1.5.2 等腰三角形-等边三角形（同步课件）-2025-2026学年八年级数学上册新苏科版（2024）同步教学课件

第1章 三角形 1.5.2 等腰三角形-等边三角形 苏科版 八年级上册 教学目标 01 理解等边三角形的性质定理 02 理解等边三角形的判定定理 03 理解直角三角形的性质定理 等边三角形 01 课堂导入 问 题 等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质，还具有哪些特殊的性质？ 等边三角形的定义： 三边都相等的三角形叫作等边三角形。 01 课堂导入 如图，在△ABC中，AB = AC = BC。 由AB = AC，可知∠B = ∠C； 由BA = BC，可知∠C = ∠A。 ∴∠A = ∠B = ∠C = 60°。 A C B 02 知识精讲 等边三角形的性质定理： 于是，我们得到等边三角形的性质定理： 等边三角形的各角都等于60°。 符号语言：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C = 60°。 A C B 思 考 学习了等腰三角形和等边三角形的概念之后，你能按边的相等情况对三角形进行分类吗？ 02 知识精讲 等腰三角形： 有两边相等的三角形 不等边三角形： 三边都不相等的三角形 等边三角形： 三边相等的三角形 讨 论 等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°。 当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？ 02 知识精讲 ( 1 ) 如果一个三角形的三个角相等，那么它的三条边一定相等。 解：∵∠A = ∠B，∠B = ∠C， ∴AC = BC，AB = AC， ∴AB = BC = AC， ∴△ABC是等边三角形。 A C B 02 知识精讲 ( 2 ) 如果一个等腰三角形有一个角是60°，那么它的三个角一定相等。 ① 若顶角是60°， 则两个底角相等，也都是60°， ∴△ABC是等边三角形； ②若一个底角是60°， 则另一个底角也是60°，并且顶角也是60°， ∴△ABC是等边三角形； 综上，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 A C B 02 知识精讲 等边三角形的判定定理： 通过讨论，我们得到等边三角形的判定定理： ① 三个角都相等的三角形是等边三角形。 ② 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 符号语言：如图， ① ∵∠A = ∠B = ∠C，∴△ABC是等边三角形； ② ∵∠A = 60°，AB = AC，∴△ABC是等边三角形； ∵∠B = 60°，AB = AC，∴△ABC是等边三角形。 A C B 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C = 60° ( 等边三角形的性质定理 )。 ∵DE // BC， ∴∠ADE = ∠B = 60°，∠AED = ∠C = 60°。 ∴∠A = ∠ADE = ∠AED。 ∴△ADE是等边三角形 ( 等边三角形的判定定理 )。 例3 在等边三角形ABC中，DE // BC。求证：△ADE是等边三角形。 02 知识精讲 A C B D E 03 典例精析 题型一 根据等边三角形的定义和性质求线段长： 例1-1、如图，在等边△ABC中，AB = 4，BD是AC边上的高， 点E在BC的延长线上，∠ACB = 2∠E，则BE的长为________。 解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， ∴BC = AC = AB = 4，CD = AC = 2， ∵∠ACB = ∠E + ∠CDE = 2∠E， ∴∠CDE = ∠E，∴CE = CD = 2， ∴BE = BC + CE = 4 + 2 = 6。 6 A C B E D 03 典例精析 题型一 根据等边三角形的定义和性质求线段长： 例1-2、如图，△ABC是等边三角形，在直线BC的下方有一点D，且DB = DC，连接AD交BC于点E。 ( 1 ) 求证：AD垂直平分BC； ( 2 ) 过点D作DF // AB，AC = 5，FC = 2，求DF的长。 ( 1 ) 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB = AC， ∵DB = DC，∴AD垂直平分BC； ( 2 ) 解：△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC， ∴∠BAD = ∠CAD = ∠BAC， ∵DF // AB，∴∠ADF = ∠BAD = ∠CAD，∴DF = AF = AC - FC = 5 - 2 = 3。 A C B E D F 03 典例精析 题型二 根据等边三角形的性质定理求线段长： 例2、如图，△ABC是正三角形（每个内角都相等）。若l1 // l2，∠1 = 75°，则∠2的大小是________。 解：如图，设BC与l2交于点E，AC与l2交于点F， ∵△ABC是正三角形， ∴∠C = 60° ( 等边三角形的性质定理 )， ∵l1 // l2，∠1 = 75°，∴∠AFE = ∠1 = 75°， ∴∠CEF = ∠AFE - ∠C = 15°， ∴∠2 = 180° - ∠CEF = 165°。 165° E F l1 l2 A B C 1 2 03 典例精析 题型三 等边三角形的判定辨析： 例3、根据下列条件，不能得到等边三角形的是（　　） A．有两个角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 C 03 典例精析 题型四 根据判定定理证明等边三角形： 例4-1、如图，在四边形ABCD中，AD // BC，∠B = ∠D，点E在BA的延长线上，连接CE。若∠E = 60°，CE平分∠BCD，求证：△BCE为等边三角形。 证明：∵AD // BC，∴∠EAD = ∠B， ∵∠B =∠D，∴∠D = ∠EAD，∴BE // CD， ∴∠ECD = ∠E = 60°， 又∵CE平分∠BCD，∴∠BCE = ∠ECD = 60°， ∴∠EBC = 60°，∴∠E = ∠B = ∠BCE， ∴△BCE为等边三角形 ( 等边三角形的判定定理 )。 E C B A D 03 典例精析 题型四 根据判定定理证明等边三角形： 例4-2、已知如图，AB = AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E，且BE // AC。求证：△ABC是等边三角形。 证明：∵AB = AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD， ∵AB平分∠DAE，∴∠BAE = ∠BAD = ∠CAD， ∵BE // AC，AE⊥BE，∴∠EAC = ∠E = 90°， ∴∠BAD = ∠CAD = ∠EAC = 30°，∴∠BAC = 60°， ∴△ABC是等边三角形 ( 等边三角形的判定定理 )。 A C B E D 直角三角形 探 究 用两个含30°角的三角板拼一个三角形。这个三角形是等边三角形吗？30°角所对的直角边和斜边有什么关系？ 02 知识精讲 解：∵三角形的三个角都是60°， ∴这个三角形是等边三角形； ∵等边三角形的三边都相等， ∴30°角所对的直角边是斜边的一半。 02 知识精讲 直角三角形的性质： 通过探究，我们可以得到： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边是斜边的一半。 符号语言：如图，∵∠C = 90°，∠A = 30°， ∴BC = AB。 B C 30° A 02 知识精讲 注意： ① 该性质只适用于含30°角的直角三角形， 非直角三角形或一般直角三角形不能使用； ② 使用时，要找准30°的角所对的直角边，明确斜边。 活 动 把一张直角三角形纸片按如图所示的方法折叠，你有什么发现？ 02 知识精讲 解：通过折叠我发现两条折痕与斜边恰好交于同一点。 为什么交于同一点呢？ 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°， 作∠BCD = ∠B，CD与AB交于点D。 02 知识精讲 解：由∠BCD = ∠B，可知DB = DC。 由等角的余角相等，可得∠ACD = ∠A， ∴DA = DC， ∴DA = DB = DC， 即CD是斜边AB上的中线，且CD = AB。 B C A D 02 知识精讲 直角三角形的性质定理： 于是，我们得到直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 符号语言：如图，∵∠ACB = 90°，AD = BD， ∴CD = AB = AD = BD。 B C A D 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D为AB的中点， ∴CD = AB = AD = BD ( 直角三角形的性质定理 )。 ∴∠DCB = ∠B = 25°。 ∵∠ACB = 90°， ∴∠ACD = ∠ACB - ∠DCB = 90° - 25° = 65°。 例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D为边AB的中点， ∠B = 25°。求∠ACD的度数。 02 知识精讲 B C A D 交 流 试说出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题。 02 知识精讲 解：逆命题： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形； 它是真命题。 如图，在△ABC中，AD = BD = CD。证明：△ABC是直角三角形。 02 知识精讲 证明：∵AD = CD，BD = CD， ∴∠A = ∠ACD，∠B = ∠BCD， ∵∠A + ∠B + ∠ACB = 180°， ∴∠ACD + ∠BCD + ∠ACB = 180°， ∴2∠ACB = 180°，即∠ACB = 90°， ∴△ABC是直角三角形。 B C A D 02 知识精讲 直角三角形性质定理的逆命题： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。三角形是 03 典例精析 题型五 根据直角三角形的性质求线段长： 例5、如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠B=30°，CD⊥AB， 垂足为D，AB = 4，则AD的长为________。 解：∵∠ACB = 90°，∠B = 30°， ∴∠A = 60°，AC = AB = × 4 = 2， ∵CD⊥AB，∴∠ADC = 90°， ∴∠ACD = ∠ADC - ∠A = 90° - 60° = 30°， ∴AD = AC = × 2 = 1。 1 B A D C 03 典例精析 题型六 根据直角三角形的性质定理求线段长： 例6、如图，一架6米长的梯子AB斜靠在竖直的墙OA上，OB在地面上，M为AB的中点，当梯子的上端A沿墙壁下滑时，OM的长度将（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 C B O M A 03 典例精析 题型七 直角三角形的性质与性质定理综合： 例7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D是斜边AB的中点， DE平分∠ADC，BC = 4，∠A = 30°，则DE的长是________。 解：∵∠ACB = 90°，点D是AB的中点， ∴AD = CD = AB ( 直角三角形的性质定理 )， 又∵DE平分∠ADC，∴DE⊥AC，即∠AED = 90°， ∵∠A=30°，∴DE = AD，BC = AB = 4， ∴AB = 8，AD = AB = 4，DE = AD = 2。 2 B A D C E 课后总结 等边三角形的定义： 三边都相等的三角形叫作等边三角形。 等边三角形的性质定理： 等边三角形的各角都等于60°。 等边三角形的判定定理： ① 三个角都相等的三角形是等边三角形。 ② 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 课后总结 直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。 直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 直角三角形性质定理的逆命题： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。三角形 1.5.2 等腰三角形-等边三角形 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $$