精品解析：湖南省长沙市雨花区周南石燕湖中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2025年上学期期末检测卷 八年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各组数中，属于勾股数的是（    ） A. ，2， B. ，， C. 8，15，19 D. 9，40，41 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 或1 3. 学生心理健康是学生健康成长、全面发展的重要指标．某校要选拔一名学生代表学校参加全市心理健康知识竞赛，经过四轮初赛后，从中选出成绩最高的甲、乙、丙、丁四名同学，他们的平均成绩都是90分，方差分别是，，，．若从中选择一名发挥稳定的同学去参赛，那么被选中的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列关于函数的性质说法正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与y轴交于点 C. 图象与x轴交于点 D. y随x的增大而减小 5. 如图，的对角线相交于点O，，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度为（　　） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 9. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线（k、b均为常数，且）与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 12. 某品牌专卖店9月份销售了20双运动鞋，其尺码和数量统计如表：这20双运动鞋尺码的众数是______ ． 尺码 38 39 40 41 42 数量 2 4 5 6 3 13. 已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是 _____． 14. 一元二次方程的两个根分别为，，则______． 15. 已知两线段的长分别为5cm和3cm，则第三条线段为______时，这三条线段构成直角三角形． 16. 如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则___________________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知，，，，求AC． 19. 根据下列条件分别确定函数的解析式： （1）y与x成正比例，当时，； （2）直线经过点与点． 20. 如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F两点，垂足是点O． （1）求证：； （2）问题：四边形是什么特殊的四边形？请给出证明． 21. 为了解双减背景下学生每天完成作业的时间情况，某中学对名学生每天完成作业时间进行抽样调查，根据时间（单位：分钟）分成，五个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题： （1）___________；___________，扇形统计图中A的圆心角度数_________ ． （2）补全条形统计图； （3）学生每天完成作业时间的中位数落在___________组； （4）若全校共有2000名学生，请估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有多少人？ 22. 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求： （1）AB的长； （2）△CDF的面积． 23. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1760元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大?最大利润是多少元? 24. 如图，平面直角坐标系中有一矩形平台，平台下边缘与x轴重合，高度为1，平台上的点光源A发射的光线经过屏幕的下端点后照射到y轴平面镜上的点处，屏幕轴，点N的坐标为． （1）求点光源A的坐标． （2）①直接写出屏幕的中点的坐标：______． ②若将屏幕向右平移，使得光线经过平面镜反射后恰好能照射到屏幕的中点处，求需将屏幕向右平移的距离． （3）将②中平移后得到的屏幕所在位置再向左平移1个单位长度至屏幕，并调整点光源A的发射方向，使得光线经过平面镜反射后恰好经过屏幕的上端点，求此时光线与平面镜的交点的坐标． 25. 【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期末检测卷 八年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各组数中，属于勾股数的是（    ） A. ，2， B. ，， C. 8，15，19 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义：若正整数满足，则称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、和不是整数，故此选项不属于勾股数，不符合题意； B、，，都不是整数，故此选项不属于勾股数，不符合题意； C、，故此选项不属于勾股数，不符合题意； D、，故此选项属于勾股数，符合题意； 故选：D． 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，其一般形式为：；根据一元二次方程的概念得，且，即可得m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，且， ∴． 故选：B． 3. 学生心理健康是学生健康成长、全面发展的重要指标．某校要选拔一名学生代表学校参加全市心理健康知识竞赛，经过四轮初赛后，从中选出成绩最高的甲、乙、丙、丁四名同学，他们的平均成绩都是90分，方差分别是，，，．若从中选择一名发挥稳定的同学去参赛，那么被选中的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义，根据方差的意义，方差越小成绩越稳定可得出答案． 【详解】解：∵， ∴丁同学的方差最小，成绩最稳定， ∴被选中的同学是丁同学， 故选：D． 4. 下列关于函数的性质说法正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与y轴交于点 C. 图象与x轴交于点 D. y随x的增大而减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选项A正确； 该函数图象与x轴、y轴分别交于点，，故选项B，C错误； 该函数y随x的增大而增大，故选项D错误． 故选：A． 5. 如图，的对角线相交于点O，，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，，，， ∴，， ∴的周长为 故选：B． 6. 下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、不能判定四边形是平行四边形，符合题意； B、能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：A． 7. 已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，在一次函数中，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第一、二、三象限， ∴， 故选：A． 8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度为（　　） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意知：竹子折断前直立于地面，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 依题意，得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度为尺． 故选：C． 9. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：由题意有， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线（k、b均为常数，且）与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集即可． 【详解】解：观察函数图象可知：当时，直线在直线的上方， 不等式的解集为． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 12. 某品牌专卖店9月份销售了20双运动鞋，其尺码和数量统计如表：这20双运动鞋尺码的众数是______ ． 尺码 38 39 40 41 42 数量 2 4 5 6 3 【答案】41 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此结合表格信息即可得出答案． 【详解】解：尺码为41的销量最大，故众数为41； 故答案为：41． 13. 已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 利用一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵是一次函数图象上的两点，且， ∴． 故答案为： 14. 一元二次方程的两个根分别为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， 故答案为：． 15. 已知两线段的长分别为5cm和3cm，则第三条线段为______时，这三条线段构成直角三角形． 【答案】4或 【解析】 【分析】分两条线段都为直角边和5cm长的线段为斜边，3cm长的线段为直角边求解即可. 【详解】当两线段都为直角边长时，由勾股定理求得第三条线段长为；当5cm长的线段为斜边长时，由勾股定理求得第三条线段长为 ． 故答案为4或. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解决问题时要注意有两种情况，不要漏解. 16. 如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则___________________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解答，即可求解； （2）利用公式法解答，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 如图，已知，，，，求AC． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先求出，然后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴为直角三角形． ∵， ∴由勾股定理知：． 19. 根据下列条件分别确定函数的解析式： （1）y与x成正比例，当时，； （2）直线经过点与点． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先根据正比例函数的定义可得b=0，再利用待定系数法即可得； （2）直接利用待定系数法即可得． 【详解】（1）∵y与x成正比例， ∴b=0 又∵当x=5时，y=6， ∴5k=6， 解得， 则； （2）由题意，将点(3，6)，代入y=kx+b得： ， 解得：， 则． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法是解题关键． 20. 如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F两点，垂足是点O． （1）求证：； （2）问题：四边形是什么特殊的四边形？请给出证明． 【答案】（1） 解：∵四边形是平行四边形 ∴，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴； （2） 解：四边形是菱形，理由如下： 由（1）得 ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，运用是的垂直平分线，得，，即可证明． （2）先证四边形是平行四边形，再证，即可由菱形的判定定理得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为了解双减背景下学生每天完成作业的时间情况，某中学对名学生每天完成作业时间进行抽样调查，根据时间（单位：分钟）分成，五个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题： （1）___________；___________，扇形统计图中A的圆心角度数_________ ． （2）补全条形统计图； （3）学生每天完成作业时间的中位数落在___________组； （4）若全校共有2000名学生，请估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有多少人？ 【答案】（1）40，， （2） 补全条形统计图如下： ． （3） （4）600人 【解析】 【分析】本题考查了 （1）利用组的人数除以其所占的百分比即可得的值；利用组的人数除以本次调查的总人数即可得的值；利用乘以组所占的百分比即可得扇形统计图中的圆心角度数； （2）先求出组的学生人数，再补全条形统计图即可得； （3）根据中位数的定义求解即可得； （4）利用全校学生的总人数乘以组所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：（名）， ， 则， 扇形统计图中的圆心角度数为， 故答案为：40，，． 【小问2详解】 解：组的学生人数为（人）， 图略； 【小问3详解】 解：将抽取的学生每天完成作业时间按从小到大进行排序后，第20个数和第21个数的平均数即为中位数， ∵，， ∴学生每天完成作业时间的中位数落在组， 故答案为：． 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有600人． 22. 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求： （1）AB的长； （2）△CDF的面积． 【答案】（1）9；（2）54 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，然后再直角△BEF中利用勾股定理求出BE的长即可得到答案； （2）由四边形ABCD是长方形，得到AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，由折叠的性质可得AD=DF，则BC=AD=DF，设CF=x，则BC=DF=x+3，由，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B=90°， ∴， ∴AB=AE+BE=9； （2）∵四边形ABCD是长方形， ∴AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°， 由折叠的性质可得AD=DF， ∴BC=AD=DF， 设CF=x，则BC=DF=x+3， ∵， ∴， 解得， ∴CF=12， ∴ 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 23. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1760元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大?最大利润是多少元? 【答案】（1）每个种娃娃的进价是10元，每个种娃娃的进价是8元 （2）购进80个种娃娃，120个种娃娃，最大总利润为120 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设每个A种娃娃的进价是x元，则每个B种娃娃的进价是元，根据购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每个A种娃娃的进价），再将其代入中，即可求出每个B种娃娃的进价； （2）设该商家购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，利用进货总价=进货单价×购进数量，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设这200个娃娃全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每个A种娃娃的销售利润×购进数量+每个B种娃娃的销售利润×购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每个种娃娃的进价是元，每个种娃娃的进价是元，根据题意得： ， 解得：． 答：每个种娃娃的进价是10元，每个种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进个种娃娃，则购进个种娃娃，根据题意得： ， 解得：． 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为元，则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为，此时（个）． 24. 如图，平面直角坐标系中有一矩形平台，平台下边缘与x轴重合，高度为1，平台上的点光源A发射的光线经过屏幕的下端点后照射到y轴平面镜上的点处，屏幕轴，点N的坐标为． （1）求点光源A的坐标． （2）①直接写出屏幕的中点的坐标：______． ②若将屏幕向右平移，使得光线经过平面镜反射后恰好能照射到屏幕的中点处，求需将屏幕向右平移的距离． （3）将②中平移后得到的屏幕所在位置再向左平移1个单位长度至屏幕，并调整点光源A的发射方向，使得光线经过平面镜反射后恰好经过屏幕的上端点，求此时光线与平面镜的交点的坐标． 【答案】（1） （2）①，②需将屏幕向右平移的距离为个单位 （3） 【解析】 【分析】（1）设直线的表达式为，求出解析式，令，求解即可得出结果； （2）①利用中点公式直接计算即可；②作移动后的屏幕关于平面镜，即y轴的对称的像，根据直线经过的中点，代入计算，再根据对称的性质解答即可； （3）设与关于平面镜对称．由题意可知，此时点的坐标为，则点，设直线的表达式为，求出解析式，将代入求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为． 将点和代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为． 令，则，解得， ∴点． 【小问2详解】 解：①，， 的中点的坐标为，即； ②如图1，作移动后的屏幕关于平面镜，即y轴的对称的像， 由题意知，中点的纵坐标为4， 直线经过的中点，直线的表达式为． 令，则， 解得， ， ∴需将屏幕向右平移的距离为个单位． 【小问3详解】 解：如图2，设与关于平面镜对称． 由题意可知，此时点的坐标为，则点． 设直线的表达式为． 将点，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为． 将代入，得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，对称的性质，平移变换，读懂题意，灵活运用对称的性质是解题的关键． 25. 【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式． 【答案】 （1）证明：对于， 当时，，当时，， 即点、的坐标分别为：、， ， 为直角， 是等腰直角三角形； （2）的长的最小值为8；（3） 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． （1）对于，当时，，当时，，即可求解； （2）由“一线三垂直”模型知，，则，即可求解； （3）由“一线三垂直”模型知，，设点，则，，即且，解得：，即点，进而求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，当时，最小， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 即的长的最小值为8； （3）解：如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点， ， 为等腰直角三角形，， 同（2）中原理可得，， ， 四边形为矩形， ， 当时，， ，即， 设， ，， 根据，， 可得， 解得：，即点， 设直线的解析式为 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $