第十六章整式的乘法专题训练：规律探究型问题训练2025—2026学年人教版数学八年级上册

第十六章整式的乘法专题训练：规律探究型问题训练 一、单选题 1．观察下列式子：，，，…下列代数式中能表示其中蕴含规律的是（   ） A． B． C． D． 2．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如下图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（   ） A．10 B．12 C．14 D．60 3．观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．观察下列各式： ；；；…根据规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 5．观察下列等式： ； ； ； … 根据以上规律，计算的值是（   ） A． B． C． D． 6．请看杨辉三角（如图），并观察下列等式： 根据前面各式的规律，则的第三项系数是（   ） A．730 B．741 C．780 D．820 7．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（　　） A． B． C． D． 8．用正六边形瓷砖来铺设地板，以一块正六边形瓷砖为中心，按环状铺设，每次铺设时最外侧的边需一块新的正六边形瓷砖与它衔接，如图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，如图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，如图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，按此规律排列下去，则铺设六环需（   ）块正六边形瓷砖． A．81 B．91 C．96 D．187 9．观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 10．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”，根据图中的规律，若，则（    ）         2        3     3        4    6     4     A．64 B． C．56 D． 二、填空题 11．按一定规律排列的代数式：1，，，，，…，第4049个代数式是 12．我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在（为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按的次数由大到小的顺序排列），人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是 ．                                            1                                   1   1                         1  2  1              1  3  3  1 1  4  6  4  1                 ……                             …… 13．下图是由大小相同的三角形摆放而成的，第个图中有个三角形，第个图中有个三角形，第个图中有个三角形，第个图中有个三角形依此规律，第个图形有 个三角形． 14．观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为 ． 15．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年．观察下列各式及其展开式，请写出展开式中的第三项 ． 1  1             1  2  1             1  3  3  1         1  4  6  4  1         …… 三、解答题 16．观察下列关于自然数的等式：             ①             ②             ③ …… 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第个等式：______________________； (2)请写出第个等式：______________________； (3)写出第个等式（为正整数），并验证其正确性． 17．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，因此这三个数都是“智慧数”． (1)根据“智慧数”的定义，请判断除外的所有奇数______“智慧数”；（填“是”或“不是”） (2)如图，拼叠的正方形边长是从开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形，其边长为（为正整数），请用含的代数式表示阴影部分的面积；（要求：需写出必要的化简过程） (3)若为正整数，则是“智慧数”．请判断该命题的真假，并说明理由． 18．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． (1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； (2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； (3)若，请求出的值． 19．[推理主题]探究“能表示为两个正整数的平方差的整数”： [举例、观察]， （1）（i）按上述规律填空：； （ii）一般性结论：_____；（为正整数） [猜想、论证]兴趣小组对此问题进一步进行探究： （2）猜想：（i）若正整数是4的倍数，则能表示为两个连续偶数或两个连续奇数的平方差． （ii）整数是正整数、之积，且、同为偶数或奇数，则可以表示为两个正整数的平方差． 请你论证以上两个猜想的正确性，写出证明过程． 20．阅读材料：北师大版七年级下册教材页为大家介绍了杨辉三角． 如果将为非负整数的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行多个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 项；写出的第三项的系数是 ； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十六章整式的乘法专题训练：规律探究型问题训练2025—2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A A C B B D B 1．A 【分析】本题考查规律型：数字的变化，解题的关键是观察题目中的各式子的结果发现其中的规律，运用类比的数学思想得到类似的规律． 观察各算式中的乘数及乘积规律，发现两个乘数的十位数字相同，个位分别为4和6，乘积末两位恒为24，前几位为十位数字与其下一个数的乘积． 【详解】解：两个十位数字相同，个位数字分别为4和6的两位数相乘，设十位数字为，则两乘数分别为和． 计算乘积：， 验证选项A的等式成立，且符合所有例子中的规律． 其他选项展开后均无法匹配该规律， 故选：A． 2．B 【分析】本题考查整式乘法运算的规律探究，解题的关键是：熟练掌握杨辉三角的规律．根据题意得到规律并利用规律求解即可得到答案． 【详解】根据杨辉三角可知，， ∴展开式中含项是展开式中第二项， ∴展开式中含项的系数是：， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键．根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ， ． ，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环． ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了平方差公式，数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 【详解】解：根据题意可知， ， 当，时， ， ， ， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 根据规律求出的值，再减去1即可解答． 【详解】解：∵； ； ； …… （为正整数） ∴ 当时， ∴ 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，完全平方公式，数学常识．从数字找规律进行计算，即可解答． 【详解】解：的第三项系数为：1； 的第三项系数为：； 的第三项系数为：； …， 的第三项系数， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律：先计算，然后再计算所给式子即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴原式． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查图形规律，解题的关键是根据图形找到规律，结合图形每向外增加一环，找出正六边形增加的个数，找出规律，即可解答． 【详解】解：图①铺设一环需1块正六边形瓷砖， 图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，即（块）， 图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，即（块）， 如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，即（块）， 按此规律排列下去， 铺设环需块正六边形瓷砖； 则铺设六环需块正六边形瓷砖． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查数字类规律探索以及幂的乘方，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：．由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可． 【详解】∵； ； … ∴， ∴ ， ∵ ∴， ∴原式． 故选：D． 10．B 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，分别令和，求出代数式的值，两式相加，进行求解即可． 【详解】解：∵ 令，则①， 令，则②， 由得， ∴， 故选B． 11． 【分析】本题主要考查了规律题，正确分析得出规律的变化情况是解题的关键； 先确定系数及字母指数的变化规律，进而得出答案． 【详解】解：因为第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， 所以第4049个式子为 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了多项式乘法规律探究，找到规律是解决本题的关键． 观察第二项的系数和和多项式指数相同，即可求解． 【详解】解： 则展开式中含项的系数是， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了图形的变化类，分析发现规律是关键．观察图形变化规律，每个图形三角形个数都可以写成，据此规律解题． 【详解】解：，第个图中有个三角形， 第个图中有个三角形， 第个图中有个三角形， 第个图中有个三角形 依此规律， 第个图形有个三角形． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索、求代数式的值，由题意得出根据，结合，得到，求出，代入到代数式求值即可． 【详解】解：∵，，… ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律问题．每个单项式的次数都等于左边式子的次数，第一个单项式的底数为a，各项是按a的降幂，b的升幂排列的，系数依次为杨辉三角中的数，依此规律写出即可． 【详解】解：根据杨辉三角中的数字规律可得， ∴， ∴展开式中的第三项是， 故答案为：． 16．(1) (2) (3)（为正整数），理由见解析 【分析】本题考查数字变化的规律， （1）根据所给等式，观察各部分的变化规律，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题； 根据所给等式用表示第个等式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， …， 观察各部分的变化规律可知， 第个等式可表示为：（为正整数）， 当时，得：， ∴第个等式为， 故答案为：； （2）由（1）知： 当时，得：， ∴第个等式为， 故答案为：； （3）由（1）知：第个等式可表示为（为正整数）， 验证如下： 左边 右边， ∴等式成立． 17．(1)是 (2)阴影部分的面积为 (3)该命题为假命题，理由见解析 【分析】本题主要考查新定义，整式的混合运算，数字规律的计算，掌握以上知识的计算法则是关键． （1）根据材料提示内容即可求解； （2）根据图形面积，结合材料提示方法求解即可； （3）根据题意若是“智慧数，则必有两个正整数、，使得，结合材料提示，平方差公式的计算判定即可求解． 【详解】（1）解：， ∴根据“智慧数”的定义，除1外的所有奇数是“智慧数”， 故答案为：是； （2）解：方法一： ∵ ， ∴阴影部分的面积为． 方法二： ∵ ， ∴阴影部分的面积为． （3）解：方法一： 该命题为假命题，理由如下： ∵若是“智慧数，则必有两个正整数、，使得， ∴， ∵、是两个正整数， ∴、同为偶数或同为奇数， ∴是4的倍数或奇数， 又∵不是4的倍数，也不是奇数， ∴不是“智慧数”， ∴该命题为假命题． 方法二：（举反例） 该命题为假命题，理由如下： ∵当时，，且， 又∵若6是“智慧数，则必有两个正整数、，使得， ∴， ∵、是两个正整数， ∴、同为偶数或同为奇数， 又∵、都是奇数乘偶数， ∴6不是“智慧数”， ∴该命题为假命题． ∵当时，，而6不是智慧数， ∴该命题为假命题． 18．(1) ， (2)； (3) 【分析】本题考查杨辉三角，找规律展开（为正整数），读懂题意，理解杨辉三角与（为正整数）展开式各项的系数关系规律是解决问题的关键． （1）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案；将等式中的“”代换成“”即可得到的展开式； （3）分别令和，得出即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）解：∵， 当时， ∴ 即① 当时， 即② ①+②得， 即 ∴ 19．（1）（i），（ii）；（2）（i）见解析；（ii）见解析 【分析】本题主要考查了数字规律探究，整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则． （1）（i）按照数字规律进行解答即可； （ii）根据给出的等式，结合完全平方公式，进行解答即可； （2）（i）根据正整数是4的倍数，设，分两种情况：当为偶数时，当为奇数时， （ii）根据，得出，根据正整数同为偶数或奇数，得出都是偶数，进行求解即可． 【详解】解：（1）（i）； （ii）； （2）（i）证明：正整数是4的倍数， 设， 当为偶数时，和为连续奇数； 当为奇数时，和为连续偶数； 能表示为两个连续偶数或两个连续奇数的平方差． （ii）， ， 正整数同为偶数或奇数， 都是偶数， 都是整数， 都是正整数， 可以表示为两个正整数的平方差． 20．(1)六， (2)① ；② 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． 通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是，，，，，，，从而得到答案； 通过观察可知，，从而得出答案； 写出的展开项，从而算得的系数； 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是，，，，展开式有六项， 系数分别是，，，，，展开式有七项，系数分别是，，，，，，， 故答案为：六，； （2）①由（1）发现 故答案为：； ，理由如下： 展开后共项，第一项是：， 第二项是：， 第三项是：， 第四项是：， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$