1.2 一定是直角三角形吗 第1课时《勾股定理的逆定理》分层练习 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026年北师大版（2025）八年级数学上册 1.2一定是直角三角形吗第1课时《勾股定理的逆定理》 分层练习答案 一、基础夯实 知识点1：逆命题与逆定理 1.(2024天河区)下列各命题的逆命题不成立的是() A.两直线平行，同旁内角互补 B.如果 那么a=b C.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 D.对顶角相等 解析:A.根据平行线的判定定理，同旁内角互补时，两直线平行，因此逆命题成立。 B.当 a=b时，显然有 因此逆命题成立。 C.当两个数相等时，它们的绝对值一定相等，因此逆命题成立。 D.相等的角不一定是对顶角，例如平行线被截形成的同位角相等，但不是对顶角，因此逆命题不成立。 因此，正确答案是 D。 2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是a,b,c,下列命题中的假命题是( ) A.若 ,则∠B=90° B.若 则△ABC 不是直角三角形 C.若a:b:c=3:4:5,则∠C=90° D.若∠A:∠B:∠C=2:3:5,则∠C=90° 解析：A. 化简得 即 根据勾股定理，当 时，∠B =90°，因此该命题为真命题。 B. 只有当 时，△ABC才是直角三角形，但若 可能为其他类型的直角三角形(如 或 因此该命题为假命题。 C. 设α=3k, b=4k, c=5k ,则 因此∠C =90°，该命题为真命题。 D. 设∠A = 2x, ∠B = 3x, ∠C = 5x, 则 2x+3x+5x=180°, 解得 x=18°, 因此∠C = 90°, 该命题为真命题。 因此，正确答案是 B。 知识点2 ：勾股定理的逆定理 3.下列各组数据中的三个数分别作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是() A.2,3,4 B.6,7,8 C.3,4,5 A.不能构成直角三角形。 B.不能构成直角三角形。 C.能构成直角三角形。 不能构成直角三角形。 因此，正确答案是 答案C。 4.若| 则以a，b，c为边组成的三角形是 三角形. 解答：∵|a-6|=0 ∴a = 6,b = 8, c = 10。 满足 即 因此以a，b，c为边组成的三角形是直角三角形。 因此，答案是 直角三角形。 5.在△ABC中,AB= ,AC=BC=1,则△ABC 的形状是 . 解答过程： 因此 满足勾股定理,且AC =BC,因此△ABC是等腰直角三角形。 因此，答案是 等腰直角三角形。 6.在△ABC 中, ,则△ABC 的面积为 . 解答过程： 因此 满足勾股定理，△ABC是直角三角形, 且∠B = 90°。 直角三角形的面积公式为 因此，答案是 7.在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,且BC=10,CD=8,BD=6. (1)求证:∠CDB=90°; (2)求 AC 的长. 解答过程： (1)在△BCD中, BC = 10, CD = 8, BD = 6。 计算得： 因此 满足勾股定理，故△BCD是直角三角形, 且∠CDB = 90°。 (2)设AC = AB = x, 则AD= AB - BD = x-6。 在Rt△CDB中, ∠CDB = 90°, 因此∠ADC = 90°。 在Rt△ADC中，由勾股定理得： 即 展开并化简： 12z=100 因此，AC的长度为 知识点3：勾股数 8.下列各组数中，为勾股数的是() A.4,5,6 B.5,12,13 D.0.3,0.4,0.5 解析：A. 不是勾股数。 B.是勾股数。 C. 但 和 不是整数，不是勾股数。 D. 0.25 , 但 0.3, 0.4, 0.5 不是整数, 不是勾股数。 因此，正确答案是 答案B。 9.若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是() A. a,2b,3c B.3a,4b,5c C.2a,2b,2c D. a+2,b+2,c+2 分析：题目要求我们判断哪组数仍为勾股数。勾股数满足 若a, b, c为勾股数, 则 ka, kb, kc(k为正整数)也为勾股数。 二、提高演练 10.(2024广州第六中学)如图,AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,则四边形 DABC 的面积是 . 解题过程： 计算 △ABC 的面积: 计算 AC 的长度: 3. 计算 △ACD 的面积: 判断 △ACD 是否为直角三角形： 因此,△ACD 是直角三角形,直角位于 ∠ACD 。 计算四边形 DABC 的面积:6+30=36 因此,四边形 DABC 的面积为 36。 11.△ABC的三边a,b,c满足a+b=14, ab=48,c=10,则△ABC的面积为 . 解题过程： 计算 因为 c=10 , 所以 因此， 是直角三角形，直角位于∠C 。 计算 △ABC 的面积: 因此, △ABC 的面积为 24 。 12.以 为边的三角形是 三角形. 解题过程： 计算三边的平方： 比较三边平方关系： 因此，三边满足勾股定理，且 为斜边， 所以该三角形为直角三角形。 因此，以 n²-1, 2n , n²+1(n>1 为边的三角形是直角 三角形。 13.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=5,AD= ,∠B=90°,AE⊥CD 于点E,求∠BAD 的度数及AE 的长. 解题过程： 计算 AC 的长度: 在 △ACD 中, AC=2 , CD=5, 判断 △ACD 是否为直角三角形： 因此,△ACD 是直角三角形,直角位于 ∠CAD ， 计算 ∠BAD 的度数: 在 △ABC 中, ∠B=90°, AB=BC=2 , 因此 △ABC 是等腰直角三角形, ∠BAC=45°， 计算 AE 的长度: 在 △ACD 中, ∠CAD=90°, CD=5, AE 是 △ACD 的高,利用面积法: 另外， 因此： ， 14.(2024原创题)如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,CD=10,AD=10 (1)求四边形ABCD 的面积; (2)连接BD,求BD 的长. 解:(1)连接AC.在△ABC 中, ∵∠ABC =90°AB=8BC=6, 在△ACD中,∵AD=10 AC=10CD=10, 是直角三角形，且 (2)过点D作 DE⊥BC,交BC的延长线于点E,则∠E=90°, ∴∠DCE+∠CDE=90°. ∵∠ACD=90°, ∴∠DCE+∠ACB=90°, ∴∠CDE=∠ACB.在△ABC和△CED中, ∴△ABC≌△CED(AAS), ∴CE=AB=8 DE=BC=6, ∴BE=BC+CE=14.在 Rt△BDE中，由勾股定理得 三、培优思考 15.(原创题)如图,在钝角△ABC 中,∠A 为钝角,边AB,AC 的垂直平分线分别交BC 于点 D,E,且 (1)求∠BAC 的度数; (2)若AB=12,AC=8,求S△ABC· 解:(1)连接 DA,EA. ∵边 AB，AC 的垂直平分线分别交BC 于点D,E, ∴DA=DB,EA=EC, ∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C. ∴∠DAE=90°, ∴∠B+∠C=45°, ∴∠BAC=135°; (2)过点 C 作CF⊥AB 交 BA 的延长线于点F， ∵∠BAC=135°, ∴∠FAC=45°, 四、易错点 已知△ABC 的三边a,b,c 满足 则△ABC 的形状是 . 方法解析：注意“且”与“或”的区别。 解析：由题意， 和 均为非负数，其和为0， 则两者均为0。 由 可得 根据勾股定理逆定理，三角形ABC为直角三角形。 由 可得a=b,， 因此三角形ABC为等腰三角形。 综上，三角形ABC为等腰直角三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026年北师大版（2025）八年级数学上册 1.2一定是直角三角形吗第1课时《勾股定理的逆定理》 分层练习答案 一、基础夯实 知识点1：逆命题与逆定理 1.(2024天河区)下列各命题的逆命题不成立的是() A.两直线平行，同旁内角互补 B.如果 那么a=b C.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 D.对顶角相等 2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是a,b,c,下列命题中的假命题是( ) A.若 ,则∠B=90° B.若 则△ABC 不是直角三角形 C.若a:b:c=3:4:5,则∠C=90° D.若∠A:∠B:∠C=2:3:5,则∠C=90° 知识点2 ：勾股定理的逆定理 3.下列各组数据中的三个数分别作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是() A.2,3,4 B.6,7,8 C.3,4,5 4.若| 则以a，b，c为边组成的三角形是 三角形. 5.在△ABC中,AB= ,AC=BC=1,则△ABC 的形状是 . 6.在△ABC 中, ,则△ABC 的面积为 . 7.在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,且BC=10,CD=8,BD=6. (1)求证:∠CDB=90°; (2)求 AC 的长. 知识点3：勾股数 8.下列各组数中，为勾股数的是() A.4,5,6 B.5,12,13 D.0.3,0.4,0.5 9.若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是() A. a,2b,3c B.3a,4b,5c C.2a,2b,2c D. a+2,b+2,c+2 二、提高演练 10.(2024广州第六中学)如图,AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,则四边形 DABC 的面积是 . 11.△ABC的三边a,b,c满足a+b=14, ab=48,c=10,则△ABC的面积为 . 12.以 为边的三角形是 三角形. 13.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=5,AD= ,∠B=90°,AE⊥CD 于点E,求∠BAD 的度数及AE 的长. 14.(2024原创题)如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,CD=10,AD=10 (1)求四边形ABCD 的面积; (2)连接BD,求BD 的长. 三、培优思考 15.(原创题)如图,在钝角△ABC 中,∠A 为钝角,边AB,AC 的垂直平分线分别交BC 于点 D,E,且 (1)求∠BAC 的度数; (2)若AB=12,AC=8,求S△ABC· 四、易错点 已知△ABC 的三边a,b,c 满足 则△ABC 的形状是 . 方法解析：注意“且”与“或”的区别。 学科网（北京）股份有限公司 $$