13.3全等三角形的判定（题型专练）数学新教材冀教版八年级上册

13.3全等三角形的判定 （12大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 利用SSS证明三角形全等 题型二 SSS与全等三角形的性质综合应用 题型三 三角形的稳定性 题型四 利用SAS证明三角形全等 题型五 SAS与全等三角形的性质综合应用 题型六 利用ASA证明三角形全等 题型七 ASA与全等三角形的性质综合应用 题型八 利用AAS证明三角形全等 题型九 AAS与全等三角形的性质综合应用 题型十 确定全等三角形的对数 题型十一 添加条件使三角形全等 题型十二 灵活选用判定方法证明全等 能力提升题 题型一 多次证全等求解或证明结论 题型二 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 题型一 利用SSS证明三角形全等 1．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； B．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； C．满足三角形全等的判定定理，符合题意； D．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； 故选：． 2.如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等，下面的个条件：①；②；③；④，可利用的是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵和推不出， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 3．如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据，，判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 4．如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（    ） A．边边边 B．边角边 C．角角边 D．角边角 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质的应用，掌握全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键. 根据题中条件证出和全等,利用全等三角形的性质即可说明. 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴就是的平分线. 故选：A 5．如图，全等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据证明即可． 【详解】解：，理由如下： 在和中， ∴． 6．如图，四点共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形判定即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 题型二 SSS与全等三角形的性质综合应用 7．如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A．28° B．54° C． D．82° 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 【详解】 即 在和中， 故选C． 8．如图，点D在线段上．若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的判定及性质，关键利用全等三角形的判定定理证明，然后利用全等三角形的性质求解的度数． 【详解】在和中， ， ∴， ∴， 故选： D． 9．如图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容． 如图，已知，求的度数． 解：在和中， ∴（▲）， ∴（全等三角形的★相等）， ∴， ∴． 下列说法正确的是（    ） A．▲代表 B．■代表 C．★代表对应边 D．※代表 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质补充求解过程，推出▲，■，★，※分别表示对象，并判断，即可解题． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 由求解过程可知，▲代表，■代表，★代表对应角，※代表， 即选项A、B、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意． 故选：D． 10．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再运用SSS证明； （2）根据三角形内角和定理可求，由（1）知，从而可得结论． 【详解】（1） 在与中 （2） 11．是的中点，，．求证： (1)求证∶； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、邻补角互补等知识点，证得是解题的关键． （1）由点C是的中点可得，然后根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据邻补角相等可得，最后运用等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． 在与中， ， ． （2）证明：∵， ， 又， ． 12．如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)9 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点． （1）利用证明与全等； （2）先根据全等三角形性质得出，进而求出，的长度，再计算； （3）先求出，再根据全等三角形性质得到，最后求出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ． ∵， ∴． 又， ． ， ， ； （3）解：，，，， ， ， ， ， ， ． 题型三 三角形的稳定性 13．椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 14．如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的性质． 根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性， 故选：． 15．如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：由“放一个三脚架来固定和支撑相机”可知，这里用到的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：B． 16．安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：根据题意得：这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故选：B 17．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用． 根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：构成，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D． 18．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、没有应用到三角形的稳定性，符合题意； D、应用到三角形的稳定性，不符合题意； 故选：C． 19．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 题型四 利用SAS证明三角形全等 20．如图，是全等三角形的是（   ） A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅳ C．Ⅱ和Ⅲ D．Ⅰ和Ⅲ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 利用两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形进行判定即可． 【详解】根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，可得Ⅰ和Ⅲ是全等三角形． 故选：D． 21．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ， 用“”证明，则还需添加 故选： 22．能判定的条件是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题可根据全等三角形的判定定理，对每个选项进行判断．本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等 选项A错误． 两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等 选项B错误． 两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等 选项C错误． 两边及其夹角对应相等，符合边角边（SAS）判定定理 选项D正确． 故选：D． 23.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：, , 在和中， ， ． 故选B． 24．如图，已知，，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据题意易求出，再结合，，利用即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴． 25．已知：如图，，，点E、F在线段上，且． 请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定．由得到，由得到，从而根据“”证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 26．如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 题型五 SAS与全等三角形的性质综合应用 27．如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明，再运用三角形外角性质得，最后由三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：A． 28．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键． 根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 29．如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，得到，再测得的长，就是的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据题意可得，，结合公共边，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：A． 30．某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定定理证得，利用该全等三角形的对应边相等推知，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵椅子腿和的长度相等，是它们的中点， ∴，， 在与中 ， ， ∴ ∴， 故选：． 31．如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． （1）利用线段中点的定义得到，再证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）的结论得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 32．如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当 时，？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)90，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）根据已知条件可依据“”判定和全等； （2）由得，根据可得． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴（）； （2）解：当时，，理由如下： 当时，， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90． 33．如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．已知和均垂直于地面，点、、、在同一水平线上，且与、垂直，，，．若，且，求设计出的闸机一侧边缘（即或）的长度． 【答案】． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用可证，根据全等三角形对应边相等可知，，从而可以求出，从而可得，根据可得：． 【详解】解：由题意得，， ． 在和中，， ， ，， ，， ， ， ，， ， 设计出的双翼边缘（即和）的长度为． 题型六 利用ASA证明三角形全等 34．如图所示的四个三角形中全等的是（    ） A．①与② B．②与③ C．②与④ D．③与④ 【答案】C 【分析】先分别求出四个三角形的第三个角，再依据全等三角形判定定理（ASA ），判断哪两个三角形全等，即看是否有两角及其夹边分别相等 ．本题主要考查全等三角形的判定（ASA ），熟练掌握“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”是解题的关键． 【详解】解：①中，已知两角为、，则第三个角为，且与夹边为 ． ②中，已知两角为、，则第三个角为，与夹边为 ． ③中，已知两角为、，则第三个角为，与夹边为． ④中，已知两角为、，则第三个角为，与夹边为 ． 因此①与②不全等， ②与③不全等，②与④全等，③与④不全等． 故选：C ． 35．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 36．如图，点在一条直线上，，判定和全等需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中，， 若， 则：，即：， 无法得到和全等，故A选项不符合题意； 若， 则：， ∴，故B选项符合题意； 若，无法得到和全等，故C选项不符合题意； 若， 则：， 无法得到和全等，故D选项不符合题意； 故选B． 37．如图，，添加下列条件，还不能使成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据，可得，再加上公共边，然后结合全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：， ， A．添加可得，可利用判定，故此选项不合题意； B．添加可利用判定，故此选项不合题意； C．添加不能判定，故此选项符合题意； D．添加可利用判定，故此选项不合题意； 故选：C． 38．如图，点E在上，点C在上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由即可得出． 【详解】证明：在和中， ． 39.如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，理解平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据，得，根据得，进而可依据“”判定和全等． 【详解】证明：，， ， ， ， 在和中， ， ． 40．如图，在中，，，点在线段上运动（点与点B，C不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，求的度数； (2)当线段的长度是多少时，？请写出证明过程． 【答案】(1) (2)时，，见解析 【分析】本题考查的是角的和差运算，内角和定理的应用，全等三角形的判定； （1）直接利用平角的定义求解即可； （2）先证明，再结合即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：当时，． 当时， 在中，． ∵， ∴． 在和中， ∴． 题型七 ASA与全等三角形的性质综合应用 41.如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行到达树C，继续前行到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时的长度即为河岸的宽度．小开这样判断的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据，，再根据对顶角相等，利用证明即可． 【详解】解：由题意，得，， 在与中， ∴， ∴， ∴小开这样判断的依据是． 故选：D． 42.如图，，，，，则等于 ． 【答案】3； 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 43.如图，在和中，点在边上，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用“”证明是解题关键． （1）首先证明，然后利用“”证明即可； （2）首先根据全等三角形的性质可得，，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴， ∴． 题型八 利用AAS证明三角形全等 44.如图，下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（   ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙 D．丙 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要． 甲只有两条边长对应相等，但角无法对应；乙可根据判定与全等；丙可根据判定与全等，可得答案． 【详解】解：甲三角形只知道两条边长对应相等，但角无法对应，无法判断是否与全等； 乙三角形夹内角及其两边分别与已知三角形对应相等，故乙与全等； 丙三角形内角及所对边与对应相等且均有内角，可根据判定丙与全等； 则与全等的有乙和丙， 故选：B． 45.如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的应用，解题关键是掌握全等三角形的判定方法． 根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定． 【详解】解： ， ， 两根高度相同的木杆竖直插在地面上， ∴，， 在和中， ， ∴． 故答案为：． 46．如图，，，，图中全等的三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 由，得到，即，再由，利用得出，由全等三角形的对应角，对应边相等得到，进而确定出． 【详解】解：图中全等三角形有 4 对，分别为， ， ， 即， 在和中， ， ； ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 由，得到，即， 在和中， ， ， 故选：C． 47．如图，经过点于点于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，利用证明即可．熟练掌握一线三直角的全等模型，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 48．如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 题型九 AAS与全等三角形的性质综合应用 49．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C．SSA D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 50．已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、线段的和差． （1）由线段的和差得，由即可得证； （2）由线段的和差得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中 ， （）； （2）解： ， ， ， ． 51．如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：≌； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）解法一：由平行线推出，由此利用证明；解法二：由平行线推出，根据证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：解法一， ． 在和中， ． 解法二 ． 在和中， ． （2）解：由（1）知， ， ． 52．根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由． 任务2 当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】任务1：见解析；任务2： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 任务1：由垂直的定义得到，由余角的性质推出，即可证明． 任务2：由全等三角形的性质推出，求出，即可求出的长． 【详解】解：任务1：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 任务2：如图：∵， ∴， ∴， ∴． ∴小丽距离地面的高度为． 题型十 确定全等三角形的对数 53．如图，已知，于点D，于点E，与相交于点F，连接，则图中的全等三角形有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 由条件先根据证明，可得，根据证明，可得，根据证明，可得，根据证明，进一步证明可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，． 在和中， ∴， 在与中， ∴， ∴全等的三角形共有5对， 故选：D． 54.如图，，，，图中全等的三角形的对数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据全等三角形得判定定理，依次证明三角形全等，即可求解． 【详解】解：，， ，， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， 同理可得， ， ， 即6对全等三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，能正确根据定理进行推论是解题的关键． 55.如图（1），已知，为的角平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的角平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的角平分线上三点，连接，，，，，；，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设第个图形中有为正整数）个全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“为正整数）”，再代入即可求出结论． 【详解】解：设第个图形中有为正整数）个全等三角形． 图(1)，在和中， ， ， ； 同理，可得：，，，， 为正整数）， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“为正整数）”是解题的关键． 题型十一 添加条件使三角形全等 56．在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定逐项判断可求解． 【详解】解：A、若，且，由“”可证，故选项A不符合题意； B、若，且，由“”可证，故选项B不符合题意； C、若，且，无法证明，故选项C符合题意； D、若，且，由“”可证，故选项D不符合题意； 故选：C． 57．如图，已知点，，，在一条直线上，，，添加一个条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、，，，不能使，故符合题意； B、∵，∴，即，故，，，能使，故不符合题意； C、，，，能使，故不符合题意； D、，，，能使，故不符合题意； 故选：A． 58．如图，已知，下列条件中不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，不能使； 故选：A． 59．如图，已知． (1)若，求证：； (2)若要用“”为依据证明，则需要添加的条件是_______，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键： （1）根据即可证明； （2）添加，即可根据证明； 【详解】（1）证明：在和中， ， ． （2）解：；     理由如下： 在和中， ， ． 故答案为：． 60．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)，理由见解析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 （1）根据已知条件，在和中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可（也可添加）； （2）由得，，进而可得，即可证明． 【详解】（1）解：添加的条件是，依据是； 在和中， ； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ，即， 在和中， ． 61．已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 题型十二 灵活选用判定方法证明全等 62．如图，在同一条直线上，点在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，先根据三角形的外角性质证明∠DEF=∠ACF，再根据得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：如图所示： 根据三角形的外角性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 63．如图，在中，点D在边上，连接，点E在的延长线上，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合题意证明，进而即可得出结论． 【详解】证明：， ， 即， 在与中， ， ， ． 64．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，． (1)和的面积相等吗？请说明理由． (2)与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)和的面积相等，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，理解三角形中线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形的面积公式是解决问题的关键； （1）连接，过点作于点，根据三角形中线的定义得，再根据三角形面积公式得，，然后比较两个三角形的面积即可得出结论； （2）根据，，可依据“”判定和全等得，再根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：和的面积相等，理由如下： 连接，过点作于点，如图所示： 是的中线， ， ，， ， 即和的面积相等； （2）证明：与平行，理由如下： 在和中， ， ， ， ． 65.（1）阅读下题及证明过程 已知：如图，是的边上一点，是上一点，，． 求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以………………第一步 所以………………第二步 上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如果两个锐角三角形的两组边分别相等，且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等吗？请说明理由． 【答案】（1）不正确；错在第一步，详见解析；（2）全等，详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，可知第一步错误，证明时先根据等腰三角形的性质及判定，可逐步推得，再根据“边边边”判定三角形全等即可； （2）先写出已知，求证与证明，“已知，在锐角三角形和锐角三角形中，，，．求证：．”过点A作于点D，过点作于点，先根据“角角边”证明，得到，再根据“”定理证明，得到，最后由“ 角角边”即可证得结果． 【详解】（1）不正确；错在第一步． 证明：在△BEC中，∵， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ； （2）全等．理由如下： 已知：如图，在锐角三角形和锐角三角形中， ，，． 求证：． 证明：过点A作于点D，过点作于点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ． ． 题型一 多次证全等求解或证明结论 66.已知：如图，，，与相交于点，连接． 证明： (1)； (2)平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边对等角，角平分线的性质，即可． （1）根据，，得，推出，则，根据，则，则，即可得； （2）由（1）得，，，推出，则，即可． 【详解】（1）证明如下： ∵，， ∴， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 即平分． 67．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：． (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题中条件证明，推出，再证明，可得； （2）由（1）知，，，可得，由，，推出． 【详解】（1）平分， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ． （2）由（1）知，，， 由得，， ，， 两式相减，可求得 ． 故答案为：4． 68.如图，已知，于点D，于点B，． (1)求证：； (2)连接交于点O，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理是解决本题的关键． （1）根据证明，再根据全等三角形的性质即可得； （2）根据证明，再根据全等三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵，   ∴ 在和中， ， ∴ ∴； （2）解： 理由如下： 如图， 在和中， ， ∴， ∴． 题型二 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 69．如图，在中，为边上一点，连接并延长到点，使，过点作，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】此题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质， 根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可知，结合已知（对顶角相等），可证得（），即可根据全等三角形的性质定理证得． 【详解】证明：， ． 在和中， ， ， ． 70．如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先证，进而证明，可得； （2）由，得．再结合E是的中点，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ， ． （2）解：由，得． E为的中点， ∴． ， ， ． 71．在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)如图1，当在直线的同侧时，试说明：①；②； (2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)不成立； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据，．可得，再由，可得，从而得到，即可求证； ②根据，可得，，即可求证； （2）证明方法同（1）可得，即可求解． 【详解】（1）证明：①∵，．（已知） ∴（垂直的定义）． ∵（已知） ∴， 又∵( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴(同角的余角相等) 在和中， ∵，，， ∴； ②∵， ∴， ，(全等三角形，对应边相等) ∴ ；(等量代换) （2）解：（1）中的结论②不成立．； ∵，．（已知） ∴（垂直的定义）． ∵（已知） ∴， 又∵( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴ (同角的余角相等) 在和中 ∵，，， ∴， ∴， (全等三角形，对应边相等) ∴ (等量代换) 72．（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，证明，则，； （2）证明过程同理（1）． 【详解】（1）证明：直线直线m， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：成立．证明如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． 73．如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当，时，列方程解得t，可得；情况二：当，时，列方程解得t，可得． 【详解】解：∵点M、N运动的速度之比为， ∴可设，则，， ∵， ∴使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或． 74．问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键． （1）根据图②，求出，根据证两三角形全等即可； （2）根据图③，运用三角形外角性质求出，根据证两三角形全等即可； （3）根据图④，由的面积为15，可求出的面积为5 ，根据，得出与的面积之和等于的面积，据此即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图②，∵， ， ， ， 在和中，， ． （2）证明：如图③， ， ， ， ，   在和中， ， ． （3）如图④，∵的面积为， ∴的面积， 由（2）可得， 即：， ， 即与的面积之和等于的面积5 ， 故答案为：5． 75．（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据证明三角形全等即可． （2）根据证明即可证明结论． （3）根据证明，得出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：的面积为20，， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 76.某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3全等三角形的判定 （12大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 利用SSS证明三角形全等 题型二 SSS与全等三角形的性质综合应用 题型三 三角形的稳定性 题型四 利用SAS证明三角形全等 题型五 SAS与全等三角形的性质综合应用 题型六 利用ASA证明三角形全等 题型七 ASA与全等三角形的性质综合应用 题型八 利用AAS证明三角形全等 题型九 AAS与全等三角形的性质综合应用 题型十 确定全等三角形的对数 题型十一 添加条件使三角形全等 题型十二 灵活选用判定方法证明全等 能力提升题 题型一 多次证全等求解或证明结论 题型二 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 题型一 利用SSS证明三角形全等 1．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 2.如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等，下面的个条件：①；②；③；④，可利用的是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 3．如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 4．如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（    ） A．边边边 B．边角边 C．角角边 D．角边角 5．如图，全等吗？为什么？ 6．如图，四点共线，，，．求证：． 题型二 SSS与全等三角形的性质综合应用 7．如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A．28° B．54° C． D．82° 8．如图，点D在线段上．若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容． 如图，已知，求的度数． 解：在和中， ∴（▲）， ∴（全等三角形的★相等）， ∴， ∴． 下列说法正确的是（    ） A．▲代表 B．■代表 C．★代表对应边 D．※代表 10．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 11．是的中点，，．求证： (1)求证∶； (2)证明：． 12．如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)若，，求的度数． 题型三 三角形的稳定性 13．椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 14．如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 15．如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 16．安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 17．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 18．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 19．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 题型四 利用SAS证明三角形全等 20．如图，是全等三角形的是（   ） A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅳ C．Ⅱ和Ⅲ D．Ⅰ和Ⅲ 21．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 22．能判定的条件是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 23.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 24．如图，已知，，，求证： 25．已知：如图，，，点E、F在线段上，且． 请说明的理由． 26．如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 题型五 SAS与全等三角形的性质综合应用 27．如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，得到，再测得的长，就是的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 30．某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（   ） A． B． C． D． 31．如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 32．如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当 时，？请说明理由． 33．如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．已知和均垂直于地面，点、、、在同一水平线上，且与、垂直，，，．若，且，求设计出的闸机一侧边缘（即或）的长度． 题型六 利用ASA证明三角形全等 34．如图所示的四个三角形中全等的是（    ） A．①与② B．②与③ C．②与④ D．③与④ 35．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 36．如图，点在一条直线上，，判定和全等需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 37．如图，，添加下列条件，还不能使成立的是（   ） A． B． C． D． 38．如图，点E在上，点C在上，，．求证：． 39.如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：． 40．如图，在中，，，点在线段上运动（点与点B，C不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，求的度数； (2)当线段的长度是多少时，？请写出证明过程． 题型七 ASA与全等三角形的性质综合应用 41.如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行到达树C，继续前行到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时的长度即为河岸的宽度．小开这样判断的依据是（    ）    A． B． C． D． 42.如图，，，，，则等于 ． 43.如图，在和中，点在边上，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型八 利用AAS证明三角形全等 44.如图，下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（   ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙 D．丙 45.如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 ． 46．如图，，，，图中全等的三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 47．如图，经过点于点于点E．求证：． 48．如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 题型九 AAS与全等三角形的性质综合应用 49．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C．SSA D． 50．已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 51．如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：≌； (2)若，求的长． 52．根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由． 任务2 当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 题型十 确定全等三角形的对数 53．如图，已知，于点D，于点E，与相交于点F，连接，则图中的全等三角形有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 54.如图，，，，图中全等的三角形的对数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 55.如图（1），已知，为的角平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的角平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的角平分线上三点，连接，，，，，；，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 题型十一 添加条件使三角形全等 56．在和中，若，再添加一个条件使，添加不正确的是（　　） A． B． C． D． 57．如图，已知点，，，在一条直线上，，，添加一个条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 58．如图，已知，下列条件中不能使的是（   ） A． B． C． D． 59．如图，已知． (1)若，求证：； (2)若要用“”为依据证明，则需要添加的条件是_______，并说明理由． 60．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 61．已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 题型十二 灵活选用判定方法证明全等 62．如图，在同一条直线上，点在上，．求证：． 63．如图，在中，点D在边上，连接，点E在的延长线上，连接，且．求证：． 64．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，． (1)和的面积相等吗？请说明理由． (2)与平行吗？请说明理由． 65.（1）阅读下题及证明过程 已知：如图，是的边上一点，是上一点，，． 求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以………………第一步 所以………………第二步 上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如果两个锐角三角形的两组边分别相等，且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等吗？请说明理由． ． 题型一 多次证全等求解或证明结论 66.已知：如图，，，与相交于点，连接． 证明： (1)； (2)平分． 67．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：． (2)若，，则的长为______． 68.如图，已知，于点D，于点B，． (1)求证：； (2)连接交于点O，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 题型二 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 69．如图，在中，为边上一点，连接并延长到点，使，过点作，交于点，交于点，求证：． 70．如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 71．在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)如图1，当在直线的同侧时，试说明：①；②； (2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由． 72．（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 73．如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 74．问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 75．（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和． 76.某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$