黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高三下学期模拟考试（第二次）数学试题

数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C D B B C BCD ABC 题号 11 答案 ACD 12． 【分析】利用三角函数定义可知，射线对应的角满足，再利用任意角的关系和两角差的余弦公式即可得点B的横坐标为. 【详解】易知在单位圆上，记终边在射线上的角为，如下图所示： 根据三角函数定义可知，； 绕原点顺时针旋转得到线段，则终边在射线上的角为， 所以点B的横坐标为. 故答案为： 13． 【分析】利用已知条件找到和另两个角的恒等关系，再找到最大时的形状，最利用椭圆定义及性质求解． 【详解】由，利用两角和差的余弦公式展开， 整理得，即． 因为，则， 从而，当仅仅当时，等号成立， 因为，所以当最大时，， 则，为等腰三角形， 不妨设． 以AB为轴，AB中垂线为轴建立直角坐标系，则， 由AP，AB，PB的长依次成等差数列，得|AP|＋|PB|＝2|AB|＝8，8＞|AB|， 则点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为8的椭圆，其中a＝4，c＝2，b＝， 则椭圆的方程为． 设， 则， 根据二次函数的性质可知， 当时，． 所以的最大值为． 故答案为： 14． 【分析】先求出函数的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得. 【详解】依题意，由得：或，即函数的定义域是， 函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增， 于是得在是单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据数列的递推公式依次写出，即可发现规律； （2）由（1）可写出数列的表达式，根据裂项求和的方法可求出前n项和． 【详解】（1）由题意知，，，，，，…，，，从而． （2）由（1），所以． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到，再结合，即可得到； （2）根据和三角形面积公式将整理为，再根据锐角三角形和正弦定理得到的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可. 【详解】（1），所以， 所以， 又，所以， 因为，所以． （2）由（1）可知，． 则． 因为锐角三角形，所以，整理得． 因为，所以． 令，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即， 故的取值范围为. 17．(1)证明见解析 (2)点P为棱上靠近点的第一个六等分点 【分析】（1）可证面，结合面面垂直的判定定理可得相应证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量后结合夹角的余弦值可求，故可判断的位置. 【详解】（1）在长方体中，，故四边形为正方形， ，又面ABCD，面ABCD，.， ，且AC，面， 面，面，平面平面. （2）   以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 设，，，，. 设点，，则，， 设面一个法向量为， 则即，令，，，. 设面的一个法向量为， 则即，取，，，. ， ，或， ，， 点P为棱上靠近点的第一个六等分点时， 面与面夹角的余弦值为. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，得最大值，由最大值相等得参数值 ； （2）设，由（1）确定，结合（1）中所得单调性，利用零点存在定理证明函数存在两个零点，得与的图象有两个交点，同理得与也有两个交点，于是为满足题意有两个交点重合，结合可得出三个交战的横坐标之间的关系，从而证得结论成立. 【详解】（1）定义域是，的定义域是， 因为， 当时，,, ,, 则在上单调递减，在单调递增，不存在最大值， 在上单调递减，在单调递增，也不存在最大值； 同理知当时，在上单调递增，在单调递减， 在上单调递增，在单调递减， 所以有极大值，即的最大值， 有极大值，即的最大值， 所以，即； （2）由（1）知， 由于时，，时，，因此只有才可能满足题意， 记，且， 由（1）得在上单调递增，在单调递减， 且， 所以存在，使得， 设，则， 设，则， 时，，递减，时，，递增， 所以， 所以，是增函数，时，， ， 又，所以存在，使得， 即此时与有两个交点， 其中一个交点在内，另一个交点在内， 同理与也有两个交点， 其中一个交点在内，另一个交点在内， 若与和共有三个不同的交点， 则其中一个交点为两条曲线和的公共点，记其横坐标为， 令，则， 记与的三个交点的横坐标从左到右依次为， 且满足， 且，即， 又，且， 且在和上分别单调，所以，即， 所以为的等比中项， 所以从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 【点睛】本题考查用导数求函数的最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题.对于方程的根的问题，难点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由零点存在定理证明存在两个零点（方程有两个根），其次通过函数式关系找到两个方程的根之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立. 19．(1)； (2)①是，；②证明见解析，. 【分析】（1）根据斜率公式结合条件即得； （2）①设点，直线，联立椭圆方程利用韦达定理结合条件表示出，进而即得；②根据斜率公式结合条件可得，即得；或利用韦达定理法，表示出直线方程结合条件即得. 【详解】（1）设点，则， 设直线和的斜率为，则 ； （2）①设点，直线， 联立方程得整理得， ， ， 所以， 即， 因为，所以， 化简整理可得，即， 所以直线l过定点； ②解法一；设直线和直线的斜率为， 由（1）得，由①得， 所以，所以； 解法二：设点，直线， 联立方程得整理得， 所以， 直线， 联立两直线方程可得， 所以； ②解法三：：设点，直线， 联立方程得整理得， ， 联立两直线方程可得，因为. 所以 ， 所以. 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鹤岗市第一中学2023-2024学年高三下学期模拟考试（第二次） 数学试题 出题人：高三 数学 组 总分：150分 一、单选题（每题 5 分，共 40 分） 1．已知，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（     ） A．156 B．157 C．158 D．159 4．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 5．某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ） A．的数据较更集中 B． C．甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D． 6．已知函数（）满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（    ） A．0 B．2022 C．4044 D．1011 7．已知不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题 6 分，共 18 分） 9．已知向量，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．存在，使得 C．向量是与共线的单位向量 D．在上的投影向量为 10．如图所示，平行六面体中，，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C． D． 11．已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 三、填空题（每题 5 分，共 15 分） 12．在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为 . 13．已知的三个内角A，B，C满足，当最大时，动点P使得AP，AB，PB的长依次成等差数列，此时的最大值为 ． 14．函数的单调递增区间是 . 四、解答题 15．（13分）已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 16．（15分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围． 17．（15分）在长方体中，，点P为棱上任意一点.    (1)求证：平面⊥平面； (2)若点E为棱上靠近点C的三等分点，求点P在棱上什么位置时，平面与平面夹角的余弦值为. 18．（17分）已知函数和有相同的最大值. (1)求a； (2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 19．（17分）已知椭圆C：，，为椭圆C的左、右顶点，，为左、右焦点，Q为椭圆C上任意一点. (1)求直线和的斜率之积； (2)直线l交椭圆C于点M，N两点（l不过点），直线与直线的斜率分别是，且，直线和直线交于点. ①探究直线l是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由； ②证明：为定值，并求出该定值. 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$