北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高三上学期暑假自主复习检测数学试卷

（ ） （ ） （ ） 7、 在无线通信 (如路由器信号) 中， 值号强度会随着传播距离增加而衰减， L是信号衰减 值 (单位： 分贝， dB), d (单位。米) 为信号传掘距离、 某路由器信号在自由空间 (无 遮挡、 无干扰) 中， 信号衰减公式可简化为： L=klgd+C (k₁C为常数), 若距离增加. 一倍，信号衰减值约减少为6dB,信号传播距离从 曾加到a2时，测得信号褒减值从-30 变到-45, 则 c. 4/Z D. S√ZA、 s B. 6 A、 充分不必要条 8.已知无穷数列 a),T=LMeRHreN,a₂Sd}, 则“T中元素存在最小值 是 “a,有最大值”( ) 件 B.必要不充分条件 c. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9. 若函数f(2)=3sinax+4cosax(o>)满足如下条件， ①任意xeR,f(x)+f(n+x)=0, ②存在唯-为∈(0,π),f(π)=0 , ③存在为 e(0,x), *xg f(x)=f(x). 则sin(π+x)的值是 ( a. B. c. D. 10. 已知平面直有坐标系30)中， A(2.0), B(-10), 「-2,āxGC2-2,则 2xE+C的取值范围是 ( A. [2A，₆] B.[2，₆] c. [.3] D [53] 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分、消把结果填在答题纸上的相应应置。) 1 . 抛物载J²=me:(h≠0)的准线方程 _. 12.已知等比数列(0,)的前n项和为8, a=1, ₂ +1a₂成等差数列， >2025, 则 n的最小值是 13. 已知(1-22)“=a₂+qx+az²+ …+q₁x¹,则a₁= 14. 已知f(x), g(x)为定义域沟R的函数， 其中f(x)为奇函数， g(x)为偶函数， ★列命 题正确的序号是 . ④满足当x≠0时 ⑧存在/(x), g(x)使得ʃ(x)-g(x)=cosx框成立； ②使得g(x+y)=g(x)+g(y)恒成立的g(x)存在且唯一； ◎使得f(x)+g(×)=6恒成立的/(x), g(x)存在且唯一； 恒成立的f(x)有无穷多个，， 2 /4 15、 如图所示多面体中ABCDEF为平面多边形，面GAF⊥面ABC,面LCD⊥面ABC, AB⊥AR, BC⊥CD, GABGF. LC=LD, AB|/EF|/GH, BC|/BD/HL, AF=CD, AB=BC=8, FE=ED=12, ∠ABC∈(0,π). (1) GH= _; (2) 若该多面体的体积是240√3, 则当该多面 体表面积最小时， cos∠ABC= , 三、 解答题 (本大题共6小题， 共85分.解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程. 请 在答题纸上的相应位置作答.) 16. (本小题13分) 如图， 在四梭锥P-ABCD中， 面PAD⊥面ABCD, PA⊥AB, PA=AC、 AB|CD, ABLBC (I) 证明： PA⊥平面ABCD; (Ⅱ) 求面PBC与面PAD夹角的余弦值。 17. (本小题13分) 在△ABC中，bsinC+ccosA=0. (1)都 求A; (Ⅱ) 若bsinC+b=6cosC, 在以下三个条件中选择一个作为已知。 使德△ARC医在， 求 AC边上的高. 条件①: acosB=3√z; 条件②: b=c; 条件③: b=4cosC. 18.(本小题14分) 某汽车品牌计划推出两款新车型： 纯电动版 (EV) 和插电混动版 (PHEV) 在某市随 机调查了300名消费者的购买意愿， 调查数据按收入水平分组册下表 1.单位： 人). 中收入群体 高收群体低收入群体 车型 (<20万/年) (>50万/年)(20万/年-50万/年) 感意不愿意 愿意愿意 不愿意 不愿意 70EV 30 30 50 40 40 29PHEV 6020 80 6060 (I) 从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版 (EV) 的概率P; (Ⅱ) 从该市全体中帐入群库和高收入群体中各自随机抽取2, 记X为这4中愿意购梁插 电混动版 (PHEV) 的人数， 求 X的分布列和数学期望E(X) 假设所有消费者的购买意愿相互独立， 用频率俗计概率.微信公众号：数公⼦ : 3 / 4 1 / 6 人大附中 2026 届高三数学暑假自主复习检测练习 数学参考答案 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．） 1-10 CDDCC ACBCA 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．） 11． 4 m x = − 12．11 13． 2048− ， 1024− （第一空 3 分，第二空 2 分） 14．②③④（全对得 5 分，有错得 0 分，否则对 1 个得 2 分，对 2 个得 3 分） 15．10， 1 2 − （第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分．） 16．（本小题 13 分） （Ⅰ）取CD中点G ，连结 AG ，则 1 2 AB CG AB CD CG= =， 所以四边形 ABCG为平行四边形 1 2 AG BC AB CD AC AD = = =  ⊥ ． 因为平面 PAD ⊥平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD= ， AC 面 ABCD， 所以 AC ⊥面 PAD ． 又 PA面 PAD ，所以 AC PA⊥ ． 又 ,PA AB AB AC A⊥ = ，所以 PA⊥平面 ABCD． ……5 分 （Ⅱ）因为 PA⊥平面 ABCD， AC AD⊥ 所以 , ,PA AC AD两两垂直，如图建立平面直角坐标系 设 2AB = ，则 ( ) ( ) ( ) ( )1, 1,0 , 2,0,0 , 0,0,2 , 0,2,0B C P D− 2 / 6 ( ) ( )1,1,2 , 1,1,0BP BC= − = 设面 PBC 法向量 ( ), ,m x y z= ，则 0 2 0 00 m BP x y z x ym BC   = − + + =   + = =  令 1x = ，则 ( )1, 1 1, 1,1y z m= − =  = − ，又面 PAD 法向量 ( )1,0,0n = 设平面 PBC 与平面 PAD 夹角为 则 3 cos cos , 3 m n m n m n  = = = ． ……13 分 17．（本小题 13 分） （Ⅰ） 1 , sin cos 0, sin cos 0, cos sin sin 6 2 b c b C c A B A B A B C  = + =  + = =  = − ( ) 2 0, 3 A A   =  ……5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 sin cos 0, sin sin sin , 2 2 cos sin 0 , , 0, 2 2 , 0, 2 2 2 B A B A A A B A B B A B A      + =  = − − = −             = −                 −   = −    sin cos 0, sin 6cos 6cos cosb C c A b C b C b C c A+ = + =  = + ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 26 6 0 6 0 2 2 a b c b c a b c a b c a a b c a a b c ab bc + − + −  = +  + − − + − =  − + − = 显然 2 2 2 0 6 2 C a b c a    + −   = 对于① 3 cos 3 2 , 4 4 a B B A A B   =  = =  + = 矛盾 对于② 3 sin 3 2 6 b c B C A B C B B C a C   =  =  + + = + =  = =  = 对于③ 1 4cos , sin 6cos sin , sin 3 2 b C b C b C C a C= + =  =  = ， ……13 分 18．（本小题 14 分） （Ⅰ）由表可知 300 调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为 180 3 300 5 = 3 / 6 用频率估计概率，从顾客中随机抽取 1 人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为 3 5 ； ……4 分 （Ⅱ）用频率估计概率， 从全市中收入群体中随机抽 1 人，意购买插电混动版（PHEV）的概率估计 60 1 60 60 2 = + ， 从全市高收入群体中随机抽取 1 人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率 60 3 60 20 4 = + ， 由题意 X 的可能取值为 0，1，2，3，4 ( ) 2 2 3 1 4 1 0 1 2 6 1 4 P X     = = −  − =        ， ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 3 1 1 1 1 4 4 4 8 1 1 2 2 P X C C         = = − + −  =                ， ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 3 1 3 1 3 2 1 3 11 4 32 1 2 4 2 4 2 4 P X C C             = =  − + − +  =                        ． ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 3 3 1 3 3 1 2 4 4 2 4 3 8 P X C C         = =  −  + =                ( ) 2 2 1 4 9 6 3 2 4 4 P X     = =  =        所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 64 1 8 11 32 3 8 9 64 ( ) 2 1 11 3 9 0 1 2 3 4 8 6 1 5 64 8 32 4 E X =  +  +  +  +  = ． ……10 分 （Ⅲ）低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为 70 7 100 10 = ； 中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为 2 70 120 7 1 = ； 高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为 40 1 80 2 = ． 所以 3 7 1 7 1 1 191 3 5 10 5 12 5 2 300 5 Ap p=  +  +  =  = ． ……14 分 19．（本小题 15 分） （Ⅰ） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 , 3 1 2 3 3 2 c a x e a b y a a − = = =  = =  + = ……5 分 4 / 6 （Ⅱ） 2 2 2 2 1 1 ,1 x y a a a y Qa c c cx c + =    = +  − +  = −    1 2 2 2 2 2 2 2 1 QF a c a c ack a c a b c c + + + = = = − − − + ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 20 0 0 2 22 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 : 0, 1 ,11 1 1 1 1 0 PT QF PT QF c a c ca QF y x c T b b x y x a P a aa a y a x y c ca a b a b c ca c b a cbk a a b b b a c k k k QTR PTR b  + +  = − +  −      =+ =    − − = − + = + − + − + + + − +  = = = = + = −  + =  =  1 1 2 2 1 1 sin , sin , 2 2 TQS S S S TP TQ TR QTR TP TR PTR=  = =  ……15 分 20．（本小题 15 分） （Ⅰ） ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1x xf x x e f x x x e = −  = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 , 0, ; 2, 2 , 0, ; 2, , 0, ; x f x f x x f x f x x f x f x  − −   −   +  又 0x  时， ( ) 1f x  ， ( ) ( ) 22 2 2 2 1 1f e= − +  ，所以 ( )f x 的最小值点 2 ……5 分 （Ⅱ）切线 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ): 1 1 1 1 1 1l y f f x y f x f f  − = −  = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1, 1 1 1, 1 1xf x x f x x x e f f y f x  = + − −  = −  = + ( )y f x= 在 ( )( )1, 1f 处的切线恒过 ( )0,1 ……10 分 （Ⅲ）考虑证明： ( ) ( ) ( ) 1 1, 0 f m f x x x m m −  +   5 / 6 ①当 ( )0,1x 时， ( )f x 单调递减，所以 ( ) ( )0 1f x f = ( ) ( ) ( ) 1 1 0, 0 1 1 f m f m x f x x m − −      + ②当  )1,x m 时，只需证： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x f m x m x m − −    令 ( ) ( )  ) 1 , 1, , f x g x x m x − =  则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 , 1 0 x xf x x f x x x eg x x e x g x x x  − + −  = = = −    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 , , f x f m x m g x g x g m x m − −        ( ) ( ) ( ) 1 1, 1 f m f x x x m m −  +   综合①② ( ) ( ) ( ) 1 1, 0 f m f x x x m m −  +   ，即 ( )0,x m 时 ( )f x 恒在 AB 下方 ……15 分 21．（本小题 15 分） （Ⅰ） 1 2A A， 不是“ 7 可表集合组”； 因为 1 {1,4,6,8,10,12, }A = ，其元素中仅有一个奇数， 所以 1{ , }x y A  ，若 x y+ 为偶数，则必为 1A 中两偶数元之和，至少为 4 6 10+ = ， 所以 1{ , }x y A  ， 8x y+  ． 所以 1 2A A， 不是“7 可表集合组”． ……4 分 （Ⅱ） 0n 的最小值为 7． 首先给出 0 7n = 的例子： 令 1 {1,2,6,8,10,12, }A = ， 2 {3,4,5,7,9,11, }A = ， 则 1 2A A， 为“7 可表集合组”． 下面假设某个 0 6n  满足题设要求， 则对任意  1,2i ，存在{ , } ix y A ，使得 6x y+ = ． 注意到 6 表示为两个不同正整数的和只能是1 5+ ， 2 4+ ， 不妨设 1{1,5} A ， 2{2,4} A ． 又对任意  1,2i ，存在{ , } ix y A ，使得 7x y+ = ． 注意到 7 表示为两个不同正整数的和只能是1 6+ ， 2 5+ ，3 4+ ， 所以 1{1,5,6} A ， 2{2,3,4} A ． 又注意到 8 表示为两个不同正整数的和只能是1 7+ ， 2 6+ ，3 5+ ， 所以对任意 2{ , }x y A ，均有 8x y+  ． 与 1 2A A， 是“ 0n 可表集合组”矛盾． 所以假设不成立． 6 / 6 综上， 0n 的最小值为 7． ……9 分 （Ⅲ） k 的最大值为3． 首先给出 3k = 的例子： 令    1 1,2,3 3 | 4,5,6,A m m= = ，    2 4,5,6 3 1| 4,5,6,A m m= − = ，    3 7,8,9 3 2 | 4,5,6,A m m= − = ， 则 1 2 3A A A， ， 为“15可表集合组”． 下面假设某个 4k  满足题设要求， 显然 1 2 4 53, , , kA A A A A A 也满足题设要求，故可不妨设 4k = ． 令  1,2,3, ,23 ( 1,2,3,4i iB A i= = ）， 显然对任一下标 i ，15,16, ,24这10个数中任一数均可写成 iB 的两个元素之和， 从而 iB 中元素至少有五个． 注意 1 2 3 4 23B B B B+ + + = ， 从而必存在某个 j ， 5jB = ． 设 1 2 3 4 5{ , , , , }jB x x x x x= ，从而 jA 中俩个不同元素之和所表示的15,16 ... 24，， 这10个数恰可被 jB 中俩个不同元素之和所表示． 则这些数的和为 ( )1 2 3 4 54 15 16 ... 24 195x x x x x+ + + + = + + + = ， 与 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 均为正整数矛盾． 所以假设不成立． 综上， k 的最大值为3． ……15 分