精品解析：浙江省杭州市第六中学2025年中考三模数学试卷

数学练习（二） 满分：120分 时间：120分钟 卷I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选、均不给分） 1. 在0，2，－1，四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 2 C. －1 D. 2. 2025年1月，中国人工智能企业深度求索（）宣布，其研发的智能助手的用户数量突破120000000，称为全球用户量最大的智能助手之一．数据120000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，该三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校开展以“书香润校园，好书助成长”为主题的读书节活动，为了解某班学生五月份的读书册数，从该班随机抽取20名学生调查其读书册数，结果如表所示：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是 （ ） 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 A. 3，3 B. 3，4 C. 7，3 D. 7，4 6. 如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（ ） A. 2 B. C. 8 D. 7. 如图，的边长，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 我国明代数学读本《算法统宗》里有一道题，其题意为：客人一起分银两，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，若四边形的面积为5，则的面积为（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 10. 已知反比例函数图象过点，，，则下列结论正确的是 （ ） A. B. C. D. 卷II 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 12. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为______． 13. 若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为______． 14. 如图，的切线交直径的延长线于点，连接，若，则的度数为____________（用含的代数式表示）． 15. 一辆无人快递车派送社区快递，中途暂停充电一次，充电后比充电前每小时多派送10件快递．派送件数(件)与派送时间(小时)之间的函数关系如图所示，则中途充电时长为____________小时． 16. 如图，矩形中对角线交于点，，点绕点顺时针旋转得点，连结分别交于点，若，则的值为___________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： 19. 如图，在中，，于点E，于点D，，相交于点P． （1）证明：． （2）若，求的度数． 20. 某校九年级段开展了“数学说题比赛”，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数，单位：分）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如下图： 请你根据图中信息，解答以下问题： （1）本次比赛参赛选手共有________人；扇形统计图中“”（分）范围的人数占总参赛人数的百分比为___________． （2）赛前规定，参赛选手的成绩由现场说题和现场答辩两项得分按的比例计算得到，并且比赛成绩从高到低排序，前的参赛选手获奖，某选手现场说题得分是分，现场答辩得分是分，请判断该参赛选手能否获奖，并说明理由． 21. 如图，已知平行四边形，． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作以为边的菱形，点分别在边上．(要求：不写作法，保留作图痕迹) （2）在第（1）问的条件下，连接，若，，求的长． 22. 数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． （1）当放置物体质量为时，求总电阻的值； （2）求关于总电阻的函数表达式； （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象过点． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）求证：； （3）当时，都有，则的取值范围为_____________． 24. 如图1，四边形是的内接四边形，过点作交于点，连结交于点． （1）若，求的度数； （2）如图2，连接，若． ①求证：； ②求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习（二） 满分：120分 时间：120分钟 卷I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选、均不给分） 1. 在0，2，－1，四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 2 C. －1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据有理数的大小比较法则比较数的大小，即可得出结论． 【详解】解： ∴最小的数是 故选： 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键． 2. 2025年1月，中国人工智能企业深度求索（）宣布，其研发的智能助手的用户数量突破120000000，称为全球用户量最大的智能助手之一．数据120000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的形式为，其中，n为整数，确定n的值时，看原数小数点移动的位数． 【详解】解：∵，且1.2满足， ∴ 用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 如图，该三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题关键 【详解】解：该三棱柱的主视图是一个长方形内部有一条虚线， 故选：A 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 5. 某校开展以“书香润校园，好书助成长”为主题的读书节活动，为了解某班学生五月份的读书册数，从该班随机抽取20名学生调查其读书册数，结果如表所示：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是 （ ） 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 A. 3，3 B. 3，4 C. 7，3 D. 7，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键．由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果． 【详解】解：由表中数据可得，人数最多的7人所应的册数是3，所以众数是3． 将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：， 故选：A． 6. 如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可得，则． 【详解】解：∵代数式的值为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，的边长，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质：“对应点所连线段平行（或共线）且相等；对应线段平行（或共线）且相等．”是解题的关键．利用平移的性质，找出对应线段相等的关系，进而求出阴影部分的周长． 【详解】解：由题知，由沿方向平移得到， ， 阴影部分的周长为：（cm）． 故选：B． 8. 我国明代数学读本《算法统宗》里有一道题，其题意为：客人一起分银两，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，分析题意，找准等量关系是解题关键．设客人为人，银子为两，根据每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设客人为人，银子为两， 根据题意得： 故选：C． 9. 如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，若四边形的面积为5，则的面积为（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．连接交于点，连接，，则点三点共线，，，在的延长线上取一点，使，连接，则，得到四边形是平行四边形，进而得到，，则，，设，则，证明得由此解出，则，然后根据即可得出的面积． 【详解】解：连接交于点，连接，， 点是的重心，点是边的中点， 点三点共线， ， 在的延长线上取一点，使，连接，如图所示： 则， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，设， 四边形的面积为5， ， ， ， ，即 解得：， ， 的面积为：． 故选：C． 10. 已知反比例函数图象过点，，，则下列结论正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：分别将点，，代入反比例函数得： ，，， A、∵， ∴当时，，，， ∴，故选项A错误，不符合题意； B、∵， ∴当时，，即，故选项B错误，不符合题意； C、∵，， ∴，故选项C错误，不符合题意； D、∵，， ∴．故选项D正确，符合题意； 故选：D． 卷II 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 12. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用，直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：依题意，搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 故答案为：． 13. 若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：因为扇形的圆心角为，半径为1， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：． 14. 如图，的切线交直径的延长线于点，连接，若，则的度数为____________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质等知识，连接过切点的半径是解题的关键与常作的辅助线． 连接，则，由圆周角定理得，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． 15. 一辆无人快递车派送社区快递，中途暂停充电一次，充电后比充电前每小时多派送10件快递．派送件数(件)与派送时间(小时)之间的函数关系如图所示，则中途充电时长为____________小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，利用数形结合的方法是解题的关键． 先求出充电前每小时派送(件)，可得充电后每小时派送件，再求出充电后派送快递数量所用时间，即可求出中途充电时长． 【详解】解：由题意可知，充电前每小时派送30(件)， 则充电后每小时派送：(件)， ， 中途充电时长为：(小时)， 故答案为：． 16. 如图，矩形中对角线交于点，，点绕点顺时针旋转得点，连结分别交于点，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得出，，，，根据等边对等角和三角形外角的性质可得出，根据旋转的性质得出，，根据等边对等角和三角形外角的性质可得出，根据等角对等边得出，根据比的性质并结合已知可求出，证明，根据相似三角形的性质得出，，则，，在中根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴，，，， ∴， 又， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识， 掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负指数幂，立方根的计算，掌握负指数幂，立方根的计算方法是关键． 先算负指数幂，化简绝对值，立方根，再根据实数的计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，依据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解即可，最后要检验． 【详解】解： 方程两边同时乘以得，， 解得：， 经检验：是原方程的解． 19. 如图，在中，，于点E，于点D，，相交于点P． （1）证明：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：于点E，于点D， ， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，确定全等条件是解题的关键． （1）先证明，再证即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余求得，再根据等边对等角求得，即可根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 的度数是． 20. 某校九年级段开展了“数学说题比赛”，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数，单位：分）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如下图： 请你根据图中信息，解答以下问题： （1）本次比赛参赛选手共有________人；扇形统计图中“”（分）范围的人数占总参赛人数的百分比为___________． （2）赛前规定，参赛选手的成绩由现场说题和现场答辩两项得分按的比例计算得到，并且比赛成绩从高到低排序，前的参赛选手获奖，某选手现场说题得分是分，现场答辩得分是分，请判断该参赛选手能否获奖，并说明理由． 【答案】（1）， （2）该参赛选手能获奖， 理由如下：获奖人数为（人）， 该手现的得分为：（分）， （人）， 即该选手现的得分能进入前名，所以该参赛选手能获奖． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握“频率频数总数”是得出正确答案的关键． （1）根据两个统计图中，“”的频数为人、所占调查人数的，由“频率频数总数”可求出调查人数；求出“”所占的百分比，由各组频率之和为，可求出答案； （2）求出成绩由高到低前的人数，再根据加权平均数公式解答即可． 【小问1详解】 解：（人）， “”所占的百分比为， ∴“”所占的百分比为， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 21. 如图，已知平行四边形，． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作以为边的菱形，点分别在边上．(要求：不写作法，保留作图痕迹) （2）在第（1）问的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键； （1）在上截取，使得，则四边形即为所求； （2）过点作，根据等腰三角形的性质可得，进而解求得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：据作图过程可知：， ∵四边形是平行四边形 ∴即 ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作 ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵四边形是菱形； ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， 设，则 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ 22. 数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． （1）当放置物体质量为时，求总电阻的值； （2）求关于总电阻的函数表达式； （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式． （1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值； （2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可； （3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解． 【小问1详解】 解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式， 设， 将，代入解析式，得：， 解得， ， 当时，， 此时， 即总电阻的值为； 【小问2详解】 解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知时，， ， 关于总电阻的函数表达式为； 【小问3详解】 解：， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，最小值为：， 此时取最小值，最小值为：， ， 随x的增大而减小， 取最小值2时，x取最大值， 令，解得， 即该电子秤所称物品质量的最大值为． 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象过点． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）求证：； （3）当时，都有，则的取值范围为_____________． 【答案】（1） （2） 证明：二次函数的图象过点，． ，， ， ， ，即． （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）化成顶点式即可求解； （2）利用图象上点的坐标特征求解即可； （3）利用抛物线的对称性求得点关于对称轴的对称点为，然后根据题意得到在的右侧，且对称轴在的左侧，得出关于的不等式组，解不等式即可． 【小问1详解】 解：当时，则， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 当时，都有， ，且 ， 故答案为：． 24. 如图1，四边形是的内接四边形，过点作交于点，连结交于点． （1）若，求的度数； （2）如图2，连接，若． ①求证：； ②求证： 【答案】（1） （2）①证明：连接，如图， ， ， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ②证明：连接，延长交于点，连接，，，如图， AI 由（2）①知：， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用圆的内接四边形的性质求得，利用圆周角定理和平行线的性质解答即可得出结论； （2）①连接，利用圆的平行弦所夹的弧相等的性质和等式的性质得到，，则，利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可得出结论； ②连接，延长交于点，连接，，，利用全等三角形的性质得到，利用圆周角定理和等式的性质得到，则，，可得，则，，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ． ， ； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，圆的平行弦的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $