精品解析：河南许昌市建安区第三高级中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，，． B. ，，． C. ，，． D. ，，． 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可，解题的关键是正确理解三角形的三边关系． 【详解】、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，能组成三角形，符合题意； 故选：D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形三条高线的交点一定在三角形的内部 B. 三角形的外角等于两个内角之和 C. 在中，， 则为钝角三角形 D. 三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 【答案】D 【解析】 【分析】根据钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上，可判断A，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可判断B，根据三角形内角和为，可判断C错误，根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，可判断D． 【详解】A∵钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上， ∴不是所有三角形高线交点都在三角形内部，故A错误． B.∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴选项缺少限制条件，故B错误． C.∵三角形内角和为，， ∴最大角为， ∴是直角三角形，不是钝角三角形，故C错误． D.根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，故D正确． 3. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（ ） A. 25 B. 20 C. 15或25 D. 20或25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解此题的关键．分两种情况：当腰为5时，当腰为10时，利用三角形三边关系判断是否构成三角形，再根据三角形周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：当腰为5时， ， 不能构成三角形， 当腰为10时， ， 能构成三角形，周长为：， 故选：A． 4. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、构成三角形的条件，根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性即可． 【详解】解：A、已知，，，则直角三角形的斜边和一条直角边确定，满足，可知该三角形是唯一确定的，故此选项符合题意； B、已知，，，此条件为两边及其中一边的对角，可能存在两种不同三角形，无法唯一确定，故此选项不符合题意； C.、，，，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故此选项不符合题意； D、，，，未给出边长，无法唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 5. 在下列条件中：①；②；③；④，其中能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角形内角和为，将各条件中角的关系转化为同一角的倍数关系，计算是否存在直角． 【详解】解：①∵，， ∴，即， ∴为直角三角形，①符合题意； ②∵，， ∴， 解得， ∴， ∴为锐角三角形，②不符合题意； ③∵， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴为直角三角形，③符合题意； ④∵， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， ∴不是直角三角形，④不符合题意； 综上，符合条件的有2个． 6. 如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，，，求出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得，，，， ∴，， ∴， ∴． 7. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，则和的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义可得，即可求得，再根据三角形角平分线的定义可得，，即可求得． 【详解】解：是高， ， ， ， ， ， ，是角平分线， ，， ． 8. 如图，在中，，的平分线，相交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质与三角形内角和性质即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，的平分线，， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长，，过点作、，垂足为，过点作于点，首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再证明，由“角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”可知，进而可得，易得 平分，然后分别计算，的值，利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：如下图，延长，，过点作、，垂足为， 过点作于点， ∵平分，、， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①先证明，再证明，进而可依据“”判定；由此可对结论①进行判断；②根据①的结论正确得，再证明，进而可依据判定，进而根据全等三角形的性质可对结论②进行判断；③根据全等三角形性质得，再根据已知得，则，由此可得出的面积，进而可对结论③进行判断；④根据，，可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴为等腰直角三角形, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②正确， ③∵， ∴，， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴，故结论③正确， ④在中，， ∵， ∴， 故结论④正确， 综上所述：正确得结论是①②③④． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，已知网格图由4个相同的正方形组成，则________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，在中，是边上的中线，若的周长是12，，则的周长为________． 【答案】9 【解析】 【详解】解：已知在中，是边上的中线，所以， 则：的周长， ， ， 所以， 故：的周长 13. 如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【详解】解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 14. 如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积_______． 【答案】50 【解析】 【分析】证明，，即可求得，，，，即可求得梯形的面积和，，，的面积，即可得解． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 梯形的面积 ， ∴，， 图中实线所围成的图形的面积． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化−旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．通过旋转发现，，每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则点的坐标为 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，已知，，，则，请说明理由． 解：∵（ ）， ∴______， ∴______， 在和中， ， ∴____________（ ）， ∴（ ）， ∴． 【答案】已知；；；，，；；全等三角形对应角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，由全等三角形的性质可得，再根据同位角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】解：∵（已知 ）， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴（全等三角形对应角相等）， ∴． 故答案为：已知；；；，，；；全等三角形对应角相等. 17. 如图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，可证，再根据“”证，即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得，再根据外角的性质，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ， ， 则的度数为． 18. 如图，为的角平分线，与交于点，为外角的平分线，与相交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质推出，，则，据此可得答案； （2）根据（1）所求即可得到． 【小问1详解】 解：平分，平分， ，． ， ∴， ． ， ． ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得． 19. 如图，在中，，，为，边上一点，且，连接，． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）因为， 所以， 因为， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及全等三角形的判定证明即可； （2）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解，再由三角形内角和定理以及全等三角形的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 由，得． 20. 探究解题 （1）如图，在中，，，点为直线上方一点，连接，，且，过点作于点． ①试说明：； ②若，，求的长． 【问题解决】 （2）如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛，，，花坛内部设观景平台，满足，笔直小路延伸交花坛底边于点，从花坛顶点C修建休闲小道垂直于小路交的延长线于点，已知平分，线段长80米，求花坛内区域的面积．（观景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ② （2）花坛内区域的面积为． 【解析】 【分析】（1）①根据，，，得，再由同角的余角相等得出，即可证得； ②由，得，，即可求得的长． （2）由平分，得，再证得，得，然后，证得，得，最后，由面积公式即可求得区域的面积． 【小问1详解】 ①略 ②解：∵， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 答：花坛内区域的面积为． 21. 如图所示，相交于点O，． （1）若平分交于平分交于G，求的度数； （2）延长至点H，若直线平分交于F，平分交直线于M，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角的性质． （1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论； （2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论． 【小问1详解】 解：，，， ， ，， ． 平分交于，平分交于， ，． ，， ， ． 【小问2详解】 解：，平分交直线于， ， ，， ． 22. 根据要求完成以下问题： （1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）； （2）且， 证明：由（1）知，， ∴ ， ∴； （3）， 证明：如图，延长到，使得，连接， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点M，使，连接，利用“倍长中线法”构造全等三角形，再结合三角形的三边关系求解； （2）利用全等三角形的性质直接求解； （3）如图，延长到，使得，连接，由（2）知：，，进而证明，则． 【小问1详解】 解：如图，延长到点M，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形中，，，点，分别是，上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以40海里/时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 【答案】（1） （2）成立，理由如下， 解：延长到点，使，连接， ，， ， ，， ， ，，． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据边角边证明，推出，再利用边边边证明推出，结合图形通过等量代换即可求出 （2）根据平角的定义和，通过等量代换推出，根据边角边证明，推出，再利用边边边证明推出，结合图形通过等量代换即可求出． （3）根据题意可推出，利用平角的定义通过等量代换推出，结合已知条件，利用边角边证明推出和，再结合已知条件，利用边边边证明即可证明，利用，通过等量代换推出，结合图可知，从而求出度数． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， ，，． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作的延长线，使，连接，如图所示， 由题意可知，，，，，，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 由图可知，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，，． B. ，，． C. ，，． D. ，，． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形三条高线的交点一定在三角形的内部 B. 三角形的外角等于两个内角之和 C. 在中，， 则为钝角三角形 D. 三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 3. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（ ） A. 25 B. 20 C. 15或25 D. 20或25 4. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 在下列条件中：①；②；③；④，其中能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，则和的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，的平分线，相交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，已知网格图由4个相同的正方形组成，则________． 12. 如图，在中，是边上的中线，若的周长是12，，则的周长为________． 13. 如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 14. 如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，则点的坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，已知，，，则，请说明理由． 解：∵（ ）， ∴______， ∴______， 在和中， ， ∴____________（ ）， ∴（ ）， ∴． 17. 如图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 18. 如图，为的角平分线，与交于点，为外角的平分线，与相交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 19. 如图，在中，，，为，边上一点，且，连接，． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 20. 探究解题 （1）如图，在中，，，点为直线上方一点，连接，，且，过点作于点． ①试说明：； ②若，，求的长． 【问题解决】 （2）如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛，，，花坛内部设观景平台，满足，笔直小路延伸交花坛底边于点，从花坛顶点C修建休闲小道垂直于小路交的延长线于点，已知平分，线段长80米，求花坛内区域的面积．（观景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计） 21. 如图所示，相交于点O，． （1）若平分交于平分交于G，求的度数； （2）延长至点H，若直线平分交于F，平分交直线于M，求的度数． 22. 根据要求完成以下问题： （1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 23. 【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形中，，，点，分别是，上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以40海里/时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $