《第4章相似三角形》同步自主达标测试题2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

2025-2026学年浙教版（2012）九年级数学上册《第4章相似三角形》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分30分） 1．下列两个图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．有一条边长是6厘米的两个等腰三角形 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．两个相似多边形的一组对应边分别为和，如果小多边形周长为，那么较大的多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，，则等于（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 5．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，、都是的垂线，，，．是上一点，连接、，所得两个三角形相似，则的长是（   ） A．2 B． C．2或12 D．上述各个值都有可能 7．如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．古代的数学著作《周髀算经》中阐述了“矩”的功能，其中“偃矩以望高”指把“矩”仰立放则可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知A，B，C三点在半径为2的上，与相交于点D，若，则 ＝（    ） A．1 B． C． D． 9．如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，与为直角三角形，，与相交于点，平分交于点，交于点．若，，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（满分24分） 11．若，且，则 ． 12．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 13．如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 14．如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． （1） ； （2）的长为 ． 15．如图，在中，是高，矩形的一边在边上，另两个顶点、分别在边、上，与相交于点．若，，，则 ．    16．如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为 ． 17．如图，是的外接圆的直径，，垂足为．若，则直径长为 ． 18．2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 三、解答题（满分66分） 19．如图，已知．求DF的长． 20．如图．，，． (1)请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是______． (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 21．如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 22．数学活动小组的同学们利用阳光下的影子测量某建筑物顶部避雷塔的高度．如图，他们在同一时刻，分别测得该建筑物的影长为，的影长为，小强同学的影长为，其中点O，C，D，F，G在同一直线上，点，B，O在同一直线上，且，．已知小强同学的身高为，点A，B，O，C，D，E，F，G在同一平面内，求避雷塔的高． 23．如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 24．数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 25．如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了相似多边形，如果两个多边形对应角相等，对应边成比例，这两个多边形是相似多边形，在判定两个多边形是否相似时，一定要对应角相等、对应边成比例同时成立，缺一不可． 【详解】解：A选项：两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例， 两个矩形不一定相似，故A选项不符合题意； B选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例， 两个等腰直角三角形一定相似，故B选项符合题意； C选项：两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等， 两个菱形不一定相似，故C选项不符合题意； D选项：有一条边长是6厘米的两个等腰三角形，这两个三角形的对应角不一定相等， 这两个三角形不一定相似，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案． 【详解】解：∵， 故设，， ∴． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形的对应边之比是相似多边形的相似比，相似多边形的周长比等于相似比，根据相似多边形的一组对应边分别为和，可知这两个相似多边形的相似比为，所以这两个相似多边形的周长比也是，根据小多边形周长为，即可求出大多边形的周长． 【详解】解：相似多边形的一组对应边分别为和， 这两个相似多边形的相似比为， 设较大的多边形的周长为， 则有， 解得：． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 先根据平行线分线段成比例定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 5．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．在中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【详解】解：在中，，，， 在A、C、D选项中的三角形都没有，而在B选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和， 因为， 所以B选项中的三角形与相似． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质．分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解： ， 设，则． 如图，当时， ， ， 解得； 如图，当时， ， ， 解得或． 综上所述，的长为或2或12． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由已知证明，得到，代入已知数据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 8．C 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，根据题目条件判断出，进而得出，然后利用相似三角形的性质建立比例关系，求出，代入给定的代数式计算结果． 【详解】解：设,则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、点坐标与图形、熟练掌握位似图形的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，，再根据位似图形的性质可得点在同一条直线上，且，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵点的坐标是，点的对应点的横坐标为2， ∴，， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍， ∴点在同一条直线上，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点位于第二象限， ∴点的横坐标为， 故选：D． 10．B 【分析】利用角平分线的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质对每个选项的结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．故①正确； 过点作于点，如图， ∵平分交于点，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． 设，则， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴，故②的结论不正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．故③的结论正确； ∵，， ∴．故④的结论不正确． ∴正确的结论有①③． 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即 即， 故答案为：． 12．16 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．根据相似多边形的性质得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为， ∴，即， 解得：． 故答案为：16． 13． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是：利用“两角分别相等的两个三角形相似”，证明三角形相似．通过倒角证明，，进而证明，再根据相似三角形的对应边成比例，列出比例式，进而求出的长． 【详解】解：在中，，， ，， ， ，即 ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． （1）根据平行线分线段成比例定理求出，然后根据比的性质求解即可； （2）根据（1）中结论并结合已知求出，然后平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：（1）因为 所以， 又因为， 所以 所以； 故答案为：； （2）因为 所以 因为， 所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：． 15．/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 通过设的长度为未知数，利用矩形性质得到与平行，从而证明与相似，再根据相似三角形的性质列出比例式求解． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵是高，， ∴是的高，，则． ∵， ∴，即． 解． 故答案为：．    16．6 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题的关键．过点A作轴于点E，则，，故可得出，再由得出，根据相似三角形的性质可得出的面积，由即可得出结论． 【详解】解：过点A作轴于点E， ∵轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点A，B， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 17． 【分析】首先得到，，证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的外接圆的直径，， ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18．/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割的定义，已知点为线段上靠近点的黄金分割点，即为长段，利用黄金分割比例关系求出的长度． 【详解】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 19．4 【分析】根据对顶角相等和可以得出，然后根据相似三角形对应边的相似比可以求出的长. 【详解】解： . 又， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题关键. 20．(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，，再若添加的条件是，证出，根据相似三角形的性质可得，然后证出四边形是平行四边形，则可得，与相矛盾，只能是，由此即可得添加的条件； （2）根据相似三角形的性质可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 若添加的条件是， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，与相矛盾，舍去； ∴只能是， ∴添加的条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由（1）可知，只能是， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 22． 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可证明，利用相似三角形的性质列出比例式求出的长，进而求出的长就可得到答案． 【详解】解：∵同一时刻下，太阳光是平行的， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：避雷塔的高为． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据得到，再根据圆周角定理得出，进而得到，即可求证； （2）由题意可得，，证明，得到，进而得到，再证明，推出，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合问题、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，找到边长之间的关系以及角之间的关系是解题的关键． 24．（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）将线段沿平移至，交于点K，证明，即可解答； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至，证明，可得，从而得到．在上截取，连接，可证明，，，再结合，可得到，即可求解； （3）将线段沿平移至，可证得，可得到，从而得到，将线段沿平移至MN，连接，，则，根据勾股定理可得，从而得到的最小值为．再结合四边形为平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）将线段沿平移至，交于点K． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至． ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）将线段沿平移至． ∵， ∴． ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 将线段沿平移至MN，连接，，则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴的最小值为． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等知识；熟练掌握平移的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 25．(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接，由等腰三角形的性质可得点为的中点，即，由轴对称的性质可得，点是的中点，从而可得，，即当点、、在同一直线上时，的值最小为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求解即可； （3）由（2）可得，，，从而可得，再分两种情况：①当点为直角顶点时，或；②当点为直角顶点时，则或，过点作轴于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于和两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 在中，当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将和代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接， ， ∵，， ∴点为的中点， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴，点是的中点， ∴，， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴； （3）解：存在， 由（2）可得，，， ∴， ∵点N在第一象限内的抛物线上，在x轴上是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似 ∴①当点为直角顶点时，或，如图所示： ， 设，， ∴，， ∴或， 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴此时或； ②当点为直角顶点时，则或，如图，过点作轴于， ， 则， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由①可得：或， 当时，， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $