精品解析：广东省佛山市南海区南海实验中学2024-2025学年九年级下学期6月月考数学试题

南海实验中学初三下学期第三次月测 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 计算的结果为（ ） A. B. 6 C. D. 10 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若“※”代表一种运算，且，则“※”代表的运算符号可以是（ ） A. + B. - C. × D. ÷ 4. 泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，至B处后，行驶方向改变，行驶到C处仍按正东方向（射线）继续行驶．则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，烧杯内液体表面与下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射变成，点G在射线上，若，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图像如图所示，则，的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 10. 关于x的一元二次方程的一个根为，设，则M与方程根的判别式△之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本小题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_________． 12. 甲、乙两支足球队，每支足球队队员身高数据的平均数都是米，方差分别为，，则身高较整齐的球队是__________队 13. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 14. 进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为________． 15. 七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为___________． 三、解答题（一）：本小题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图． （1）这个几何体的名称是________； （2）由图中数据计算此几何体的侧面积；（结果保留π） 18. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； （2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 四、解答题（二）：本小题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度； （2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整； （3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率． 20. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，解决下列问题： ①求该二次函数的表达式； ②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标． （2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：． 21. 【课本再现】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME—14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制 记数法：每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【观察发现】 （1）从左起第二个符号表示的二进制数为________； 【拓展延伸】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依次类推），然后相加．例如，，． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 【类比迁移】 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数，请直接写出结果． （参考数据：，） 五、解答题（三）：本小题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点A的坐标为．点C是边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）当平分时，＝________°； （2）若，求的长； （3）如图2，作点C关于的对称点E，连接，，．设的面积，，求S关于m的函数表达式． 23. 已知正方形，将边绕点A顺时针旋转α至线段的角平分线所在直线与直线相交于点F． 【探索发现】 （1）如图1，当α为锐角时，请先用“尺规作图”作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：； 【深入探究】 （2）在（1）的条件下， ①的度数为 ； ②连接，猜想线段和之间的数量关系，并证明； 【拓展思考】 （3）若正方形的边长，当以点C，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海实验中学初三下学期第三次月测 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 计算的结果为（ ） A. B. 6 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法，根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据中心对称图形与轴对称图形的相关概念逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； 故选：A． 3. 若“※”代表一种运算，且，则“※”代表的运算符号可以是（ ） A. + B. - C. × D. ÷ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法，根据当底数相同的两个幂相除时，其结果为底数不变，指数相减，据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴“※”代表的运算符号可以是÷， 故选D． 4. 泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，关键是熟练应用概率公式解题；先确定总基本款数量和符合“藕粉哪吒”的款数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵盲盒中共有个基本款，其中“藕粉哪吒”只有个， ∴买中“藕粉哪吒”的概率为， 故选：A． 5. 利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定．根据作图痕迹，结合平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、根据同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； B、根据内错角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； C、根据同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，故符合题意； D、根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； 故选：C． 6. 如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，至B处后，行驶方向改变，行驶到C处仍按正东方向（射线）继续行驶．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，是基础题．根据两直线平行，同旁内角互补，以C为顶点作的角即可． 【详解】解：如图，继续行驶的路线是按箭号方向行驶． 根据题意得：，， ， 故选：D． 7. 如图，烧杯内液体表面与下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射变成，点G在射线上，若，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，再根据即可求解． 【详解】解：∵，，， ， ． 故选：B． 8. 已知函数的图像如图所示，则，的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由于开口向下可以判断，由于对称轴，可以得到，所以可以找到结果． 【详解】解：根据二次函数图像的性质， 开口向下， ， 对称轴， ， 所以C选项符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图像和系数的关系，根据图像性质的出关系式是解题的关键． 9. 如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 又∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 同理，∵，是的切线，切点分别为，， ∴． ． ∴． 又∵， ∴． ∵的周长为，即， ∴，可得， 解得． 故选：C 10. 关于x的一元二次方程的一个根为，设，则M与方程根的判别式△之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的根、完全平方公式．根据题意可以先对M化简，从而可以得到M和的关系，本题得以解决． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：A． 二、填空题：本小题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式5，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 甲、乙两支足球队，每支足球队队员身高数据的平均数都是米，方差分别为，，则身高较整齐的球队是__________队 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．根据平均数相等时，方差越小，数据越整齐求解即可． 【详解】解：∵甲、乙两支足球队，每支足球队队员身高数据的平均数都是米，方差分别为，， ∴， ∴身高较整齐的球队是乙队， 故答案为：乙． 13. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 【答案】140°． 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数． 【详解】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案为140°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和． 14. 进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题通过数轴来表示胸外心脏按压速度（单位：次 ）的取值范围，需要我们根据数轴上的信息准确确定的取值范围．本题考查数轴与不等式的关系这一知识点．解题关键在于准确理解数轴上实心点（表示包含该点对应数值）和空心点（表示不包含该点对应数值）的含义，通过观察数轴端点情况来确定变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得， 故答案为：． 15. 七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，由题意易得，，④⑥⑤都为等腰直角三角形，③是正方形，⑦是平行四边形，然后根据拼图前后可知，进而可得四边形是平行四边形，，，最后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图1， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴，， ∴， 由图可知：④⑥⑤都为等腰直角三角形，③是正方形，⑦是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 设该圆的圆心为I，连接，延长，交于一点J，与交于一点R， 由拼图可知：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可知：， 在中，由勾股定理可知：， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、垂径定理及勾股定理，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（一）：本小题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的意义，特殊角的三角函数值化简，再算加减． 【详解】解：原式 ． 17. 如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图． （1）这个几何体的名称是________； （2）由图中数据计算此几何体的侧面积；（结果保留π） 【答案】（1）圆柱； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据从不同方向看到的图形判断即可； （2）根据圆柱的侧面积公式计算即可； 本题考查了从不同方向看几何体，以及几何体的展开图，理解圆柱的特征是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：由从不同方向看到的形状可知该几何体是圆柱． 故答案为∶圆柱； 【小问2详解】 解：由图可知，圆柱体的底面直径为2，高为3， 所以侧面积． 18. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； （2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 【答案】（1）压杆端点到底座的距离为 （2）即压杆端点到底座的高度为 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作于点，延长交于点，根据题意可得，由，四边形是矩形，，可得，进而得到，然后根据，求出，最后根据，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据矩形的性质可得，，可推出，然后求出，结合进而得到，，可得，推出，，根据周角求出，进而根据三角函数求出，最后根据线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，过点作于点，延长交于点， ， ， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 即压杆端点到底座的距离为； 【小问2详解】 如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 即压杆端点到底座的高度为． 四、解答题（二）：本小题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度； （2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整； （3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率． 【答案】（1）200，25，36 （2） 补全的条形统计图如图所示： ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率： （1）用B的人数除以其人数占比即可得到答案；求出C的人数，进而求出A的人数，进一步计算即可求解； （2）根据（1）的结论补全统计图即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两个小组选择A、B话题发言的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：调查的学生共有：（人）， 选择C的学生有：（人）， ∴选择A的学生有：（人）， ， ， 故答案为：200，25，36； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有6个等可能的结果，甲、乙两个小组选择A、B话题发言的结果有2个， ∴两个小组选择A、B话题发言的概率为． 20. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，解决下列问题： ①求该二次函数的表达式； ②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标． （2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：． 【答案】（1）①；② （2） 证明：∵设点，是该函数图象上的两点， ∴ ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数图像的性质、配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）①直接将代入求得a即可解得；②先根据平移表示出B、C两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答； （2）由可得，则有，，再用表示出可得，然后运用配方法解答即可． 【小问1详解】 解：①将代入可得， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； ②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∴， 解得：， 把代入， 得，即． 【小问2详解】 略 21. 【课本再现】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME—14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制 记数法：每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【观察发现】 （1）从左起第二个符号表示的二进制数为________； 【拓展延伸】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依次类推），然后相加．例如，，． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 【类比迁移】 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数，请直接写出结果． （参考数据：，） 【答案】（1）；（2）3745；（3）1045 【解析】 【分析】本题在理数的混合运算，熟练掌握进位制的转换方法是解题的关键． （1）根据题意，八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，按二进制表示出第二个符号表示的数即可； （2）仿照例示例，把四个二进制数转换为十进制数即可； （3）仿照二进制的运算，把八进制数转换为十进制数即可． 【详解】解：（1）∵八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0， ∴图2中，从左起第二个符号表示的二进制数为， 故答案为：． （2）∵ ∴这个四位数为3745． （3）． 五、解答题（三）：本小题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点A的坐标为．点C是边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）当平分时，＝________°； （2）若，求的长； （3）如图2，作点C关于的对称点E，连接，，．设的面积，，求S关于m的函数表达式． 【答案】（1）22.5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，列函数的解析式，掌握旋转变换的特征是解题的关键． （1）根据旋转的性质和角平分线的定义求解即可； （2）根据旋转的性质证，根据相似三角形的性质求解即可； （3）根据等腰直角三角形的性质证，根据全等三角形的性质，结合三角形的面积公求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转性质，得，， ∴， ∵平分， ∴， 由题意，得， ∴． 故答案为：22.5； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， 由旋转性质，得，， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即． 由题意知，， ∵， ∴； 【小问3详解】 如图，设与交于点F，连接，由对称性质，得，． 由题意，得是等腰直角三角形， ∴F为中点，即． 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． ∵，， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴． 过点D作轴于点G， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ． 23. 已知正方形，将边绕点A顺时针旋转α至线段的角平分线所在直线与直线相交于点F． 【探索发现】 （1）如图1，当α为锐角时，请先用“尺规作图”作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：； 【深入探究】 （2）在（1）的条件下， ①的度数为 ； ②连接，猜想线段和之间的数量关系，并证明； 【拓展思考】 （3）若正方形的边长，当以点C，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段的长度． 【答案】 （1）“尺规作图”补全图形如图： 证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转知，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①； ②，理由如下： 如图，连接和， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）8或． 【解析】 【分析】（1）依题意补全图形，连接，由正方形和旋转的性质可得，由角平分线的定义可得，再通过证明即可求解； （2）①设，则，由可得，由可得，再根据计算即可求解； ②连接和，易得和为等腰直角三角形，，，由等角减同角相等可得，以此可证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）分两种情况：当为对角线时此时，；当为对角线时，连接，同（1）可证：，得到，由可得，，由四边形内角和定理得到，进而求得，于是是等腰直角三角形，同（2）②可证：，，设，则,在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）①连接 设， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②略 （3）当为对角线时，如图， 此时，； 当为对角线时，如图，连接， ∵四边形为边长为4的正方形， ∴， 同（1）可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同（2）②可证：，且， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 综上，或． 【点睛】本题主要考查尺规作图、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理，正确作出辅助线，灵活应用相关知识解决问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $