专题1.9空间向量与立体几何50道计算题专项训练（5大题型）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选修第一册）

专题1.9空间向量与立体几何50道计算题专项训练（5大题型） 题型一 空间向量的加减数乘运算 题型二 由空间向量共线、共面求参数 题型三 空间向量的坐标运算 题型四 空间角的计算 题型五 空间距离的计算 【经典计算题一 空间向量的加减数乘运算】 1．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示是一个平行六面体，化简．    【答案】 【分析】根据向量平行四边形法则运算即可； 【详解】因为底面是一个平行四边形， 所以， 又因为， 因此 2．（24-25高二·全国·课后作业）在长方体中，化简－＋－＋－ 【答案】. 【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据向量的线性运算法则，可得： 3．（23-24高二上·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案； （2）根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】（1） . （2） . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，化简向量表达式：    (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）. （2）因为，， 所以. 5．（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图中表示见解析 (2)，图中表示见解析 (3)，图中表示见解析 【分析】（1）（2）（3）利用空间向量的加减法的运算法则和几何意义化简． 【详解】（1）解：. （2）解：因为是的中点，所以，又， 所以. （3）解： 6．（2022高二上·全国·专题练习）已知在空间四边形中，是的重心，分别为边和的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解； （3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解； 【详解】（1）解：根据空间向量的运算法则，可得 . （2）解：根据空间向量的运算法则，可得. （3）解：根据空间向量的运算法则，可得， 在中，，则， 即，所以． 7．（2024高二·全国·专题练习）如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式． (1)＋. (2)＋－. (3)＋＋ (4)＋＋＋＋. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用向量的加法的三角形法则直接求解， （2）由于，代入再利用向量加法的三角形法则求解 （3）利用向量加法的平行四边形法则和三角形法则结合平行六面体的性质求解 （4）利用向量的加法的三角形法则直接求解 【详解】（1）＋＝. （2）因为平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点， 所以 ＋＝＋＝. （3）因为＋＝ 所以＋＋＝＋＝ （4）＋＋＋＋＝ 8．（2425高二·全国·课后作业）如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体． （1）化简结果用表示并在图上标出该结果（点明E，F的具体位置）； （2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C11B，设，试求α，β，γ的值． 【答案】（1）；作图见解析；（2），，． 【分析】（1）取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，再根据向量的线性运算计算即可； （2）通过，，表示，根据对应关系求出α，β，γ的值即可． 【详解】解（1）取AA1的中点E，在D1C1上取一点F， 使得D1F＝2FC1，连接EF， 则． （2） （）（） ， 所以，，γ 9．（24-25高二·江苏·课后作业）如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线，加法与减法运算求解即可； （2）根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可； （3）根据化简求值即可. 【详解】（1）解：因为为的重心，为边的中点， 所以 ， 所以 （2）解：因为分别为边和的中点， 所以 （3）解： 10．（23-24高二上·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算法则运算即可； （2）根据空间向量的运算法则运算即可求解； 【详解】（1）根据空间向量的运算法则，可得 . （2）分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有 根据空间向量的运算法则，可得.    【经典计算题二 由空间向量共线、共面求参数】 1．（23-24高二上·上海·课后作业）已知向量平行于向量，求、. 【答案】. 【分析】根据向量共线定理的坐标式，建立方程，即可求解. 【详解】若，则，由可知与不平行，不符合题意， 若，且，， ， 解得. 2．（22-23高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【答案】. 【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答. 【详解】因为，，则有， 又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线， 因此，解得， 所以实数k的值是. 3．（22-23高二·江苏·课后作业）已知点，，在同一直线上，求的值． 【答案】 【分析】首先表示出，的坐标，再依题意可得，即存在实数，使得，即可得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，，， 所以， 因为在同一直线上，所以，即存在实数，使得， 所以，所以，解得， 所以. 4．（22-23高一·全国·课后作业）已知点，，在直线上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】 【解析】设，，，进而得，，再结合向量相等求解即可. 【详解】解：设，，， 点，， ∴， ∵ ∴ ， ，解得，，， ． 5．（22-23高二上·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 【答案】(1)0 (2)6 【分析】（1）为正的中心，利用空间向量的线性运算，把用表示，可求的值； （2）根据已知条件，把用表示，由，，，共面，可求的值. 【详解】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心， ∴， ∴，，，∴. （2）因为，且，，， 所以，即， 因为，，，共面，所以，即. 6．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知空间中三点，， (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 【答案】(1)，或. (2) 【分析】（1）可求.由已知可设，通过解出，代入即可；（2）由已知得，四点共面，则存在唯一一组实数对，使得成立，代入坐标得到方程组，求解即可得到m的值. 【详解】（1）由已知得，， 因为，设，则， 所以，或. （2）由已知得，， 点在平面ABC上，则存在唯一一组实数对， 使得成立，即， 解得，所以 7．（23-24高二上·甘肃平凉·期末）已知向量，，. （1）若，求的值； （2）若、、、四点共面，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据，利用向量垂直时，数量积为，即可得的值； （2）根据、、、四点共面，得，，使得，利用坐标运算，即可得的值. 【详解】（1），得，， ，，解得； （2）由、、、四点共面，得，，使得，， ，，解得. 【点睛】本题主要考查的是空间向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，点共面的向量运算，考查学生的理解能力，计算能力，是基础题. 8．（22-23高二·全国·课后作业）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是BC，的中点，点G在AB上，． （1）已知上底面内一点H满足，求的长． （2）棱上是否存在一点K，使得GK，EF共面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 的长为 【分析】（1）根据正方体的特点，建立空间直角坐标系，会简化很多，表示出点 的坐标，利用求出其坐标，再根据模的计算公式求解； （2）根据共面的基本定理，存在实数 满足，求出 值，即可求出K的坐标，及的长. 【详解】 建立如图空间直角坐标系， 则 , （1）因为 ,点 分别是 的中点， 所以 ，设 ,则 ， ，因为 ，所以 ，解得 ， 所以 ,所以 ,所以 ， 即 的长为 . （2）假设存在满足条件的点 ，设 , 则 . 因为 共面， 所以存在实数 满足 ， 即 ， 得 解得 ，所以 ,所以 , , 所以存在点，使得 共面，且 的长为 . 9．（23-24高二·全国·课后作业）已知＝(5,3,1)，＝且与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由与的夹角为钝角可得与的数量积小于零，排除反向向量的情况即可得结果. 【详解】由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－. 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且〈a，b〉≠180°. 由a·b＜0，得3t－＜0，所以t＜. 若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)， 即(5,3,1)＝λ，所以 解得t＝－. 所以t的取值范围是∪. 【点睛】本题主要考查空间向量的夹角，以及空间向量数量积公式的性质与应用，属于中档题.本题的易错点是：当两个向量方向相反时，其数量积也小于零，此时不合题意. 10．（23-24高二上·全国·单元测试）已知向量. （1）若，求的值; （2）以坐标原点为起点作，求点到直线的距离. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算与平行满足的性质求解即可； （2）先求在上的投影，再根据勾股定理求解即可 【详解】（1），                         ∵ ∴，即，                                解得.                                                 （2）由条件知， ∴                                               故在上的投影为 ，又 ∴点到直线的距离. 【经典计算题三 空间向量的坐标运算】 1．（22-23高二·全国·课堂例题）已知,,求,,. 【答案】;; 【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为,, 所以 . . . 2．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知，求 【答案】 【分析】根据空间向量的坐标运算逐项运算求解. 【详解】因为， 则： ； . 3．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）利用空间向量坐标的线性运算可得结果； （3）利用空间向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】（1）. （2）. （3）， 所以. 4．（24-25高二下·全国·课前预习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求在基下的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据给定的平行六面体，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）利用给定的基底表示，再利用空间向量基本定理求出坐标. 【详解】（1）在平行六面体中，连接，，，，如图，   ， ． （2） ， 因此，，， 所以在基下的坐标为． 5．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标； （2）利用向量的坐标运算加法和减法即可. 【详解】（1）由已知， 则，，； （2）， . 6．（22-23高二·全国·课后作业）已知，求. 【答案】，，，， 【分析】利用空间向量线性运算与数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由题意， ， ， ， ， . 7．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【答案】(1)2 (2)－1 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【详解】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 8．（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    【答案】. 【分析】利用空间坐标系中向量坐标求法，结合向量的运算进行求解. 【详解】易知的中线长为，则， ， 设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为， 则， . .    9．（22-23高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3）. 10．（22-23高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）已知向量，，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)2 (3)4 【分析】（1）根据空间向量的坐标的线性运算即可求解， （2）（3）根据空间向量数量积的坐标运算即可求解， 【详解】（1）由，得 （2） （3） 【经典计算题四 空间角的计算】 1．（2024高三·全国·专题练习）四面体中，两两垂直，，的中点为与所成角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】． 【分析】 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，根据所成角的正切值求得，再求所成角的余弦值即可. 【详解】 根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，为坐标原点，设，    则，故， 设与所成的角为，则，∴， 于是，解得，故； 设与所成的角为，∵， ∴，∴与所成角的余弦值为． 2．（23-24高三上·福建福州·期中）如图，在长方体中，为中点，． (1)求； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，令， 则，，，，， 所以，， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以. （2）由（1）可得，，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 设二面角为，所以， 所以，即二面角的正弦值为. 3．（22-23高二下·河南洛阳·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，且直线PB与CD所成角的大小为．    (1)求BC的长； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系．由已知求得，，，的坐标，再由直线与所成角大小为列式求得值，则的坐标可求，即可求得的长； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值． 【详解】（1）由于平面ABCD，，所以两两垂直，故分别以,,所在直线为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系． ，,0,，,0,，,1,，,0,． 设,,，则,0,，,,． 直线与所成角大小为， ， 即，解得或（舍， ,2,，则的长为2； （2）设平面的一个法向量为,,． ,0,，,1,，, ，令，则，，,1,． 平面的一个法向量为， ，令，则，，, ， 由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角， 二面角的余弦值为．    4．（2023·山西·模拟预测）如图，在三棱锥中，底面．，D为中点，且． (1)求的长； (2)求锐二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，根据得到方程组，解得、，即可求出的坐标，再求出，即可得解； （2）利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为底面，如图建立空间直角坐标系， 设，，，，所以，， 所以，即，解得或（舍去）， 所以，所以，所以，即的长为. （2）因为， 设平面的法向量为，则，令，则， 由（1）可知，， 设平面的法向量为，则，令，则， 所以，即锐二面角的余弦值为. 5．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，． (1)求直线与直线所成角的余弦值． (2)若在线段上存在一点D，且= t，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由勾股定理逆定理得到，再根据直棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值； （2）依题意可得，，求出、的坐标，依题意可得，则，即可得到方程，解得即可； 【详解】（1）解：在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，． 所以，所以， 又平面， 以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为； （2）解：依题意，， 因为，， 所以 因为， 则， 解得， 所以． 6．（23-24高二上·吉林松原·阶段练习）如图，在长方体中，，．若在上存在点，使得平面． (1)求的长； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间坐标系，设，令即可求出的值； （2）求出平面的法向量，计算其和的夹角即可得求解. 【详解】（1）以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则，，，，0，，，0，，，2，，，0，， ，2，，，2，，，，， 平面， ，即，解得， . （2）由（1）可知，，为平面的法向量， 又，，则， 设直线与平面所成角为， 则 7．（23-24高二下·广东湛江·开学考试）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6，底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD，BC平行于x轴，AB，CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上，点M，N分别在线段PA，BD上，且． （1）求直线MN与PC所成角的大小； （2）求锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，然后求出M，N，P，C点坐标，根据点坐标即可求出直线MN与PC所成角的大小； （2）首先求出平面APN与平面PND的法向量，根据二面角公式即可求出二面角A﹣PN﹣D的余弦值. 【详解】解：（1）如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6， ，，，，， 设，， 由，得，， 即，所以，，， 由，得，故， 所，， 所以， 所以直线MN与PC所成的角为； （2）因为AC平面PBD，设平面PBD的法向量， 设平面PAN的法向量为，，， 由，得，故， 所以， 故锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值为． 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解几何体中线线角与面面角，属于一般题. 8．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点. (1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置. 【答案】(1) (2)点为的中点 【分析】（1）由题设条件建系，表示出相关点，分别计算坐标和平面的法向量坐标，利用线面所成角的空间向量计算公式即得； （2）在原有坐标系中，设出参数表示出点的坐标，分别计算平面与平面的法向量，利用面面所成角的空间向量计算公式列出方程解之即得. 【详解】（1） 如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则 于是，,设平面的法向量为， 则 故可取.设直线与平面所成角为， 则 即直线与平面所成角的正弦值是. （2） 如图，设，，则，因，故，解得：， 则,设平面的法向量为， 则故可取. 又,设平面的法向量为， 则故可取. 设平面与平面的夹角为，则， 解得：或，因，故，即当点为的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 9．（22-23高二上·广东佛山·期末）如图，在多面体ABCDE中，平面平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，，， (1)若，求BD与平面ACDE所成角的正弦值； (2)若平面BDE与平面BCD的夹角为，求AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建系，利用空间向量求线面夹角； （2）分别求平面BDE、平面BCD的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）由题意可知：，平面平面ACDE，平面平面， 可得平面ACDE， 如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 且平面ACDE的一个法向量为， 若，则，可得， ∵， 故BD与平面ACDE所成角的正弦值为. （2）设，平面BCD的法向量， ∵，则， 令，则，∴取， 设平面BDE的法向量， ∵，则， 令，则，∴取， 由题意可得：，解得或（舍去）， 故AB的长为. 10．（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，，点为棱上一点，且. (1)若平面，求实数的值； (2)若平面，求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，表达出，求出平面的法向量，从而，列出方程，求出； （2）求出平面的法向量，结合第一问得到的，列出方程组，求出，从而利用线面角的正弦值求解公式得到答案. 【详解】（1） 因为底面，平面， 所以BC，AB， 又因为， 所以两两垂直， 以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 因为，，，，， 所以，设， 故，解得：， 故，， 设平面的法向量为， 则， 令，解得：， 故， 由题意得：，即， 解得：； （2）设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由于平面，所以，设， 即，解得：， 故， 由（1）得：平面的法向量为， 设直线和平面所成角的正弦值为， 故， 直线和平面所成角的正弦值为. 【经典计算题五 空间距离的计算】 1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）如图，在正方体中，分别是的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用线面夹角正弦值的计算公式求解即可； （2）由（1）得出平面的法向量和，然后利用向量直接求解点到面的距离即可. 【详解】（1）由题知，以为原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设直线与平面所成角为， 平面的法向量为，， 则得，取，则， 得平面的一个法向量为，向量， 则. （2）由（1）知，平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为. 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，即可证明平面，建立空间直角坐标，利用空间向量法求出点到直线的距离； （2）求出直线与的方向向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以为正三角形，所以, 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 所以，， ， 则点到直线的距离. （2）因为，． 所以． 所以异面直线与BD所成角的余弦值为． 3．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，点为棱DF的中点. (1)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值； (2)求点到平面ACP的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得两平面夹角的余弦值； （2）利用点到平面距离的向量求法计算可得结果. 【详解】（1）由直线平面平面ABCD，得， 由矩形ABCD，得， 以为原点，直线AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 可得 设平面BCF的一个法向量， 则，令，得， 设平面APC的一个法向量为，则， 令，得， 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. （2）由（1）知，平面APC的一个法向量， 而， 所以点到平面ACP的距离. 4．（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）已知经过点的平面的法向量为，求点到平面的距离． 【答案】 【分析】先求得，根据题意利用空间向量求点到面的距离. 【详解】由题意可得：， 所以点P到平面的距离为． 5．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可求解； （2）结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）   ，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设为面PEF的法向量，， 令，则，，，， 设点D到平面PEF的距离为d，则． （2）因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 6．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，则，利用空间向量垂直的坐标表示列式求解即可； （2）先求出平面的法向量，再利用空间点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设，由已知可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以.即的长度为6. （2）设平面的法向量为，且， 则有，即，令得， 又， 所以点D到平面的距离. 7．（2024高三·全国·专题练习）在单位正方体中，、分别是、的中点.求点到平面的距离. 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，然后代入点到平面距离的向量计算公式求解即可. 【详解】建立如图的空间直角坐标系， 则、、、， 于是，. 设平面的法向量为. 由，，得，. 令，则，，得. 又，则点到平面的距离为. 8．（23-24高二上·天津和平·期末）三棱台 中，若面，，，， 是中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求两个平面夹角的余弦值； （2）向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）面，， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，得， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成夹角为，， ，所以， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为； （2）， 点到平面的距离， 点到平面的距离为. 9．（23-24高二上·重庆·期末）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．在如图所示的“阳马”中，侧棱底面ABCD，．记的重心为G． (1)求点G到平面PBC的距离． (2)求平面GBD与平面PBC夹角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方形的性质，结合线面垂直的性质建立空间直角坐标系，利用空间点到面距离公式进行求解即可； （2）利用空间夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为底面为长方形， 所以，又因为底面ABCD，底面ABCD， 所以， 以点A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系 则 所以重心 设平面PBC的法向量为 所以点G到平面PBC的距离为： （2），设平面GBD的法向量为 设平面GBD与平面PBC的夹角为， 则． 10．（2023高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，和交于点为的中点.求点A到平面的距离. 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再利用点面距离公式即可得解． 【详解】如图建立空间直角坐标系，因为长方体中,， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，可得. 所以点A到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.9空间向量与立体几何50道计算题专项训练（5大题型） 题型一 空间向量的加减数乘运算 题型二 由空间向量共线、共面求参数 题型三 空间向量的坐标运算 题型四 空间角的计算 题型五 空间距离的计算 【经典计算题一 空间向量的加减数乘运算】 1．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示是一个平行六面体，化简．    2．（24-25高二·全国·课后作业）在长方体中，化简－＋－＋－ 3．（23-24高二上·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，化简向量表达式：    (1)； (2)． 5．（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1)； (2)； (3). 6．（2022高二上·全国·专题练习）已知在空间四边形中，是的重心，分别为边和的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量． (1)； (2)； (3) 7．（2024高二·全国·专题练习）如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式． (1)＋. (2)＋－. (3)＋＋ (4)＋＋＋＋. 8．（2425高二·全国·课后作业）如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体． （1）化简结果用表示并在图上标出该结果（点明E，F的具体位置）； （2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C11B，设，试求α，β，γ的值． 9．（24-25高二·江苏·课后作业）如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 10．（23-24高二上·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. (1)； (2). 【经典计算题二 由空间向量共线、共面求参数】 1．（23-24高二上·上海·课后作业）已知向量平行于向量，求、. 2．（22-23高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 3． （22-23高二·江苏·课后作业）已知点，，在同一直线上，求的值． 4．（22-23高一·全国·课后作业）已知点，，在直线上有一点，使得，求点的坐标． 5．（22-23高二上·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 6．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知空间中三点，， (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 7．（23-24高二上·甘肃平凉·期末）已知向量，，. （1）若，求的值； （2）若、、、四点共面，求的值. 8．（22-23高二·全国·课后作业）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是BC，的中点，点G在AB上，． （1）已知上底面内一点H满足，求的长． （2）棱上是否存在一点K，使得GK，EF共面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 9．（23-24高二·全国·课后作业）已知＝(5,3,1)，＝且与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 10．（23-24高二上·全国·单元测试）已知向量. （1）若，求的值; （2）以坐标原点为起点作，求点到直线的距离. 【经典计算题三 空间向量的坐标运算】 1．（22-23高二·全国·课堂例题）已知,,求,,. 2.（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知，求 3．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 4．（24-25高二下·全国·课前预习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求在基下的坐标． 5．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 6.（22-23高二·全国·课后作业）已知，求. 7．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 8．（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    9．（22-23高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 10．（22-23高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）已知向量，，，求： (1)； (2)； (3). 【经典计算题四 空间角的计算】 1．（2024高三·全国·专题练习）四面体中，两两垂直，，的中点为与所成角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值． 2．（23-24高三上·福建福州·期中）如图，在长方体中，为中点，． (1)求； (2)求二面角的正弦值． 3．（22-23高二下·河南洛阳·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，且直线PB与CD所成角的大小为．    (1)求BC的长； (2)求二面角的余弦值． 4．（2023·山西·模拟预测）如图，在三棱锥中，底面．，D为中点，且． (1)求的长； (2)求锐二面角的余弦值． 5．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，． (1)求直线与直线所成角的余弦值． (2)若在线段上存在一点D，且= t，当时，求t的值． 6．（23-24高二上·吉林松原·阶段练习）如图，在长方体中，，．若在上存在点，使得平面． (1)求的长； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 7．（23-24高二下·广东湛江·开学考试）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6，底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD，BC平行于x轴，AB，CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上，点M，N分别在线段PA，BD上，且． （1）求直线MN与PC所成角的大小； （2）求锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值． 8．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点. (1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置. 9．（22-23高二上·广东佛山·期末）如图，在多面体ABCDE中，平面平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，，， (1)若，求BD与平面ACDE所成角的正弦值； (2)若平面BDE与平面BCD的夹角为，求AB的长. 10．（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，，点为棱上一点，且. (1)若平面，求实数的值； (2)若平面，求直线和平面所成角的正弦值. 【经典计算题五 空间距离的计算】 1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）如图，在正方体中，分别是的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 3．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，点为棱DF的中点. (1)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值； (2)求点到平面ACP的距离. 4．（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）已知经过点的平面的法向量为，求点到平面的距离． 5．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 6．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 7．（2024高三·全国·专题练习）在单位正方体中，、分别是、的中点.求点到平面的距离. 8．（23-24高二上·天津和平·期末）三棱台 中，若面，，，， 是中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 9．（23-24高二上·重庆·期末）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．在如图所示的“阳马”中，侧棱底面ABCD，．记的重心为G． (1)求点G到平面PBC的距离． (2)求平面GBD与平面PBC夹角的大小． 10．（2023高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，和交于点为的中点.求点A到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$