精品解析：2025年四川省成都石室中学初中学校中考三模数学试题

初2025届中考模拟数学试卷 A卷（100分） 一、选择题（共8个小题，每小题4分，满分32分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分． 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 6. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 二、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 10. 分解因式：___________. 11. 如图，在扇形中，，，则的长为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为_______． 13. 如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为___________． 三、解答题（共5个小题，满分48分） 14. （1）计算： （2）解不等式组： 15. 为切实做好校内“午餐托管”工作，某学校食堂为参加“午餐托管”的学生提供了四种价格的午餐供其选择四种价格分别是：：元；：元；：元；：元．为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据绘制成了如下两幅尚不完整的统计图．根据图中信息解决下列问题： （1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图； （2）被抽查学生购买午餐费用的众数为______元，中位数为______元； （3）若该校参加“午餐托管”的学生有人，请估计购买元午餐的学生有多少人？ 16. 图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量，，，．求“大碗”的高度的长．（结果精确到，参考数据：） 17. 如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，与，分别相交于点，． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径及的长． 18. 如图，直线：与反比例函数图象交于点和点B， （1）求a，k的值和点B的坐标； （2）将直线向下平移4个单位后得到直线，分别与反比例函数图象交于C，D两点，点C在第一象限，连接和，求四边形的面积； （3）若（2）中得到的平行四边形内（不含边界）的点称为“规矩点”，将反比例函数图象上的一点绕直线上的一个点逆时针旋转90度得到点，如果点是“规矩点”时，求的取值范围． B卷（50分） 一、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分） 19. 已知时，则代数式的值为__________． 20. 如图，在中，分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留） 21. 已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________． 22. 如图，在中，，是的一条中线，为上一点，连接，若，，，则__________． 23. 已知二次函数的图象上有两点，，其中，则的最小值为__________． 二、解答题（共3个小题，满分30分） 24. 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A、点B，与y轴交于点C． （1）如图1，连接，直接写出的值； （2）如图2，连接．点在抛物线上，连接，若异于点G的点H也在抛物线上，且，求点H的坐标； （3）如图3，若直线与抛物线交于点P、Q，连接交y轴正半轴于点M，连接交y轴负半轴于点N，若，求的值． 26. 已知等腰中，．中，，． （1）当线段与线段重合，如图1所示，线段、交于点H，求此时面积． （2）将绕着点A顺时针旋转．交所在直线于点N，交所在直线于点M，如图2所示．当时，过点N作交于点G，求点G到直线的距离． （3）若点E为线段的中点，将旋转，在旋转过程中始终使过点E，过点C，如图3所示．则是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2025届中考模拟数学试卷 A卷（100分） 一、选择题（共8个小题，每小题4分，满分32分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分． 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可． 【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意； B. 是正数，故选项B不符合题意； C. 是正数，故选项C不符合题意； D.是正数，故选项D不符合题意； 故选：A． 2. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看有两层，底层4个正方形，上层左边一个正方形． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法等，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：B． 5. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类， 四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的， 故选：B． 6. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 8. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 二、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得． 10. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 11. 如图，在扇形中，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得的长为 ， 故答案为： 12. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解． 【详解】解：假设点的坐标为，根据位似的性质得， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 13. 如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到,，，求得的长，解答即可. 本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键. 【详解】解：根据正方形的性质，得，， ∴， ∵， ∴, ， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：． 三、解答题（共5个小题，满分48分） 14. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）3（2） 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，绝对值，零指数幂，根式运算，不等式组求解．熟练掌握三角函数，绝对值，零指数幂，根式运算，不等式组求解是解题的关键． （1）根据三角函数，绝对值，零指数幂，根式运算计算出各项的值再进行加减运算； （2）分别求出两个不等式的解集，然后取它们的交集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解第一个不等式 不等式两边同时乘以6去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得：； 解第二个不等式：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以2得：； 综上所述，取交集得不等式组的解集为． 15. 为切实做好校内“午餐托管”工作，某学校食堂为参加“午餐托管”的学生提供了四种价格的午餐供其选择四种价格分别是：：元；：元；：元；：元．为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据绘制成了如下两幅尚不完整的统计图．根据图中信息解决下列问题： （1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图； （2）被抽查学生购买午餐费用的众数为______元，中位数为______元； （3）若该校参加“午餐托管”的学生有人，请估计购买元午餐的学生有多少人？ 【答案】（1）被抽查的学生人数有人， 补全统计图如下： （2），； （3）估计购买元午餐的学生有人． 【解析】 【分析】此题主要考查了条形统计图与扇形统计图，众数、中位数，样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）根据元的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，然后用总人数乘以元的人数所占的百分比，求出元的人数，从而补全统计图； （）根据众数和中位数的定义即可得出答案； （）用该校的总人数乘以购买元午餐的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：被抽查的学生人数有：（人），元的人数有：（人）， 【小问2详解】 解：由统计图可知出现了次，出现的次数最多， ∴众数是元； ∵共有个数，中位数是把这个数按照从小到大排列，第和第个数的平均数， ∴中位数是：（元）； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计购买元午餐的学生有人． 16. 图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量，，，．求“大碗”的高度的长．（结果精确到，参考数据：） 【答案】“大碗”的高度的长约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，延长交于点，根据题意可得，四边形是矩形，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，如图： 由题意得：，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴“大碗”的高度的长约为． 17. 如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，与，分别相交于点，． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径及的长． 【答案】（1） 解：连接． 是的切线， ． ， ， ． ． ， ， ， 平分． （2）； 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质得到，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质和角平分线的定义解答即可； （2）利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得圆的半径，连接，利用相似三角形的判定与性质求得，则结论可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设的半径为r，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的半径为． ∴． 连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 18. 如图，直线：与反比例函数图象交于点和点B， （1）求a，k的值和点B的坐标； （2）将直线向下平移4个单位后得到直线，分别与反比例函数图象交于C，D两点，点C在第一象限，连接和，求四边形的面积； （3）若（2）中得到的平行四边形内（不含边界）的点称为“规矩点”，将反比例函数图象上的一点绕直线上的一个点逆时针旋转90度得到点，如果点是“规矩点”时，求的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出即可求出反比例函数解析式为：，再联立，即可得，问题得解； （2）根据平移可得直线：，再联立，可得，，连接，证明是直角三角形，即可得四边形是矩形，问题随之得解； （3）先求出，过点P作轴于点N，过Q点作于点M，设直线：分别与x轴、y轴交于点H、G，在求出，当点在矩形的边上时，将绕点Q逆时针旋转，可得到，表示出，结合，可得，利用待定系数法可得直线的解析式为：，代入点可得：；当点在矩形的边上时，设交直线于点K，证明是等腰直角三角形，即有，即可得，问题得解． 【小问1详解】 当时，， ∴，即， 将代入中，有， ∴反比例函数解析式为：， 联立：， 解得：，或， ∴， 综上所述：，，； 【小问2详解】 ∵直线：向下平移4个单位后得到直线， ∴直线：， 联立：， 解得：，或者， ∴，， 连接，如图， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴是直角三角形，且， 同理可证明， ∴四边形是矩形， ∴； 【小问3详解】 当时，， ∴， 过点P作轴于点N，过Q点作于点M，设直线：分别与x轴、y轴交于点H、G， 当时，， 当时，有，解得：， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 当点在矩形的边上时，将绕点Q逆时针旋转，可得到，如图， 根据旋转有：，，，，， 又∵，轴， ∴，轴，轴， ∴轴， ∵，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在矩形的边上时，， 解得：； 当点在矩形的边上时，设交直线于点K，如图， 根据旋转有：， ∴， ∵轴，， ∴轴， 又∵直线的解析式是：， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，点与点重合， 又∵， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上可知：如果点是“规矩点”时，求的取值范围为：． 【点睛】本题是一道反比例函数和一次函数的综合题，涉及待定系数法，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，旋转的性质等知识，难点在第（3）问，确定出临界点，是解答本题的关键． B卷（50分） 一、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分） 19. 已知时，则代数式的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先求出，再把所求式子中小括号内的式子通分并把分子分解因式，再约分得到，据此代入值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：6． 20. 如图，在中，分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积-三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可． 【详解】解： 设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示， ∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4， ∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积． 即阴影部分的面积=π×4+π×1-4×2÷2=． 故答案为：． 21. 已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，一元一次不等式组的整数解，解分式方程等知识，解不等式组得，所以正整数的值为4、5、6、7，解分式方程得，再分别求出的值即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得：， ∴正整数的值为4、5、6、7， 解分式方程得：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴分式方程有整数解的概率为， 故答案为： 22. 如图，在中，，是的一条中线，为上一点，连接，若，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，由题易知，过点D作于点H，易证，，由，可得，设，，则 ，，利用双勾股可得，再证，可得，两式联立可得，求出，即可得解． 【详解】解：∵是的一条中线，即为的中点， ∴， 如图，过点D作于点H， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 可设，，则，， 在中，， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 整理得， 两边同时除以得， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 23. 已知二次函数的图象上有两点，，其中，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数方程的联立求解以及不等式求最值．熟练掌握二次函数的性质，代数方程的联立求解以及不等式求最值是解题的关键． 通过联立两点在抛物线上得到的方程，消去无关变量，推导出与的关系式，再将目标表达式转化为含单一变量的函数，最后利用平方展开法以及完全平方数的非负性得到即可求解． 【详解】解：对于点有： ①， 对于点有： ②， 得：③ 令，， 则， ， 因此， 对直接去括号得到： 则有： 因为，两边同时除以可得： ，即． 将代入， 得到：， 因为， 所以有 所以， 所以， 所以的最小值为． 故答案为：． 二、解答题（共3个小题，满分30分） 24. 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【答案】（1）A，B两种商品每件进价各为100元，60元； （2）购进A商品的件数最多为20件 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元； 【小问2详解】 解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为20， 答：购进A商品的件数最多为20件． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A、点B，与y轴交于点C． （1）如图1，连接，直接写出的值； （2）如图2，连接．点在抛物线上，连接，若异于点G的点H也在抛物线上，且，求点H的坐标； （3）如图3，若直线与抛物线交于点P、Q，连接交y轴正半轴于点M，连接交y轴负半轴于点N，若，求的值． 【答案】（1） （2）或或 （3）3 【解析】 【分析】（1）先求出点C，A的坐标，可得，再由，即可求解； （2）先求出直线的解析式为，过点G作直线交y轴于点K，交抛物线于点，y轴上取点D，使，过点D作直线h，直线h和k和抛物线的交点H，，即为所求，此时，再求出直线k和h的解析式，然后联立，即可求解； （3）过点P作轴于点S，作轴于点T，联立和可得，从而得到，，同理：，再由，，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点C的坐标为， 令，则， 解得：， ∴点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点G作直线交y轴于点K，交抛物线于点，y轴上取点D，使，过点D作直线h，直线h和k和抛物线的交点H，，即为所求，此时， 可设直线k的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线k的解析式为， 当时，， ∴点， 联立直线k和抛物线的表达式得： ，解得：或1（舍去）， ∴点； ∵点，， ∴， ∴点， 同理直线h的解析式为， 联立直线h和抛物线的表达式得： ， 解得：， ∴点； 综上所述，点H的坐标为或或； 【小问3详解】 解：过点P作轴于点S，作轴于点T， 设， 联立和得： ， 整理得：， ∴， ∴， 同理：， ∵，， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，根与系数的关系等，解题的关键的是掌握相关知识． 26. 已知等腰中，．中，，． （1）当线段与线段重合，如图1所示，线段、交于点H，求此时面积． （2）将绕着点A顺时针旋转．交所在直线于点N，交所在直线于点M，如图2所示．当时，过点N作交于点G，求点G到直线的距离． （3）若点E为线段的中点，将旋转，在旋转过程中始终使过点E，过点C，如图3所示．则是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点H作，解即可，，设，，则可得，即可求解面积； （2）过点N作，过点G作交延长线于点K，则，通过旋转得到等腰三角形的性质以及外角结合三角形内角和定理求得，同（1）可求，则， 因此，可证明，则，即，则； （3）过点E作，延长至点P，使得，则，故，则的最大值转化为的最大值，设，则，则，，则，可知“定弦定角”，作的外接圆，连接，则点P的轨迹为，当为直径时，最大，此时，由，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：过点H作， ∵等腰中，， ∴， ∴， ∴， ∴，设， ∵中，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：过点N作，过点G作交延长线于点K，则， 由题意得， ∴， 设， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴在中有：， 解得：， 同（1）可求， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴求点G到直线的距离为； 【小问3详解】 解：过点E作，延长至点P，使得， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值转化为的最大值， 设，则，则 ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 作的外接圆，连接，则点P的轨迹为， ∵， ∴当点O、C、P三点共线时，即为直径时，最大，如图： ∴此时， ∵E是中点， ∴， ∴中，， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，点与圆的位置关系，平行线的性质，正确添加辅助线是本题的难点，也是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $