜0⇒ac＜bc 4 同向相加 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 5 同向相乘 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＜bd 6 推论 a＞b＞0⇒an＞bn (n∈N＋，n≥2) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>b，则a－c>b－c.(　　) (2)>1⇒a>b.(　　) (3)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.(　　) (4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c＞b－d　　　　　B．ac＞bd C．a＋c＞b＋d D．a＋d＞b＋c 答案：C 3．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________． 答案：M＞N 4．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________． 解析：∵－<α<，－<－β<， ∴－1<α－β<1. 又α<β，∴α－β<0，∴－1<α－β<0. 答案：(－1，0) 题型一　用不等式(组)表示不等关系 [例 1]　(1)限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？ (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ 答案：(1)v≤40. (2) 　 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得到不等式．　 　用不等式表示下列关系： (1)x为实数，而且大于1不大于6； (2)x与y的平方和不小于2且不大于10. 答案：(1)1＜x≤6 (2)2≤x2＋y2≤10 题型二　比较两个数(式)的大小 [例 2]　(1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小； (2)已知a>0，试比较a与的大小． 解：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b). ∵a>0，b>0，且a≠b， ∴(a－b)2>0，a＋b>0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0， 即a3＋b3>a2b＋ab2. (2)a－＝＝. ∵a>0，∴当a>1时，>0，有a>； 当a＝1时， ＝0，有a＝； 当0<a<1时，<0，有a<， 综上，当a>1时，a>； 当a＝1时，a＝； 当0<a<1时，a<. 数(式)大小的比较问题常用“作差法”，其过程可分三步：①作差；②变形；③判断差的符号．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号．　　 　比较x2＋3与3x的大小，其中x∈R. 解：因为(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3 ＝－＋3 ＝＋≥＞0. 所以x2＋3＞3x. 题型三　不等式性质的应用 角度1　应用不等式性质判断命题真假 [例 3]　对于实数a，b，c，判断下列结论是否正确． (1)若a＞b，则ac2＞bc2； (2)若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2； (3)若c＞a＞b＞0，则＞； (4)若a＞b，＞，则a＞0，b＜0； (5)若a＜b＜0，则＞. 解：(1)当c＝0时，有ac2＝bc2.故该结论错误． (2)由可得a2＞ab.因为所以ab＞b2，从而有a2＞ab＞b2.故该结论正确． (3)由a＞b＞0，可得－a＜－b＜0.因为c＞a＞b，所以0＜c－a＜c－b，因此＞＞0，于是＞.故该结论正确． (4)由＞，可知－＝＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0.故该结论正确． (5)依题意取a＝－2，b＝－1，则＝， ＝2，显然＜.故该结论错误． 解决这类问题时，通常有两种方法：一是直接利用不等式的性质，进行推理，看根据条件能否推出相应的不等式；二是采用取特殊值的方法，判断所给的不等式是否成立，尤其是在选择题中经常采用这种办法．　　 角度2　应用不等式性质证明不等式 [例 4]　(1)已知a＜b，e＞f，c＞0.求证：f－ac＜e－bc； (2)若bc－ad≥0，bd＞0.求证：≤. 证明：(1)∵a＞b，c＞0， ∴ac＞bc，∴－ac＜－bc.∵f＜e， ∴f－ac＜e－bc. (2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∵bd＞0， ∴≤，∴＋1≤＋1， ∴≤. (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证． (2)对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易证得，可考虑将不等式两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．　　 角度3　利用不等式性质求范围 [例 5]　已知12<a<60，15<b<36，求a－b和的取值范围． 解：∵15<b<36，∴－36<－b<－15， ∴12－36<a－b<60－15， 即－24<a－b<45. 又<<， ∴<<，即<<4. 故－24<a－b<45，<<4. 同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．　　 1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A．＞　　　　　　　　B．＜ C．＞ D．＜ 解析：选B　∵c＜d＜0，∴0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0，两边同乘－1，得＜.故选B. 2．已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则2a－b的取值范围是________． 解析：设2a－b＝x(a＋b)＋y(b－a)， 则解得 所以2a－b＝(a＋b)－(b－a)， 因为0<a＋b<2，－1<b－a<1， 所以0<(a＋b)<1， －<－(b－a)<， 结合不等式的性质可得， －<(a＋b)－(b－a)<， 即－<2a－b<. 答案： 3．已知a，b，x，y∈(0，＋∞)且＞，x＞y，求证：＞. 证明：－＝. 因为＞且a，b∈(0，＋∞)， 所以b＞a＞0， 又因为x＞y＞0，所以bx＞ay＞0， 所以＞0，所以＞. [课堂小结] 1．不等关系用不等式表示时，要注意以下两点：一是要恰当地进行语言转换，即自然语言、符号语言、图形语言之间的转换；二是要准确使用不等号，同时还要注意表示各量的字母的条件． 2．比较两个代数式(实数)的大小一般利用作差法比较，其步骤为：作差——变形——判断符号——下结论． 其中“变形”是关键，常采用配方、因式分解等恒等变形手段． 3．不等式性质的应用 (1)在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件． (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$