专题02 因式分解压轴大题（专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题02 因式分解压轴大题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平方差公式的应用 1 题型二、完全平方公式的应用 4 题型三、连续提公因式法 8 题型四、配方法综合应用 9 题型五、分组分解法综合应用 15 题型六、十字交叉相乘法 19 题型七、整体分解法 22 题型八、添项拆项法 25 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平方差公式的应用 1．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：、，；则12、20、28这三个数都是完美数． (1)按照上述规律，请你写出一个与上面不同的完美数，并表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）________； (2)证明：任意一个完美数都能够被4整除； (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……，按此规律拼叠到正方形，其边长为40，求阴影部分的总面积． 2．如图，四边形与四边形都是正方形，设，． (1)写出的长度（用含字母a、b的代数式表示）； (2)观察图形，试用不同的方法表示图形中阴影部分的面积，你能获得相应的一个因式分解公式吗？请将这个公式写出来； (3)如果正方形的边长比正方形的边长多，它们的面积相差．试利用（2）中的公式，求a、b的值． 3．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是（请选择正确的一个）． A．    B．    C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，求的值． ②计算：． 4．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________． (2)请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知，，则________． ②计算：． ③计算： 5．发现：比任意一个奇数大的数与此奇数的平方差能被整除． 验证： （1）____________． （2）设奇数为，试说明：比大的数与的平方差能被整除． 延伸： （3）请利用整数说明“比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为”． 6．观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的__________倍； (2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1)直接判断：36_______神秘数；（填“是”或“不是”） (2)设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由； (3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数； ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 8．【新考向】在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为或，取个人年龄作为的值，当时，，，此时可以得到数字密码1214或1412． (1)根据上述方法，若选取的多项式为，当时，锁屏密码为_____； (2)若李老师选取的多项式为，已知李老师手机的锁屏密码是6位数字，且密码的前两位数字依次为4、5，求李老师的年龄． 9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”，如：．因此，，都是“友好数”． (1)和这两个数是友好数吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和，（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的友好数是的倍数吗？为什么？ 10．发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证：如，（________________）________， 所以是8的倍数； 探究：设两个连续奇数为，（其中n为正整数），请说明“发现”中的结论正确； 延伸：两个连续偶数的平方差是________的倍数（填最大整数值）． 题型二、平方差公式的应用 11．下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将x用所设中的a的代数式代换，这个结果是否分解到最后？若没分解到最后，请你写出剩余步骤； (3)请你模仿上述方法尝试对多项式进行因式分解． 12．因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础．下图是小华对“整式乘法与因式分解”这部分知识的梳理： (1)图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． (2)下列习题为新知识学习能力测试题，提供一个例题讲解和三个闯关问题，请同学们认真解答每一个闯关问题： 新知学习 【例题讲解】当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 问题1 ①若是完全平方式，则m的值为 ； ②若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； 问题2 ③已知：，则b的值为 ； 问题3 ④如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（） Ⅰ．若利用甲，乙，丙矩形纸片拼出来的正方形面积为，则正方形边长为 ；（有含a、b的代数式表示） Ⅱ．小新要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 13．【探究题】 （1）【问题情景】将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：___________；___________；___________； （2）【探究发现】观察以上三个多项式的系数，我们发现：； 【归纳猜想】若多项式是完全平方式，猜想：系数之间存在的关系式是什么？ （3）【验证结论】请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论； （4）【解决问题】若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出的值． 14．阅读以下材料： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式，原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 15．阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ，， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值； (3)已知，求的值． 16．材料阅读：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（，是整数），所以是“完美数”．根据上面的材料，解决下列问题： (1)请直接写出一个小于5的“完美数”，这个“完美数”是___________； (2)试判断（是整数）是否为“完美数”，并说明理由； (3)已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 17．阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下： 对于多项式，分解因式的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，当，时，求生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ (3)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 18．阅读并完成下列问题： (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___________；___________；___________． (2)观察以上三个多项式的系数： ；    ；     于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：___________． (3)解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 19．阅读并完成下列问题： (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上； ___________；___________；___________ (2)观察以上三个多项式的系数： ；    ； 于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数一定存在某种关系，请你用数学式子表示之间的数量关系：_____________________． (3)解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 20．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 题型三、连续提公因式法 21．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 题型四、配方法综合应用 22．先阅读下面的材料，再按要求解答下列问题： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有着广泛的应用．例如对于多项式 ①利用配方法因式分解 ②利用配方法求最值 ∵，∴，∴有最小值，最小值是． 【问题解决】 （1）用配方法因式分解：______ （2）求当x取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为x米，请用配方法求围成的生物园的最大面积． 23．阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题． (1)用配方法因式分解：； (2)求的最小值； (3)已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 24．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 25．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 原式 例如：求代数式的最小值． 原式，当时，有最小值，最小值是 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______求代数式的最小值为______； (2)若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______； (3)当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长． 26．利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 27．我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是－8．根据阅读材料用配方法解决下列问题； (1)分解因式：______． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，并且满足等式，请求出的周长，并判断的形状． 28．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式： ； (2)若可配方成（，为常数），则 ； (3)求代数式的最小值，并求出，的值； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值． 29．在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中；；是完全平方式的有______．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于______为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 30．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解因式，并解决一些最值等相关问题．例如： （1）分解因式：． ； （2）求代数式的最小值． ∵ ∴当时， 代数式有最小值-4． 结合以上材料解决下列问题： (1)若二次三项式恰好是完全平方式，m的值是______； (2)将分解因式，并求当x为何值时，该代数式有最小值？最小值是多少？ (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求c的取值范围． 31．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：． 解：原式 再如，求代数式的最小值． 解：原式 可知，当时，有最小值，最小值是． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． (1)请用配方法把因式分解． (2)多项式有最大值吗？若有，请计算为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 32．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 33．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1990， 代数式：的最小值是1990． 例如：分解因式： 解：原式 ． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)分解因式； (3)若，求的最大值； (4)当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 题型五、分组分解法综合应用 34．阅读材料：我们引入“多项式分裂重组法”进行因式分解．具体步骤如下： 例如：分解因式 【基础应用】 利用“多项式分裂重组法”分解因式． 【方法深化】 分解因式 【拓展创新】 已知多项式，通过“多项式分裂重组法”可分解为，求的值． 35．在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 36．将因式分解． 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法回答下列问题： (1)请用分组分解法将因式分解； (2)如图1，小长方形的长为，宽为，用5个图1中的小长方形按照图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值． 37．【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 38．通过学习，我们因式分解的目的是把一个多项式变成几个整式的积的形式，常用的方法有提公因式法和公式法，其实某些特殊的多项式还会有下面的方法．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 39．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)若的三边，，满足，则是什么三角形？ 40．【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解． 方法如下：； ．请在这种方法的启发下，解决下列问题： 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 【方法延伸】 （3）因式分解：． 41．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】 （1）请用以上方法将分解因式； 【挑战】 （2）请用以上方法将分解因式； 【应用】 （3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由 42．阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 题型六、十字交叉相乘法 43．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． 44．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 45．下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年5月5日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解：_________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 46．小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示： (1)因式分解：； (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 47．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．   解：设 ，则 原式 ， ， ， (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 48．多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式． 示例：分解因式． 尝试分解因式： (1)________； (2)________； (3)________． 题型七、整体分解法 49．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 50．阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式． 原式 ． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 51．材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 52．先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 53．阅读以下材料： 材料1：如图所示，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是__________； (2)计算：；（结果用科学记数法表示） (3)根据材料2进行因式分解： ①； ②． 54．先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 题型八、添项拆项法 55．综合与实践 (1)阅读理解： 拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行因式分解的方法．这种方法常用于不能直接使用提取公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式． 例如，分解因式，可将拆分成，，两项，原多项式变为．然后恰当分组，对每组分别提取公因式后原式变形为___________，再提取公因式，最终分解为___________． (2)问题解决： 上面的拆项分组法分解因式你学会了吗？请你把因式分解． (3)问题拓展 若多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数）． 因为，与对应． 所以，，，在拆项分组过程中，要将拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解． 试一试，把因式分解． 一、单选题 1．下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．观察①和②从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①和②都是因式分解 B．①和②都是整式乘法 C．①是整式乘法，②是因式分解 D．①是因式分解，②是整式乘法 3．若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 4．下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 5．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 6．若关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是（   ） A． B． C．6 D． 二、填空题 7．因式分解： ． 8．如果，那么的值是 ． 9．代数式的最小值是 ． 10．多项式中各项的公因式是 ． 三、解答题 11．分解因式： (1)； (2)； (3)利用因式分解计算：． 12．七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 13．阅读下列因式分解过程，再回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是 ，共应用了 次； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ． (3)观察规律直接写出结果：（n为正整数）． 14．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 15．如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）． (1)2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？ (2)数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”． 设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ 16．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解：． (2)用配方法求的最小值． (3)用配方法求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 因式分解压轴大题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平方差公式的应用 1 题型二、完全平方公式的应用 12 题型三、连续提公因式法 24 题型四、配方法综合应用 27 题型五、分组分解法综合应用 46 题型六、十字交叉相乘法 57 题型七、整体分解法 63 题型八、添项拆项法 71 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平方差公式的应用 1．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：、，；则12、20、28这三个数都是完美数． (1)按照上述规律，请你写出一个与上面不同的完美数，并表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）________； (2)证明：任意一个完美数都能够被4整除； (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……，按此规律拼叠到正方形，其边长为40，求阴影部分的总面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用等知识，正确理解题意是解题的关键： （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）设两个连续的偶数为、，n为正整数，根据完美数写出该数，然后根据平方差计算计算得出，最后根据整除的定义即可得证； （3）结合图形可得出阴影部分的面积为，然后根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：设两个连续的偶数为、，n为自然数，则完美数为， ∴ ， ∵n为自然数， ∴为正整数， ∴能被4整除， 即任意一个完美数都能够被4整除； （3）解：根据题意，得 ． 2．如图，四边形与四边形都是正方形，设，． (1)写出的长度（用含字母a、b的代数式表示）； (2)观察图形，试用不同的方法表示图形中阴影部分的面积，你能获得相应的一个因式分解公式吗？请将这个公式写出来； (3)如果正方形的边长比正方形的边长多，它们的面积相差．试利用（2）中的公式，求a、b的值． 【答案】(1) (2)能； (3)a的长为，b的长为 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，还考查提取公因式法因式分解，解二元一次方程组，熟练掌握平方差公式的应用是解题的关键． （1）用即可表示； （2）利用割补法即可得解； （3）利用（2）中的结果得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形都是正方形，设，， ∴，， ∴； （2）解：能，理由如下： 延长交于点，则阴影部分被分割为两个长方形和， 其中长方形的长和宽分别为和，长方形的长和宽分别为和， ∴； 又∵； ∴； （3）解：由题意得：，， ∴， ∴， 解得：， 故a的长为，b的长为． 3．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是（请选择正确的一个）． A．    B．    C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)B (2)①4；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟知公式：，灵活运用是解题的关键． （1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论； （2）①利用平方差公式解答即可； ②利用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是底为，高为的平行四边形，因此面积为， 有， 故答案为：B； （2）①∵，即，而， ∴， 故答案为：4； ② ． 4．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________． (2)请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知，，则________． ②计算：． ③计算： 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式、灵活变形是解题的关键． （1）根据两个图形的面积相等即可得到答案； （2）①根据平方差公式解答即可； ②先把所求式子中的数据两两结合运用平方差公式，再计算加法即可； ③先将每一项利用平方差公式分解因式，再计算乘法即得答案． 【详解】（1）图①阴影部分的面积是，图②阴影部分的面积是， 因为两个阴影部分的面积相等， 所以上述操作能验证的等式是； 故答案为：； （2）①∵，， ∴； 故答案为： ② ； ③ ． 5．发现：比任意一个奇数大的数与此奇数的平方差能被整除． 验证： （1）____________． （2）设奇数为，试说明：比大的数与的平方差能被整除． 延伸： （3）请利用整数说明“比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为”． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式因式分解的应用，数字变化的规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）利用平方差公式因式分解即可； （2）设任意的整数为，则比大的数为，利用平方差公式因式分解即可； （3）利用平方差公式和提取公因式法因式分解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：；； （2） ， ∵为整数， ∴是的倍数， 即比大的数与的平方差能被整除； （3）设任意的整数为，则比大的数为， ∵ ， 又∵为整数， ∴被除余， 即比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为． 6．观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的__________倍； (2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了规律探究，找出规律是解题的关键． （1）由已知式子得，即可求解； （2）由题意得，即可得证． 【详解】（1）解：由题意得 ， 故答案为：； （2）证明： ， 能被5整除， 能被5整除， 故：比大5的数与的平方差能被5整除． 7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1)直接判断：36_______神秘数；（填“是”或“不是”） (2)设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由； (3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数； ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 【答案】(1)是 (2)是；理由见解析 (3)①见解析  ②不是；理由见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，因式分解的应用． （1）由可得答案； （2）利用平方差公式把因式分解得到，据此可得结论； （3）①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），根据长方形周长计算公式求出周长，再根据（2）即可证明结论； ②根据长方形面积计算公式求出面积，再根据（2）所求即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴36是神秘数， 故答案为：是； （2）解：是，理由如下： ， 因为k是非负整数， 所以是正整数， 所以由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数； （3）解：①设长方形相邻两边的长分别为(m为正整数)， 所以长方形的周长为， 由（2）知，神秘数一定可以用（k为非负整数)表示， 所以是神秘数； ②不是，理由如下： 设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数)， 所以长方形的面积为， 因为k是非负整数， 所以是奇数， 因为和是连续的正整数， 是偶数， ∴， 所以长方形的面积不是神秘数． 8．【新考向】在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为或，取个人年龄作为的值，当时，，，此时可以得到数字密码1214或1412． (1)根据上述方法，若选取的多项式为，当时，锁屏密码为_____； (2)若李老师选取的多项式为，已知李老师手机的锁屏密码是6位数字，且密码的前两位数字依次为4、5，求李老师的年龄． 【答案】(1)； (2)李老师的年龄是44或45或46岁． 【分析】本题考查了因式分解的应用以及新定义内容，读懂题意是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，先把，再结合个人具体年龄作进一步分析，即可作答． （2）先把，结合，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 当时，则， ∴锁屏密码为； 故答案为：； （2）解：李老师的年龄是44或45或46岁，理由如下： ， ∵老师手机的锁屏密码是6位数字，且密码的前两位数字依次为4、5， ∴或或， ∴或 或， ∴李老师的年龄是44或45或46岁． 9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”，如：．因此，，都是“友好数”． (1)和这两个数是友好数吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和，（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的友好数是的倍数吗？为什么？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题是一道新定义类型的题目，主要考查了整式的运算，熟练运算法则是解题的关键． （1）根据友好数的定义，只需看能否把和写成两个连续偶数的平方差即可； （2）计算，整理即可得到结果． 【详解】（1）解： ， ，都是友好数． （2） 为非负整数， 是非负整数， 一定能被4整除， 由和构成的友好数是4的倍数． 10．发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证：如，（________________）________， 所以是8的倍数； 探究：设两个连续奇数为，（其中n为正整数），请说明“发现”中的结论正确； 延伸：两个连续偶数的平方差是________的倍数（填最大整数值）． 【答案】11；9；5；4 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用平方差公式． 验证：通过计算可知，即可得出答案； 探究：应用因式分解的方法计算得到，据此可得出结论； 延伸：首先设两个连续的偶数分别为：，再计算得到，据此可得出答案． 【详解】验证：， 所以是8的倍数； 探究：两个连续奇数，的平方差是8的倍数．证明如下： ∵， ∴两个连续奇数，的平方差是8的倍数． 延伸：两个连续偶数的平方差是4的倍数． 理由如下：设两个连续的偶数分别为：， ∵， ∴两个连续偶数的平方差是4的倍数． 故答案为：11；9；5；4． 题型二、平方差公式的应用 11．下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将x用所设中的a的代数式代换，这个结果是否分解到最后？若没分解到最后，请你写出剩余步骤； (3)请你模仿上述方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)D (2)没分解到最后； (3) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）根据完全平方公式解答即可； （2）利用十字相乘法解答即可； （3）设，利用完全平方公式因式分解即可解答． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式； 故答案为：D； （2）解：没分解到最后； 原式 （3）解：设， 原式 ． 12．因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础．下图是小华对“整式乘法与因式分解”这部分知识的梳理： (1)图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． (2)下列习题为新知识学习能力测试题，提供一个例题讲解和三个闯关问题，请同学们认真解答每一个闯关问题： 新知学习 【例题讲解】当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 问题1 ①若是完全平方式，则m的值为 ； ②若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； 问题2 ③已知：，则b的值为 ； 问题3 ④如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（） Ⅰ．若利用甲，乙，丙矩形纸片拼出来的正方形面积为，则正方形边长为 ；（有含a、b的代数式表示） Ⅱ．小新要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 【答案】(1)公式法 (2)①8或；②9；③；④，6 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． （1）根据所学知识和图中信息提示可得空白处为公式法； （2）①根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得求解即可； ②根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得； ③先将展开，再根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得，求解即可； ④Ⅰ、直接利用完全平方公式将因式分解为即可求解； Ⅱ、设还需要x张丙纸片，由题意得，求解即可． 【详解】（1）解：根据所学知识和图中信息提示可得空白处为：公式法， 故答案为：公式法； （2）①∵是完全平方式， ， 根据多项式对应项的系数相等得：， 或， 故答案为：或； ②是完全平方式， ， 根据多项式对应项的系数相等得：， 故答案为：9； ③， 则根据多项式对应项的系数相等得：，， 解得：，， 故答案为：； ④Ⅰ、， 正方形的边长为， 故答案为：； Ⅱ、设还需要x张丙纸片， 由题意得：， ， 又x不能为负数， ， 故答案为：6． 13．【探究题】 （1）【问题情景】将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：___________；___________；___________； （2）【探究发现】观察以上三个多项式的系数，我们发现：； 【归纳猜想】若多项式是完全平方式，猜想：系数之间存在的关系式是什么？ （3）【验证结论】请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论； （4）【解决问题】若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式的综合应用、因式分解的应用、数字规律等知识点点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）利用完全平方公式进行分解因式即可； （2）根据问题情境式子中的系数关系，可猜想； （3）可用完全平方公式进行验证； （4）多项式是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为，可得出，进而求出n的值即可． 【详解】解：（1）；；． 故答案为：． （2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：． 故答案为：． （3）验证结论：可用， 验证：∵， ∴． （4）∵多项式是一个完全平方式， ∴， ∴，即，解得：． 14．阅读以下材料： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式，原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解：设， ∴． 15．阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ，， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)的最大边的值为，，，或 (3) 【分析】（1）根据，应用完全平方公式得，根据平方的非负性质求出、的值再代入计算即可； （2）首先根据得，求出、的值；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的范围，然后再确定的值即可； （3）把代入，得，可得、的值，继而得到的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴ 即的值为； （2）∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵的三边长都是正整数，且为最大边， ∴，， ∴， ∴的最大边的值为，，，或； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，完全平方公式的应用，三角形三边关系，一元一次不等式组的应用，正确理解阅读材料并能运用其方法及公式是解题的关键． 16．材料阅读：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（，是整数），所以是“完美数”．根据上面的材料，解决下列问题： (1)请直接写出一个小于5的“完美数”，这个“完美数”是___________； (2)试判断（是整数）是否为“完美数”，并说明理由； (3)已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 【答案】(1)2（答案不唯一） (2)是完美数，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘以多项式，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据新定义，判断，并写出一个小于的“完美数”即可求解； （2）根据新定义根据多项式乘以多项式进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可求解； （3）先运用完全平方公式将进行化简，再根据“完美数”的定义计算即可． 【详解】（1）解：， 是“完美数”， 故答案为：2（答案不唯一）． （2）解： ， 是“完美数”． （3）解： ， 为“完美数”， ， ． 17．阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下： 对于多项式，分解因式的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，当，时，求生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ (3)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 【答案】(1)100142 (2)292317 (3)137129 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）先求出当，时，，和的值，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先根据单项式乘多项式法则和合并同类项法则进行化简，再把化简结果分解因式，并求出当，时各个式子的值，从而求出密码即可； （3）先将多项式分解因式，再代入，，即可解答． 【详解】（1）解： 当，时， ， ，， 生成的密码是：100142； （2）解： ， ， ， ， 当，时， ，， ∴生成的密码是292317． （3）解：， ； 当时， ， ∴生成的密码是137129． 18．阅读并完成下列问题： (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___________；___________；___________． (2)观察以上三个多项式的系数： ；    ；     于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：___________． (3)解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式、平方根，熟记完全平方公式，正确得出系数间的关系是解答的关键． （1）根据完全平方公式进行因式分解解答即可； （2）观察前几个多项式系数间的关系解答即可； （3）根据（2）中得出的系数关系得出关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，，； （2）解： ；；，… ∴前几个多项式系数间的关系可得：， 故答案为： ； （3）多项式 是一个完全平方式， ， ， ， ， ． 19．阅读并完成下列问题： (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上； ___________；___________；___________ (2)观察以上三个多项式的系数： ；    ； 于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数一定存在某种关系，请你用数学式子表示之间的数量关系：_____________________． (3)解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式、平方根，熟记完全平方公式，正确得出系数间的关系是解答的关键． （1）根据完全平方公式进行因式分解解答即可； （2）观察前几个多项式系数间的关系解答即可； （3）根据（2）中得出的系数关系得出关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：；；； （2）解： ；    ；， ∴前几个多项式系数间的关系可得：， 故答案为： ； （3）解： 多项式 是一个完全平方式， ，即， 解得： ． 题型三、连续提公因式法 20．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 21．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【答案】(1)提取公因式法，2 (2)2025， (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； （2）解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； （3）解： ； （4）解： ． 题型四、配方法综合应用 22．先阅读下面的材料，再按要求解答下列问题： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有着广泛的应用．例如对于多项式 ①利用配方法因式分解 ②利用配方法求最值 ∵，∴，∴有最小值，最小值是． 【问题解决】 （1）用配方法因式分解：______ （2）求当x取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为x米，请用配方法求围成的生物园的最大面积． 【答案】（1）；（2）当时，代数式有最小值，最小值为；（3）围成的植物园的最大面积是． 【分析】本题主要考查配方法的实际应用能力，根据题意列出关系式是基础，配方是关键． （1）由配方法得，再利用平方差公式，分解即可得解； （2）依据题意，由，再由平方数是非负数进而可以判断得解； （3）依据题意，设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，然后再表示出四边形的面积，结合配方法求最值，进而可得围成的植 物园的最大面积． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2）∵， 与题干②同理可得，代数式有最小值，最小值为； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得： ， ∵， ∴， 有最大值，最大值是50． 围成的植物园的最大面积是． 23．阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题． (1)用配方法因式分解：； (2)求的最小值； (3)已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 【答案】(1) (2)8 (3)最小值是； 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照题中示例解决问题． （1）按照示例①解答即可； （2）按照示例②解答为，因为是非负数，所以 ，据此解答； （3）根据，得出，代入得：，因为是非负数，所以，据此解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为是非负数， 所以， 所以的最小值是 8 ． （3）解：∵， ∴， 代入得： 因为是非负数， 所以， 所以当时，取得最小值，最小值是 ． 此时． 24．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为16 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法因式分解即可； （2）先根据，得出，从而得出，，最后再代入求值即可； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ，， ． （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 25．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 原式 例如：求代数式的最小值． 原式，当时，有最小值，最小值是 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______求代数式的最小值为______； (2)若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______； (3)当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长． 【答案】(1)； (2)1；大； (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用因式分解进行解答． （1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）将y进行因式分解，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行因式分解，得到三个完全平方公式的和为0，根据完全平方公式的非负性，求出三条边，然后求出周长． 【详解】（1）解： ； ， ， 当时，有最小值，最小值是， 故答案为：；； （2） ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是， 故答案为：1；大；． （3）， 即， 即， 所以，，， 所以，，， ∴， 答：的周长是． 26．利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】(1)； (2)，； (3)13． 【分析】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （2）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （3）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，求出a、b，再根据两边之和大于第三边的条件判断出c的最大值，可解得答案； 【详解】（1） = = = （2） = = 当 ， 时，多项式有最小值为3 （3）， 变形为 ， 整理得， 根据两边之和大于第三边的判定， 又因为c是正整数，所以 所以周长的最大值= 27．我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是－8．根据阅读材料用配方法解决下列问题； (1)分解因式：______． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，并且满足等式，请求出的周长，并判断的形状． 【答案】(1) (2)当时，最小值是5 (3)周长为5，它是等腰三角形， 【分析】（1）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方差公式分解因式即可得到答案； （2）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性即可求出最小值； （3）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性及非负数和为零的条件求出，根据三角形的三边关系求出c的值，即可判定的形状． 【详解】（1）解：由材料中的解法可知， ， 故答案为： （2）解：由材料中的解法可知， ， ， 当时，有最小值，最小值是5； （3）解：∵， ∴ 即， ， ， ∵根据三角形三边关系有， ∴， ∵c为正整数， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及完全平方公式，平方差公式，平方非负性的应用，，三角形的三边关系等知识，读懂题意，理解配方法是解决问题的关键． 28．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式： ； (2)若可配方成（，为常数），则 ； (3)求代数式的最小值，并求出，的值； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值． 【答案】(1) (2) (3)最小值是，， (4) 【分析】本题考查了因式分解的应用、新定义“完美数”概念的理解以及配方法；解题的关键是理解定义正确配方． （1）依据“完美数”的定义，变形即可得； （2）通过将配方得到m，n的值代入计算即可； （3）根据配方得到，即可求解； （4）将配方为，结合“完美数”的定义，令的值可以为0可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解： ； ∵，， 当，时，代数式的最小值为 （4）解：， ， ， ∵x，y是整数， ∴也是整数， ∵S为“完美数”， ∴的值可以为0， ∴． 29．在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中；；是完全平方式的有______．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于______为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)； (2)； (3)有最小值，值为． 【分析】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，解决本题的关键是利用完全平方式的特点把代数式变形． （1）如果代数式可以写成，这个代数式是完全平方式，否则不是完全平方式； （2）因为是一个完全平方式，所以可以写成的形式，又因为，所以； （3）把代数式整理，可得：原式，根据平方的非负性质可知有最小值，最小值是. 【详解】（1）解：不符合完全平方式的形式， 不是完全平方式； 符合完全平方式的形式， 是完全平方式； 不符合完全平方式的形式， 不是完全平方式； 符合完全平方式的形式， 是完全平方式； 是完全平方式， 故答案为：； （2）解：是一个完全平方式， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， ， 有最小值，最小值是. 30．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解因式，并解决一些最值等相关问题．例如： （1）分解因式：． ； （2）求代数式的最小值． ∵ ∴当时， 代数式有最小值-4． 结合以上材料解决下列问题： (1)若二次三项式恰好是完全平方式，m的值是______； (2)将分解因式，并求当x为何值时，该代数式有最小值？最小值是多少？ (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求c的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，代数式有最小值． (3) 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，三角形的三边关系等知识，熟练掌握完全平方公式分解因式是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）利用完全平方公式得到，根据即可求出答案； （3）原式变形为，根据非负数的性质得到，再根据三角形的三边关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵二次三项式恰好是完全平方式， ∴， ∴m的值是 故答案为： （2） ∵ ∴当时， 代数式有最小值． （3） ∴ 则， ∵ ∴ ∴ ∵a，b，c是的三边长， ∴ 即 31．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：． 解：原式 再如，求代数式的最小值． 解：原式 可知，当时，有最小值，最小值是． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． (1)请用配方法把因式分解． (2)多项式有最大值吗？若有，请计算为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，有最大值，最大值为 【分析】本题考查了配方法因式分解，求多项式的最值，非负数的性质，理解题意、掌握配方法是解题的关键． （1）用配方法化为，再用平方差公式，即可求解； （2）用配方法化为，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案：； （2）解：原式 ， ∴当时，有最大值，最大值为． 32．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 【答案】(1) (2)1314 【分析】本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最大值1314． 33．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1990， 代数式：的最小值是1990． 例如：分解因式： 解：原式 ． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)分解因式； (3)若，求的最大值； (4)当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4)当，时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质和配方法的运用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据完全平方公式即可求解； （2）根据例题方法，根据完全平方公式与平方差公式，因式分解，即可求解． （3）模仿题目中的方法，用配方法求最大值即可； （4）模仿题目中的方法，用配方法求最小值即可； 【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式 ∴， ∴ 故答案为：． （2） （3） ∵， ∴， ∴， 当时，y的最大值为； （4） ， 当，时，原式取最小值． ∴当，时，多项式有最小值． 题型五、分组分解法综合应用 34．阅读材料：我们引入“多项式分裂重组法”进行因式分解．具体步骤如下： 例如：分解因式 【基础应用】 利用“多项式分裂重组法”分解因式． 【方法深化】 分解因式 【拓展创新】 已知多项式，通过“多项式分裂重组法”可分解为，求的值． 【答案】[基础应用；方法深化；拓展创新 ，， 【分析】本题考查了因式分解，多项式分裂重组法的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 基础应用仿照示例，把和各分成一组，提取公因式，即可进行因式分解； 方法深化仿照示例，把和各分成一组，提取公因式，即可进行因式分解； 拓展创新把展开后，与对照，即可得到、、的值． 【详解】解：基础应用 ； 方法深化 ； 拓展创新 ，，． 35．在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分组分解因式，掌握乘法公式，提取公因式法因式分解是关键． （1）先分组为，运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）先分组为，运用提取公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 36．将因式分解． 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法回答下列问题： (1)请用分组分解法将因式分解； (2)如图1，小长方形的长为，宽为，用5个图1中的小长方形按照图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值． 【答案】(1) (2)，25 【分析】本题主要考查因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． （1）根据题意用分组分解法因式分解即可； （2）将原式变形为，将看作整体，利用完全平方公式因式分解，根据图形中边关系得：，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 根据图形中各边关系得：，即， 原式． 37．【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【答案】(1)①1；②1；③9；④9 (2)①；② 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以①，②， ：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以③，④． 故答案为：①1；②1；③9；④9； （2）解：①原式=； ②原式． 38．通过学习，我们因式分解的目的是把一个多项式变成几个整式的积的形式，常用的方法有提公因式法和公式法，其实某些特殊的多项式还会有下面的方法．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）结合公式法和分组分解法进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： 因为， 所以； （3）解： 39．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)若的三边，，满足，则是什么三角形？ 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法，是解题的关键： （1）利用分组分解法，进行因式分解即可； （2）利用分组分解法，进行因式分解，整体代入法求值即可； （3）利用分组分解法，进行因式分解，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 当时： 原式； （3）解： 、、为的三边 即； 为等腰三角形． 40．【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解． 方法如下：； ．请在这种方法的启发下，解决下列问题： 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 【方法延伸】 （3）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查因式分解，掌握分组分解法是关键． （1）根据分组分解法求解即可； （2）根据分组分解法求解即可； （3）根据分组分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； ； （3） ． 41．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】 （1）请用以上方法将分解因式； 【挑战】 （2）请用以上方法将分解因式； 【应用】 （3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由 【答案】（1）；（2）；（3）是等腰三角形或者直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握利用分组法、提取公因式法与公式法分解因式． （1）先利用加法的结合律把前两项结合，后两项结合，然后把前两项利用平方差公式分解因式，再提取公因式即可； （2）先利用加法的结合律把分成一组，利用完全平方公式将其分解因式，再利用平方差公式计算即可． （3）先分组进行因式分解，再根据或者两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1） （2） （3）是等腰三角形或者直角三角形，理由如下： 或 当时， 即不符合题意，舍去) 此时是等腰三角形 当时, 此时是直角三角形 综上，是等腰三角形或者直角三角形 42．阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）先把第一项和第二项提公因式，把第三项和第四项提公因式3，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先把第一项和第二项用平方差公式分解因式，把第三项和第四项提公因式2，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型六、十字交叉相乘法 43．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）5或7或或（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，进行两次因式分解解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，此时； ，此时； ，此时； ，此时； 则整数m的所有可能值是5或7或或． （3）解： ． 44．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； 理解阅读材料，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵常数项，一次项系数， ∴； （2）∵常数项，一次项系数， ∴； （3）①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 45．下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年5月5日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解：_________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为a的值即可． 【详解】（1）解：一次项为，常数项为， 则； （2）解：若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， 则整数a的所有可能的值：， 即整数a的所有可能的值：． 46．小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示： (1)因式分解：； (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解的应用，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． （1）找出乘积为 15 且和为 的两个数，利用十字相乘法分解因式． （2） 列出所有乘积为 的整数对，计算每对的和，得到整数a的所有可能值． 【详解】（1）解：根据十字相乘法，需找到两个数，使其乘积为常数项15，和为一次项系数． ∵ ∴满足条件的数为和， ∴ （2）对于，由十字相乘法可知，需找到整数p、q，使，且． 乘积为的整数对有：， 对应的和分别为：， 故整数a的所有可能值为． 47．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．   解：设 ，则 原式 ， ， ， (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不彻底； (2)，见解析 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键． （1）满足完全平方公式，因此还可以因式分解； （2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可． 【详解】（1）解：该同学因式分解的结果不彻底； 原式 ， 故答案为：不彻底，； （2）解：设 ，则    原式 ． 48．多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式． 示例：分解因式． 尝试分解因式： (1)________； (2)________； (3)________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法因式分解，理解因式分解——十字相乘法的运算方法是解题的关键． （）仿照例题方法分解因式即可； （）仿照例题方法分解因式即可； （）把看成整体，然后仿照例题方法分解因式即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 题型七、整体分解法 49．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）令，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解； （3）将原式转化为，进一步整理为，根据n为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：令，则原式变为， 故； （3）证明： ， ∵n为正整数， ∴也为正整数， ∴代数式的值一定是某一个整数的平方． 50．阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式． 原式 ． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）凑出完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 则 ． 51．材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式． 52．先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识． （1）将看作整体，由完全平方式的形式进行判断即可； （2）先将前三项看作完全平方式，再利用平方差公式进行分解即可； （3），则原式．将代入还原，可得原式．即可判断． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ； （3）解： 令， 则原式， ， ， 原式． 为正整数， 也为正整数， 代数式的值一定是某一个正整数的平方． 53．阅读以下材料： 材料1：如图所示，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是__________； (2)计算：；（结果用科学记数法表示） (3)根据材料2进行因式分解： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握整体思想换元． （1）原式利用图形面积即可求解； （2）原式中整理后，利用完全平方公式分解即可； （3）①原式中利用完全平方公式分解，令利用平方差公式分解，再将还原即可； ②原式添加辅助项利用完全平方公式分解，得，令利用平方差公式分解，再将还原即可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ， 令， 原式 ， 再将还原， 得到：原式； ② ， 令， 原式 ， 再将还原， 得到：原式． 54．先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】(1)，；；； (2)． 【分析】本题考查了换元法因式分解，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟练掌握换元思想是解题的关键． （）设，然后代入通过因式分解即可求解； （）设，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设， 原式 将代入， 得原式， 故答案为：，；；； （2）解：设， 原式 ， 将代入， 得原式 ． 题型八、添项拆项法 55．综合与实践 (1)阅读理解： 拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行因式分解的方法．这种方法常用于不能直接使用提取公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式． 例如，分解因式，可将拆分成，，两项，原多项式变为．然后恰当分组，对每组分别提取公因式后原式变形为___________，再提取公因式，最终分解为___________． (2)问题解决： 上面的拆项分组法分解因式你学会了吗？请你把因式分解． (3)问题拓展 若多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数）． 因为，与对应． 所以，，，在拆项分组过程中，要将拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解． 试一试，把因式分解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解. （1）根据题干过程作答即可； （2）仿照（1）作答即可； （3）仿照题干所给示例得到，，，合理拆项计算即可 【详解】（1）解： ∴对每组分别提取公因式后原式变形为，再提取公因式，最终分解为 故答案为：， （2） （3）将多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数） 因为，与对应， 所以，，， 所以， 即或或或 因为 所以 则可分为， 即. 一、单选题 1．下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，利用因式分解的定义判断即可，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是因式分解，故选项不符合题意； B、不是因式分解，故选项不符合题意； C、原式两边结果不相等，故选项不符合题意； D、是因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 2．观察①和②从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①和②都是因式分解 B．①和②都是整式乘法 C．①是整式乘法，②是因式分解 D．①是因式分解，②是整式乘法 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的意义，整式，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：是因式分解，是乘法运算， 即①是因式分解，②是整式乘法， 故选：D． 3．若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ∴的值总能被4整除． 故选：B． 4．下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 根据提公因式法因式分解的方法逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原计算错误，符合题意； D、，正确，不符合题意． 故选：C． 5．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和，加上或减去这两数乘积的2倍，是解题的关键；逐项判断是否符合完全平方公式即可． 【详解】解：A、，常数项为负数，不符合完全平方公式的特点，故不能用完全平方公式进行分解因式； B、，符合完全平方公式的特点，故能用完全平方公式进行分解因式； C、，有两数的平方和，一次项不等于这两个数乘积的2倍，故不能用完全平方公式进行分解因式； D、，只有两项，一个完全平方公式必须有三项，故不能用完全平方公式进行分解因式； 故选：B． 6．若关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是（   ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行分解因式，根据完全平方公式进行分解因式得或，即可求解． 【详解】解：能用完全平方公式分解因式， 可以分解为或， ， 解得：； 故选：D． 二、填空题 7．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解． 先提取公因式，再利用完全平方公式对剩余式子进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 8．如果，那么的值是 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子变形为，再把代入得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 9．代数式的最小值是 ． 【答案】13 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，把原式化为：可求出最小值． 【详解】解：∵ ； ∵， ∴ ∴的最小值为13． 故答案为：13． 10．多项式中各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的概念，掌握多项式中各项都含有相同的数字因数，相同的字母，相同字母的指数也相同是解题的关键．观察多项式的数字因数，字母，根据一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，即可求解． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故答案为：． 三、解答题 11．分解因式： (1)； (2)； (3)利用因式分解计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再计算加减即可； （3）逆用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式    ； （3）解：原式    ． 12．七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）9． 【分析】（1）根据题意，得，提取公因式解答即可； （2）根据题意，得，后因式分解解答即可； （3）根据题意，得，根据非负性，确定a，b的值，再利用三角形三边关系定理，结合边长为正整数的属性，解答即可． 本题考查了分组分解法分解因式，实数的非负性，三角形三边关系定理，正整数的属性，熟练掌握因式分解，非负性，三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：由得， 故， 解得， 故c的取值范围为即， 由的三边长、、都是正整数， 故， 故的周长为． 13．阅读下列因式分解过程，再回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是 ，共应用了 次； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ． (3)观察规律直接写出结果：（n为正整数）． 【答案】(1)提公因式法；两 (2)2017； (3) 【分析】本题考查了提公因式分解因式，要连续多次用到提公因式的方法，找到规律是解题的关键． （1）由解答过程即可完成解答； （2）通过例子找到规律即可作出解答； （3）连续多次提公因式即可． 【详解】（1）解：由例子解答过程知，运用了提公因式的方法分解因式，共应用了两次； 故答案为：提公因式；两； （2）解：观察解答过程知，中的最高次数为2次，则进行了两次提公因式方法，一般地，的最高次数为n次，则进行了n次提公因式；分解，则需应用提公因式方法2017次； ； 故答案为：2017；； （3）解： ． 14．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【答案】(1) (2)图见解析，，，，16 【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可； （2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可． 【详解】（1）解：，常数项， ， ， 故答案为：； （2）解：，常数项， 画“十字图”如下：   ，，，16． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键． 15．如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）． (1)2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？ (2)数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”． 设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ 【答案】(1)91 (2)能够被2整除，理由见解析 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据2025年是本世纪的“平方年”（），得出下一个“平方年”是，求解即可； （2）算出，即可求解． 【详解】（1）解：∵2025年是本世纪的“平方年”（）， ∴2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是． （2）解：能够被2整除．                             理由如下： 由题意，得． 能被2整除， 由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除． 16．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解：． (2)用配方法求的最小值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)1 (3)4 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用配方法解决问题． （1）将式子写成完全平方公式与一个数的差，然后运用平方差公式分解因式； （2）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可； （3）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ，即的最小值为． （3）解： ， ， ，即的最小值为4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$