宁夏银川市北塔中学2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷

2024－2025学年宁夏银川市北塔中学九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图所示几何体的左视图为（ ） A． B. C. D. 2．如图，，交于点，若，，则下列结论错误的是（ ） A． B. C. D. 3．如图，在中，，则下列结论错误的是（ ） A． B. C. D. 4．对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A.图象开口向上 B.对称轴是直线 C.当时，的最大值为21 D.将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 5．如图，是的直径，AE、CE、CB为的弦，，AE＝12，则（ ） A. B. C. D. 6．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ） A.4月份的利润为50万元 B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 C.9月份该厂利润达到200万元 D.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 7．如图半径为5的与y轴交于B（0，2），C（0，10），则点A的坐标为（ ） A.（3，6） B.（3，5） C.（2，4） D.（2，3） 8．二次函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9．已知，且，则______． 10．如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为______． 11．如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为______． 12．如图，已知点、、、在上，弦、的延长线交外一点，，，则的度数为______． 13．如图，点在反比例函数上，点在反比例函数上，轴，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，若矩形的面积是，则的值为______． 14．如图，已知直线分别与轴和轴相交于点和点，且直线的解析式为，于点，与轴正半轴的夹角为，则等于______． 15．如图，抛物线为常数，关于直线对称．下列四个结论中，①；②；③；④当时，；⑤，正确的有______（填序号）． 16．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为_________． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车“和“网购”给我们的生活带来了很多便利，九年级数学兴趣小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． （1）根据图中信息求出______，______； （2）请你帮助他们将这两个统计图补全； （3）已知两位同学都最认可“微信”，同学最认可“支付宝”，同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 四、解答题：本题共9小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题6分）计算： （1）； （2）． 19．（本小题6分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出； （2）以原点为位似中心，位似比为1：2，画出放大后的图形； （3）与的周长比是______；面积比是______． 20．（本小题6分）如图，在中，点，分别在，边上，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．（本小题6分）如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为，点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（精确到）． 参考数据：，，，，，． 22．（本小题8分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 23．（本小题8分）一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离． （1）求拱桥的半径； （2）如图2，一艘宽12，船舱顶部为矩形并高出水面3的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 24．（本小题8分）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量（袋）和每袋售价（元）记录如下： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 元 15 20 25 30 袋 25 20 15 10 若试销售和正常销售期间，日销量与每袋售价的一次函数关系相同，解决下列问题： （1）求日销量关于每袋售价的函数关系式； （2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额－成本） 25．（本小题8分）如图，在中，，点在边上，的外接圆交于点，，过点作垂直于点，延长交于点． （1）求证：； （2）来证：． 26．（本小题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1．【答案】C 【解析】解：从左边看，可得选项C的图形． 故选：C． 根据左视图是从左面看到的图形进行求解即可，用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 本题主要考查了简单组合体的三视图，正确地识别图形是解题的关键． 2．【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故C错误，符合题意； ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键． 3．【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵和无法确定相等， ∴无法判断， 故选：D． 根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 4．【答案】D 【解析】解：∵二次函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴在中，时，有最大值为， 故A、B、C选项正确，不合题意； ∵顶点为， ∴将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 故D选项不正确，符合题意； 故选：D． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 本题考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 5．【答案】A 【解析】解：连接BE， ∵AB是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 故选：A． 连接BE，根据直径所对的圆周角是直角可得：，然后在中，利用勾股定理求出BE的长，从而利用锐角三角函数的定义求出的值，再利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 本题考查了解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．【答案】D 【解析】解：A、设反比例函数的解析式为， 把代入得，， 反比例函数的解析式为：， 当时，， 4月份的利润为50万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则， 解得：， 故一次函数解析式为：， 故时，， 解得：， 则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确，不合题意． D、当时，， 解得：， 则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确，符合题意． 故选：D． 直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案． 此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，正确得出函数解析是解题关键． 7．【答案】A 【解析】解：过点作于点，连接， 的半径为，、， ，，， ，过圆心， ， ， ， 故选：． 过点作与，连接，根据点和点的坐标求出，再根据垂径定理求出 ，根据勾股定理求出即可，继而即可求解坐标 本题主要考查了坐标与图形的性质，垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 8．【答案】B 【解析】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴经过轴的负半轴， ，同号， 图象经过轴的正半轴，则， 函数，， 图象经过二、四象限， ，，， 图象经过一、二、四象限， 故选：． 根据二次函数的图象得出，，的符号，进而利用一次函数与反比例函数得出图象经过的象限． 此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数和反比例函数的性质，根据已知得出，，的值是解题关键． 9．【答案】 【解析】解：， ，， ， 故答案为：． 根据等式的性质分别用和表示出和，再根据的值计算出的值即可． 本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 10．【答案】 【解析】解：连接，作的垂直平分线及的垂直平分线，直线与直线交于点， 点到点的距离相等， 点为经过三点的圆的圆心， 是图中的正方形的对角线，直线垂直平分， 直线为该正方形的另一条对角线所在的直线， 直线与直线的交点的横、纵坐标都为整数， 观察图形可知，点的坐标为， 故答案为：． 连接，作的垂直平分线及的垂直平分线交于点，则点为经过三点的圆的圆心，观察图形可知，点的坐标为，于是得到问题的答案． 此题重点考查线段的垂直平分线的性质、坐标与图形性质、三角形的外接圆与外心、数形结合数学思想的运用等知识与方法，通过作的垂直平分线得到点是解题的关键． 11．【答案】 【解析】解：该几何体的形状是直四棱柱， 由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为，． 所以棱柱的体积． 故答案为：． 由已知三视图可以确定为四棱柱，首先得到棱柱底面菱形的对角线长，从而求出它的体积． 此题考查的是几何体的表面积及由三视图判断几何体，关键是先判断几何体的形状，然后求其体积． 12．【答案】89° 【解析】解：由圆周角定理得：， 是的外角，， ， 是的外角， ， 故选：B． 先由圆周角定理求出，再根据三角形的外角性质计算即可． 本题考查的是圆周角定理、三角形的外角性质，根据圆周角定理求出是解题的关键． 13．【答案】12 【解析】解：双曲线在第一象限， ， 延长线段，交轴于点， 轴 轴， 四边形是矩形， 点在反比例函数上， ， 同理， ， ． 故答案为12． 先根据反比例函数的图象在第一象限判断出的符号，再延长线段，交轴于点，由于轴， 所以轴，故四边形是矩形，由于点在反比例函数上，所以，同理可 得，由即可得出的值． 本题考查的是反比例函数系数的几何意义，即在反比例函数图象上任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 14．【答案】 【解析】解：在中， 当，；当，， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 根据题意，直线的解析式为，求出，的坐标，得到，的值，根据，得到的角度，根据，三角形的内角和，求出即可． 本题考查锐角三角函数和一次函数的知识，熟练掌握以上知识点是关键． 15．【答案】①②④ 【解析】解：由所给函数图象可知， ，，， 所以． 故①正确． 因为抛物线关于直线对称， 所以， 整理得，． 故②正确． 因为抛物线与轴有两个交点，根据二次函数判别式， 当时抛物线与轴有两个交点， 所以， 故③错误． 已知抛物线对称轴为，与轴一个交点为，根据抛物线对称性，可知与轴另一个交点为， 观察图象，当时，抛物线图象在轴下方，即， 故④正确． 当时，，由图象可知抛物线过点，即， 故⑤错误． 故答案为：①②④． 根据所给函数图象，得出，，的正负，再结合抛物线的对称性及增减性依次进行判断即可． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 16．【答案】40米 【解析】【分析】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法是解题的关键． 以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得内侧抛物线的解析式，再把代入函数解析式则可知点、的横坐标，从而可得的长． 【解答】 解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图： ，，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， ， 故答案为：40米． 17．【答案】100 35 【解析】解：（1）∵被调查的总人数人， 支付宝的人数所占百分比，即， 故答案为：100、35； （2）网购人数为人，微信对应的百分比为， 补全图形如下： （3）根据题意画树状图如下： 共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一 样的概率为． （1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值； （2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，再根据概率公式计算可得． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 18．【答案】； ． 【解析】解：（1） ； （2） ． （1）先把特殊角的三角函数值代入，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可． 本题考查了实数的运算，特殊角三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19．【答案】见解析过程； 1：2；1：4． 【解析】解：（1）如图，为所求图形； （2）如图，为所求图形； （3）∵位似比为1：2， ∴与的周长比是1：2，面积比是1：4， 故答案为：1：2；1：4． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）由相似三角形的性质可求解． 本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的性质，掌握位似图形的画法是解题的关键． 20．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴的长为4． 【解析】（1）利用三角形外角的性质及可得出，结合即可证出； （2）利用相似三角形的性质可求出的长，再结合即可得出的长． 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AC的长． 21．【答案】解：如图，由题意可知，∠ORB＝36.9°， ∠ORA＝24.2°， 在Rt△AOR中，AR＝40，∠ORA＝24.2°， ∴OA＝sin∠ORA×AR ＝sin24.2°×40 ≈16.4（）， OR＝cos24.2°×40 ≈36.4（）， 在Rt△BOR中， OB＝tan36.9°×36.4≈27.3（）， ∴AB＝OB－OA ＝27.3－16.4 ＝10.9（）， 答：无人机上升高度AB约为10.9． 【解析】在不同的直角三角形中，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 22．【答案】解：（1）把A（1，2）代入y＝，得：m＝2， ∴反比例函数的解析式为y＝； 把B（－2，n）代入y＝，得：n＝－1， ∴B（－2，－1）， ∵一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，B两点，把点A（1，2）、B（－2，－1）代入得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝x＋1； （2）由可知的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴； （3）根据图象得：不等式的解集为或． 【解析】（1）把代入可得的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点坐标，再由、两点的坐标可得一次函数的解析式； （2）利用面积的和差关系可求解； （3）根据图象得出不等式的解集即可． 本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 23．【答案】解：（1）设半径为，连接， 由条件可知， ∵， ∴， 在中：， 解得：， 答：拱桥的半径为． （2）过作，交于点，连接， 由题得，， ， 在中：， ， 答：不能顺利通过这座拱桥． 【解析】（1）如图，设半径为，连接，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）过作，交于点，连接，由题得，，，在中根据勾股定理求出，再根据，即可解答． 此题考查了勾股定理和垂径定理的应用．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． 24．【答案】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式为， 得， 解得， 故日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式为：； （2）依题意，设利润为元， 得， 配方，得， 当时，取得最大值，最大值为， 故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为元，每日销售的最大利润是元． 【解析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式； （2）利用“每袋利润×日销量＝总利润”列出函数解析式，进而求出二次函数最值即可． 本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． 25．【答案】证明见解析；证明见解析． 【解析】（1）证明：连接，如图， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ； （2）证明：， ， ， ． ， ， ． （1）连接，利用直角三角形的性质得到，，利用圆周角定理 和三角形的外角的性质得到，则结论得证； （2）利用相似三角形的判定与性质解答即可． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 26．【答案】解：（1）抛二次函数经过，，， 将三点坐标代入解析式得， 解得：，，， 二次函数的解析式为：； 直线经过、两点，设直线解析式为：， 将、两点代入得， 解得：，， 直线解析式为：， 点是直线与轴交点， 令，则， ． （2）①点在直线上方， ， 由题知，， ， 当时，是最大值． ②存在，理由如下： ，， ∴∠BDP＝∠ACO， ∵△AOC是直角三角形， ∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以． （Ⅰ）当△BPD∽△AOC时， ∵∠AOC＝90°， ∴∠BPD＝90°， 此时轴，B、P关于对称轴对称， ∴P（3，3）； （Ⅱ）当△PBD∽△AOC时， ∴∠PBD＝∠AOC＝90°， ∴AB⊥PB， ∵， ∴， ∴直线BP的解析式为：y＝x＋2， 联立方程组得， 解得：或， ∴P（2，4） 综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4）． 【解析】（1）先求直线解析式，再求出点坐标，利用待定系数法即可求出解析式； （2）将、坐标用表示出来，用的纵坐标减去的纵坐标即可得出的关系式，从而求最值； （3）由得到是直角三角形，要使与相似，则也是直角三角形，分类讨论，画出草图．利用相似三角形的性质求解即可． 本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$