第一章空间向量与立体几何重难点检测卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册重难点专题提升精讲精练

第一章空间向量与立体几何重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2025高二·全国·专题练习）点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式求解即可. 【详解】设平面的法向量，，， 则，得， 取，则，所以平面的法向量为． 又平面的法向量可取，所以， 故选：C． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】两直线的方向向量的夹角与两直线所成的角相等或互补，结合题中条件得到，根据向量夹角的坐标表示，即可求解． 【详解】因为为直线的方向向量，为直线的方向向量，与的夹角的余弦值为， 所以，解得． 故选：C 3．（24-25高二下·广西河池·期末）已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合向量的夹角公式，求得，进而求得直线与直线所成的角，得到答案. 【详解】由空间四点，，，， 可得，则， 设直线与直线所成的角为，其中， 则，可得， 所以直线与直线所成的角为. 故选：A. 4．（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，则，根据向量加法的几何性质求出的取值范围即可求解. 【详解】取的中点，由题意则， 所以， 又因为，所以，当且仅当方向相同时等号成立； ，当且仅当方向相反时等号成立， 因为正四面体的棱长为2，所以在中，，，， 所以，即， 所以，， 又，所以，即， 所以的最大值为, 故选：B 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间直角坐标系中三个顶点坐标分别为，，，是边上的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意，设，可得，再根据是边上的高，计算，最后得和. 【详解】因为，，，所以，． 因为点在边上，所以设， 则． 由是边上的高可得，解得， 所以， 所以． 6．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 【答案】A 【分析】首先求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【详解】因为向量在面上的投影向量为， 则. 因为在向量上的投影向量为， 则. 所以. 所以向量的夹角为. 故选：A. 7．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）在平行六面体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】， 又，，，， ， ； 故选：A 8．（24-25高二下·江苏·期末）在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意选为一组基底，利用空间向量基本定理，先表示，利用即可求解. 【详解】由题意有：， ， 所以， 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以，故．故D错误. 故选：ABC 10．（25-26高二上·全国·单元测试）如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，且平面，则 D．平面与平面所成锐二面角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求解判断各选项. 【详解】由题意可知两两垂直，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，． 列表解析 ： 选项 正误 原因 A √ ，又，故 B × ，，则，所以不垂直． C √ ，，则．而，，设为平面FGD的法向量，则则可取．若平面，则与平面的法向量垂直，所以，即，解得． D √ 易得为平面的一个法向量，又为平面的一个法向量，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 故选：ACD. 11．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（       ） A．若，则点在平面上 B．若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C．若，则的最小值为 D．若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为 【答案】AD 【分析】对于A，当时，可得，可判断A；平面，可得的值最大时，与面所成角最小，可判断B；利用等体积法可求得最小值判断C；求得轨迹长可判断D. 【详解】对于A，当时，可得，所以， 所以点在平面上，故A正确； 对于B，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，且时，点在直线上，到平面的距离为定值， 要使与面所成角最小，则的值最大，由题意， 故，直线与所成角无限趋于零，故正切值无限趋于零，故B错误； 当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离， 由勾股定理可得，， ， 由余弦定理可得， 所以，所以， 设到平面的距离为，由， 得，所以， 解得，故C错误； 当，即在表面内的轨迹是以为圆心，4为半径的一段圆组弧， 圆弧交于点，可得，所以， 所以，所以， 当在表面内时，由，所以的轨迹是以为圆心， 2为半径的圆的，所以轨迹长度为， 在平面内的轨迹与在内的相同为， 在平面内轨迹是以为圆心，4为半径的圆的，所以轨迹长度为， 所以若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为，故D正确. 故选：AD. 3、 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2025高二·全国·专题练习）在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为 ． 【答案】/ 【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，由二面角确定点轨迹为平面与平面的交线，与轴交点为，标注出相关点坐标，并求出平面、平面的法向量，应用向量法及面面角大小列方程求参数，最后应用坐标法求向量的模即可得. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，    因为二面角的平面角大小不变，所以点轨迹为平面与平面的交线， 设点的轨迹与轴的交点坐标为，又，， 则，，，且平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则，取，得， 设为二面角，即的平面角，则，解得， 所以动点的轨迹长度. 故答案为： 13．（25-26高二上·全国·单元测试）在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 【答案】 0 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标, ，当时，，．，．从而当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，，， ，， 所以当时，，． 因为，，所以， 所以，，． 所以， 所以，． 当时，取得最小值，最小值为1； 当或，时，取得最大值，最大值为． 所以． 故答案为：0，    14．（25-26高二上·全国·期中）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．    【答案】 【分析】以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的平面角为60°建立方程求解即可． 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得． 故答案为：.    4、 解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四面体的，，，，，. (1)求点到平面的距离； (2)求点到平面的距离； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可得在平面ACD上射影为角平分线，则到平面的距离为的高，然后由题意得到各边长，可得答案. （2）由（1）结合等体积法可得答案； （3）法1，由（1）结合等体积法可得答案；法2，设，其中，则最小值即为所求. 【详解】（1）因， 则在平面ACD上射影为角平分线， 则到平面的距离为的边上的高. 则， 从而. 由角平分线定理可得，结合. 则，. ，， ， 从而，， 则， 则， 则； （2）由（1），， 其中为点到平面的距离.则. 因，，则； （3）法1，由（1），， 其中为点到平面的距离.则. 因，则， 从而，则； 法2，设为平面的任意一点， 则，其中. ， 注意到， 则，从而 . 当且仅当时取等号，则. 故所求距离是. 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，． (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的余弦值； (4)求二面角的正弦值； (5)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】延长到点，过点作平面于点，连接，利用线面垂直性质定理和线面垂直得证，以为原点，为轴，平面为平面建立坐标系，利用空间向量法计算线面夹角，计算得到（1）（5）；利用空间向量法计算二面角的平面角，计算得到（3）（4）；利用空间向量法计算线线夹角，计算得到（2）； 【详解】（1）延长到点，过点作平面于点，连接（如图8）， 则为与底面所成的角， 由，即， 因为平面，平面，所以， 因为，所以平面, 因为平面，所以． 故又是二面角的平面角的补角，且． 以为原点，为轴，平面为平面，建立坐标系， 由，设 由，， ，解得 进而，取，故， 点在平面上的投影， 所以． 因此直线与平面所成角的余弦值为. （2）由（1）可知， 设异面直线与所成角为， ． 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）由（1）可知，又是二面角的平面角的补角， 可得二面角的平面角为， 所以 即二面角的余弦值. （4）由（1）可得， 因为平面，所以是平面的法向量， 设平面的法向量为， 则 取. 设二面角的大小为． 由 所以． 即二面角的正弦值为. （5）由（1）可知， 设平面的法向量为， 则 取. 设直线与平面所成角为， ， 所以 即直线与平面所成角的余弦值为. 17．（24-25高一下·吉林松原·期中）图，在长方体中，，，，分别为，的中点，记，，． (1)用向量，，表示，，； (2)求点C到直线EF的距离． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由空间向量线性运算即可求解； （2）由（1）可计算以及，然后根据即可求解. 【详解】（1）， , ； （2）， ，即， =17，即， 所以， 所以， 所以点C到直线EF的距离. 18．（2025·湖北襄阳·二模）在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面.    (1)证明：平面； (2)求平面MAC与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知条件可证平面，建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量共线即可； （2）利用（1）中的平面的法向量求出点的坐标，再求出平面的法向量，即可求解. 【详解】（1）     平面，平面，平面平面， ， 连接，连接， 在四棱台中，平面平面， 平面平面，平面平面， ，又由题意知，四边形是等腰梯形， ，同理， ，平面，平面， 底面ABCD是菱形，， 以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 菱形的边长为2，，，， ，，， ，，，，， ，，， 设，， 设平面的法向量为， ，令，则，， ，，即平面； （2）设，，， ，，， ，， 又在上，设，即，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， ， ， 平面MAC与平面夹角的余弦值. 19．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 【答案】(1)； (2)①，②2. 【分析】（1）利用斜坐标的定义及向量的线性运算可得结果. （2）①设，，分别为与，，同方向的单位向量，根据题意得点为的中点，利用空间向量的线性运算表示，即可得到坐标. ②用，，表示，根据求出的值，即可得到. 【详解】（1）∵，， ∴， ∴的斜坐标为. （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，，. ①由题意得，点为的中点. . ②由题意得，， 由得，， 由得，， ∴， ∴， 解得， 则 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章空间向量与立体几何重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2025高二·全国·专题练习）点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 3．（24-25高二下·广西河池·期末）已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间直角坐标系中三个顶点坐标分别为，，，是边上的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 7．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）在平行六面体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏·期末）在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·全国·单元测试）如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，且平面，则 D．平面与平面所成锐二面角的余弦值为 11．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（       ） A．若，则点在平面上 B．若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C．若，则的最小值为 D．若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为 3、 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2025高二·全国·专题练习）在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为 ． 13．（25-26高二上·全国·单元测试）在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 14．（25-26高二上·全国·期中）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ． 4、 解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四面体的，，，，，. (1)求点到平面的距离； (2)求点到平面的距离； (3)求点到平面的距离. 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，． (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的余弦值； (4)求二面角的正弦值； (5)求直线与平面所成角的余弦值． 17．（24-25高一下·吉林松原·期中）图，在长方体中，，，，分别为，的中点，记，，． (1)用向量，，表示，，； (2)求点C到直线EF的距离． 18．（2025·湖北襄阳·二模）在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面.    (1)证明：平面； (2)求平面MAC与平面夹角的余弦值. 19．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$