第1章 《二次函数》单元基础试卷　2025-2026学年浙教版数学九年级上册　

2025-2026学年浙教版数学九年级上册单元检测卷第1章 《二次函数》单元基础试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1． 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 2．已知点 在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0.其中正确的有（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 … y … 1.875 3 m 1.875 0 … A．①④ B．②③ C．③④ D．②④ 5．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣b（a≠0）和y（c≠0）的图象大致如图所示，则函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致为（　　） A． B． C． D． 7．将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2 8．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 9．如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 10．如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（-1，0），与y轴交于点C（0，m），其中-4<-3.则下列结论： ①②方程没有实数根③④. 其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　.(写出一个即可) 12．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a（×-3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为　 　m. 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为　 　． 14． 如图， 壮壮同学投掷实心球， 出手 (点 处) 的高度 是 ， 出手后实心球沿一段抛物线运行， 到达最高点时，水平距离是 ， 高度是 . 若实心球落地点为 ， 则OM=　 　m。 15．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 　 　完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 16．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是　 　（填写序号）． 三、解答题（共8题，共72分） 17． 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”． ①求这个函数“倍值点”的坐标； ②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 18．用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 19．已知二次函数y=x2+2（a+1）x+3a2-2a+3，a为常数. （1）若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点. 20． 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别的多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 21．加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． （1）当　 　时，元/； （2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ （3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？ 22．已知抛物线为常数，． （I）当时，求该抛物线顶点的坐标； （II）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以AC为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 23．如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 24．如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】A 11．【答案】 12．【答案】8 13．【答案】4 14．【答案】 15．【答案】能 16．【答案】②③④ 17．【答案】（1）解：由题意得： 解得： ∴这个二次函数的解析式为 （2）解：①将(k，2k)代入二次函数 得： 解得： ∴这个函数“倍值点”的坐标为(5，10)或( ②由题意得P(m，n)是该二次函数图象上( 与(5，10)之间的点， ∵二次函数 的开口向上，对称轴为直线x =1， ∴当 时， 1时，n取最小值，为 当m=5时，n取最大值，为 10， ∴n的最大值与最小值的差为 18．【答案】（1）解：∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为. （2）解：不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物. （3）解：∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 19．【答案】（1）解：由二次函数的图象与直线有两个交点， ∴ x2+2（a+1）x+3a2-2a+3=2a2 ∴x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0 ∴b2-4ac＞0即4（a+1）2-4（a2-2a+3）＞0 解之： （2）解：因为二次函数的图象与x轴有交点， 所以， 又因为，所以8(a-1)2=0，解得a=1 （3）证明：当时，，所以二次函数的图象不经过原点 20．【答案】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得， 解得 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个， 由题意得，40(400-m)+20m≤12000， 解得m≥200， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) =(a-40)(500-5a) =500a-20000-5a2+200a =-5(a-70)2+4500， ∵-5<0，60≤a≤100， ∴当a-70=0，即a=70时，W最大，最大值为4500． 21．【答案】（1）500 （2）解：当时，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，， ∵， ∴随着x的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值为， 综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小； （3）由题意可得， 解得（不合题意，舍去）， ∴当a为时，2025年的总种植成本为元． 22．【答案】解：（I）， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为． （II）①点在抛物线上， 得．即．又，点， ． 根据题意，点在第四象限，过点作轴于点． ．得． ，有． 得． ∵， ∴． ． 由，得． 点的坐标为． 点在抛物线上， ．即． 解得（舍）． 点的坐标为． ②由，得． 在轴上点的左侧取点，使，连接GC． ，得． ， ．有，进而． 在Rt中，根据勾股定理，， ．有． ． ∵点，得． ．即．（*） 根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得． 又中，．得． ． 当点在线段BC上时，取得最小值，即． 在Rt中，， ． 将（*）式代入，得． 解得（舍）．有． 点． 可得直线BC的解析式为． 设点的横坐标为，则．得． 点的坐标为． 线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的， 点的坐标为． 23．【答案】（1）解：抛物线与x轴交于两点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：，， ； ②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ()， ， ， ， 解得：，， ； 如上图，根据对称性：， ③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为； 综上所述：的坐标为或或． （3）解：是定值， 理由：如图，直线经过， 可设直线的解析式为， 、在抛物线上， 可设，， ， 整理得：， ，， ， 当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ， ， 同理可求：， ； 当与对调位置后，同理可求； 故的定值为． 24．【答案】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴点，点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意，， ∴， 当四边形是平行四边形时，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为， ∴ ∴， 解得（不合题意，舍去），； （3）解：存在，理由如下： ∵对称轴为x=， 设P点坐标为 （m，-m2+3m+4）， ∴M点横坐标为： ×2-m=3-m， ∴N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4）， ①如图1， ∵MN=2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x=上， ∴E（，）， 又点E在直线BC：y=-x+4，代入得：=+4， 解得：m=或（舍去）， 故此时m的值为. ②如图2，设E点坐标为（n，-n+4），N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4）， ∵MN=2ME， ∴0-（-m2+3m+4）=2（-m2+3m+4+n-4）①， ∴3-m-m=2（n-3+m）②， 联立①②并解得：m =（舍去）或， 综上所述，m的值为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$