第1章 1.3 第1课时 交集与并集（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 学习目标 素养要求 1.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个集合的交集与并集． 1.通过交集与并集的学习，培养数学抽象、数学运算的核心素养． 2.能用Venn图表达集合之间的关系进行集合的交、并运算，体会直观图对理解抽象概念的作用． 2.借助Venn图进行集合的运算，提升直观想象、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　交集 [问题1]　已知A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，C＝{3，4}．集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？ 答案：有．{3，4}． [问题2]　上述问题中，集合C中的元素与集合A，B有什么关系？ 答案：集合C中的元素既属于集合A又属于集合B. ►知识填空 1．定义 自然语言 符号语言 图形语言 由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B． A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 2.性质 A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅． 知识点二　并集 [问题1]　已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x∈N|1≤x≤4}，C＝{－1，1，2，3，4}．集合A与集合B各有几个元素？ 答案：A＝{－1，1}，B＝{1，2，3，4}，即集合A有2个元素，集合B有4个元素． [问题2]　若将上述集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？ 答案：{－1，1，2，3，4}． [问题3]　集合C中的元素与集合A，B有什么关系？ 答案：集合C中元素属于集合A或属于集合B. ►知识填空 1．定义 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B. A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． 2.性质 A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的的交集．(　　) (2)若A∩B＝∅，则A，B均为空集．(　　) (3)A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素．(　　) (4)若x∈A∩B，则x∈A∪B.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤2或x≥3}，则A∩B等于(　　) A．{x|2≤x≤3} B．{x|x<2或x≥3} C．{x|x≥3} D．{x|0<x≤2或x≥3} 解析：选D　借助数轴，可得A∩B＝{x|0<x≤2或x≥3}． 3.已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　) A．{0，1} B．{0} C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，2，3} 解析：选D　由Venn图可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，故M∪P＝{－1，0，1，2，3}．故选D. 4． 已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________． 答案：[2，＋∞) 题型一　交集的运算及应用 [例1]　(1)已知A＝{x|x≤－2或x＞5}，B＝{x|1＜x≤7}，则A∩B＝________． (2)集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， ①若B⊆A，求实数m的取值范围． ②若A∩B≠∅，求实数m的取值范围． 解析：(1)将x≤－2或x＞5及1＜x≤7在数轴上表示出来． 根据交集的定义，图中阴影部分即为所求． 所以A∩B＝{x|5＜x≤7}． 答案：{x|5＜x≤7} (2)①当B＝∅时，B⊆A， 此时m＋1＞2m－1，解得m＜2， 当B≠∅时，为使B⊆A，m需满足 解得2≤m≤3. 综上知实数m的取值范围为m≤3. ②先求A∩B＝∅， 当B＝∅时由①知m＜2， 当B≠∅时，为使A∩B＝∅，m需满足 或， 解得m＞4， 综上知当m＜2或m＞4时A∩B＝∅， 所以若A∩B≠∅，实数m的取值范围是2≤m≤4. 求集合交集的方法 (1)若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集． (2)若集合的代表元素有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集． (3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意“实”“虚”点．　　 1．若集合A＝{x∈Z|－3<x<3}，B＝{x∈N|0≤x≤3}，则A∩B等于(　　) A．{0，1，2}　　　　　　　B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3} 解析：选A　将集合A，B化简，得A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{0，1，2，3}，借助Venn图，可得A∩B＝{0，1，2}． 2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}． (1)求A∩B； (2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围． 解析：(1)∵B＝{x|x≥2}， ∴A∩B＝{x|2≤x＜3}． (2)∵C＝， B∪C＝C⇔B⊆C，∴a＞－4. ∴a的取值范围为{a|a＞－4}． 题型二　并集的运算及应用 [例 1]　(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A．{0}　　　　　　　　　B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2} (2)设S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，若S∪T＝R，则实数a应满足(　　) A．－3＜a＜－1 B．－3≤a≤－1 C．a≤－3或a＞－1 D．a＜－3或a＞－1 解析：(1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}． (2)在数轴上表示集合S，T如下图所示． 因为S∪T＝R，由数轴可得 解得－3＜a＜－1. 答案：(1)D　(2)A 求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集； ②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．　　 1．满足条件{1，2}∪M＝{1，2，3}的所有集合M的个数是(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 答案：D 2．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x＜－5或x＞－3} B．{x|－5＜x＜5} C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3或x＞5} 解析：选A　在数轴上表示集合M，N，如下图所示，则M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}． 题型三　交集、并集运算性质及综合应用 [例3]　已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． 解：(1)当B＝∅，即k＋1＞2k－1时，k＜2，满足A∪B＝A. (2)当B≠∅时，要使A∪B＝A， 只需解得2≤k≤. 综合(1)(2)可知k≤. ∴k的取值范围是. (1)此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解即可，特别要注意端点值的取舍． (2)当集合的元素离散时，常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解，但求解后要代入检验是否符合题意.　　 1．若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，A∪B＝B，则m的取值范围是________． 答案：{m|－2≤m≤－1} 2．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围． 解：由A∩B＝A可知A⊆B. 所以即 所以k∈∅. 所以k的取值范围为∅. [课堂小结] 1．在解决有关集合运算的题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于将其转化为文字语言． 2．集合的运算可以用Venn图帮助思考，实数集合的交集、并集运算可借助数轴求解，体现了数形结合思想的应用． 3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要注意分类讨论思想的应用． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$