精品解析：四川省绵阳市实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

四川省绵阳市实验中学2024-2025学年 九年级上学期期中考试数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如图，将一个正六棱柱按如图所示的方式截去一个角，则所形成的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（　　） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，则剪口与折痕形成的锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为13米，坡度，则大厅两层之间的距离为（ ） A. 12 B. 10 C. 7 D. 5 7. 新趋势・跨学科问题 生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是双眼皮的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（ ） A. B. C. x（x+1）=30 D. x（x−1）=30 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是_____． 10. 若，则_____． 11. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 12. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为________． 13. 如图，在菱形中，O是对角线，的交点，E是边的中点，若，，则______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算． （1） （2）计算： 15. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为 ． （1）画出及其关于x轴对称的，并写出点的坐标为________； （2）以点O为位似中心，在第一象限内把扩大到原来的两倍，得到，请画出，并写出点的坐标为______． 16. 如图①是某型号抽油机，俗称磕头机，是一种用于开采石油的机械设备，其核心特点是通过游梁、连杆、曲柄机构带动驴头实现往复运动，利用曲柄重块平衡载荷，驱动抽油杆上下运动以抽取原油．图②是磕头机在某时刻工作的示意图，若是抽油杆，是驴头，是游梁，是支架，支架与游梁的夹角．点在点的北偏东方向测得，，．求抽油杆顶端到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，） 17. 如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． （1）求反比例函数的解析式和点E的坐标； （2）若一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式的解集． （3）x轴上是否存在点P使得为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由； 四、填空题（每大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知点，在反比例函数（k是常数）的图象上，当时，，则的取值范围是________． 20. 已知a，b是方程的两个根，则的值是__． 21. 如图，在菱形中，，，点为线段上不与端点重合的一个动点．过点作于点E、于点．连接，在点的运动过程中，的最小值为______． 22. 如图，点A、在的图象上.已知A、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有________个. 23. 如图，已知半圆O，是直径，点C在半圆上，于点D．若，，则______． 五、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某公司2月份销售新上市的产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售产品达到45套． （1）求2月到4月公司销售产品的月平均增长率； （2）该公司4月份销售45套产品，每套利润是2万元，因为产品供不应求，公司决定适当的涨价，经市场调查发现，当产品每套的销售利润每涨价万元时，平均每月少售出1套，该公司要想在5月份获利100万元，而且尽可能让顾客得到实惠，产品每套应涨价多少万元？ 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？ 26. 如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为，连接． （1）发现：________，________（用含t的式子来表示） （2）猜想：若，则t的值为________； （3）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳市实验中学2024-2025学年 九年级上学期期中考试数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如图，将一个正六棱柱按如图所示的方式截去一个角，则所形成的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形上部分是一个五边形，下部分是一个三角形，即看到的图形如下： 故选：B． 2. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由已知条件可得，然后求得的值后即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为的值，进行判断即可． 【详解】解：A、，故点不在双曲线上，不符合题意； B、，故点不在双曲线上，不符合题意； C、，故点不在双曲线上，不符合题意； D、，故点在双曲线上，符合题意； 故选D． 4. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，则面积比为，即可得出投影三角形的面积． 【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为， ∴投影三角形的面积为． 故选：B． 5. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，则剪口与折痕形成的锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：剪口与折痕所成锐角α为就可以得到一个正方形． 根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形， ∴是个菱形， ∵菱形里只要有一个角是就是正方形． ∴展开四边形后的角为：，即． 故选：B． 6. 如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为13米，坡度，则大厅两层之间的距离为（ ） A. 12 B. 10 C. 7 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理等知识点．设大厅两层之间的距离为米，根据坡度的概念用表示出扶梯的铅直高度，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设大厅两层之间的距离为米， 扶梯的坡度, 扶梯的水平宽度为米, 由勾股定理得：, 大厅两层之间的距离为5米， 故选：D． 7. 新趋势・跨学科问题 生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是双眼皮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们子女可以是双眼皮的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： A a A a 由表格中，一共有4种等可能性的结果数，其中他们子女可以是双眼皮的结果数有3种， ∴他们子女可以是双眼皮的概率为． 故选：D． 8. 一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（ ） A. B. C. x（x+1）=30 D. x（x−1）=30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有件礼物，根据：共有礼物30件，列出方程即可． 【详解】解：有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有件礼物， 根据题意，得． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第一、三象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】 ， 解得， 检验：将代入，符合题意 ∴原方程的解为． 故答案为：3． 11. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 12. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为________． 【答案】56 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键． 根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， ∵平移， ， ， 故答案为：56． 13. 如图，在菱形中，O是对角线，的交点，E是边的中点，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和中位线的性质，根据菱形的性质可知，，因此可求出菱形的边长，又因为E是边的中点，所以是的中位线，，即可求出的长． 【详解】由菱形可知，，， 在中，， 又E是边的中点， 是的中位线， , 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算． （1） （2）计算： 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可． 【小问1详解】 ∴， 解得，； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和实数的运算，解得的关键是掌握以上知识点． 15. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为 ． （1）画出及其关于x轴对称的，并写出点的坐标为________； （2）以点O为位似中心，在第一象限内把扩大到原来的两倍，得到，请画出，并写出点的坐标为______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，点的坐标为． （2） 如图所示，即为所求，点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换和位似变换，解题关键是掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）． （1）根据关于x轴对称点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到、、的坐标，然后描点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图①是某型号抽油机，俗称磕头机，是一种用于开采石油的机械设备，其核心特点是通过游梁、连杆、曲柄机构带动驴头实现往复运动，利用曲柄重块平衡载荷，驱动抽油杆上下运动以抽取原油．图②是磕头机在某时刻工作的示意图，若是抽油杆，是驴头，是游梁，是支架，支架与游梁的夹角．点在点的北偏东方向测得，，．求抽油杆顶端到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】抽油杆顶端距地面高度约是9.5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，运用米，米，再结合以及线段的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，交的延长线于． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ． ∵ ∴（米） 答：抽油杆顶端距地面高度约是9.5米． 17. 如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． （1）求反比例函数的解析式和点E的坐标； （2）若一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式的解集． （3）x轴上是否存在点P使得为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由； 【答案】（1）， （2）或 （3）存在点，坐标为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，再由是的中点得到，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可； （2）根据一次函数与反比例函数图像求解即可． （3）分情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，点在坐标轴上， 轴，轴． ，且为的中点， ∴点的纵坐标为2． 反比例函数的图象过和点， ∴反比例函数的解析式为 把代入，得 【小问2详解】 解：由图像可得，当 或时，， 故的解集为或． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 设点，由题可知 ①当时，则 解得． ②当时，则 解得，或 当时，三点共线，不能构成三角形，所以（舍） ③当时，则 解得，或 或 综上所述：存在点，且坐标为或或或． 四、填空题（每大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知点，在反比例函数（k是常数）的图象上，当时，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数（k是常数）的图象上，， ∴， ∵， ∴反比例函数图象上分布在第二、四象限， ∴． 故答案为：． 20. 已知a，b是方程的两个根，则的值是__． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系得，，然后整体代入即可． 【详解】，是方程的两个根， ，， ， 故答案为：， 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，运用了整体思想，掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键． 21. 如图，在菱形中，，，点为线段上不与端点重合的一个动点．过点作于点E、于点．连接，在点的运动过程中，的最小值为______． 【答案】7.8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、最小值以及三角形面积等知识，连接交于点，连接，由菱形的性质和勾股定理得，再由三角形面积求出，即的值为定值4.8，然后得出当时，的最小值，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ，，， ， ， 解得：， 即的值为定值4.8， 当最小时，有最小值， 当时，的最小值， 的最小值， 故答案为：7.8． 22. 如图，点A、在的图象上.已知A、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有________个. 【答案】4 【解析】 【分析】根据的面积都等于的面积的一半，可知，分类讨论，①如图所示，当点在直线的下方；②如图所示，当点在直线的上方，根据几何图形的面积计算方法即可求解． 【详解】解：∵点在的图像上，的横坐标分别为、， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 在中，令，则， ∴的坐标为， ∴， ∴． 点在函数的图像上，设， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， ①如图所示，当点在直线的下方，过点A作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，， ∵，， ∴，，， ∴，，，，，， ∵， ∴，整理得，， ∴，， ∴，， ∴在直线下方有两个点，使得的面积等于的面积的一半； ②如图所示，当点在直线上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，，， 同理，， ∴， 整理得，， ∴，， ∴，， ∴在直线上方有两个点，使得的面积等于的面积的一半； 综上所述，函数的图像上存在点，使的面积等于的面积的一半，这样的点共有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图像上的坐标特征，几何图形的面积的计算方法，运用数形结合思想和分类讨论是解题的关键． 23. 如图，已知半圆O，是直径，点C在半圆上，于点D．若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、余弦、勾股定理等知识点，解题的关键是根据直径所对的圆周角等于90度推出．根据圆周角定理可得，继而可得，，利用余弦求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 在中， ∵， ∴解得， ∴． 故答案为：． 五、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某公司2月份销售新上市的产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售产品达到45套． （1）求2月到4月公司销售产品的月平均增长率； （2）该公司4月份销售45套产品，每套利润是2万元，因为产品供不应求，公司决定适当的涨价，经市场调查发现，当产品每套的销售利润每涨价万元时，平均每月少售出1套，该公司要想在5月份获利100万元，而且尽可能让顾客得到实惠，产品每套应涨价多少万元？ 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每套A产品需涨价y万元，则平均每月可售出套，根据总利润=每套的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该公司销售产品的月平均增长率为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该公司销售产品的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每套产品应涨价万元，则平均每月可售出套， 依题意，得， 整理方程，得， 解得， 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去， ， 答：每套产品应涨价万元． 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？ 【答案】（1）， （2）1或9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数过点，，得，，再运用待定系数法求解即可； （2）设出平移后直线的解析式得，故，结合一元二次方程的根的判别式解答即可； 【小问1详解】 解：∵反比例函数过点，， ∴， 解得：，， 反比例函数解析式为：，点， ∵一次函数解析式过点，， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解： 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ， ∴，或， ∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点． 26. 如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为，连接． （1）发现：________，________（用含t的式子来表示） （2）猜想：若，则t的值为________； （3）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）秒 （3）或秒 【解析】 【分析】本题是相似综合题目，考查了相似三角形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识点，综合性较强，掌握相似三角形的性质是解题的关键， （1）利用路程等于速度乘以时间即可得出结论； （2）利用建立方程求解即可得出结论； （3）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中，， ， ， ， 由运动知，． ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ， 秒． 【小问3详解】 解：∵与相似， 当时， 秒； 当时， ， 秒； 即：满足条件的的值为或秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $