精品解析：重庆市万州区武陵初级中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

重庆市万州区武陵初级中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 在式子，，，，，中，分式的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图，在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，则对应的点可能是（ ） A. M B. N C. P D. Q 3. 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小红从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 已知非零实数a，b满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 7. 在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖米，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，满足，且为正整数，将其中的个“”改为“”后得到一个新多项式．下列说法中正确的个数是（ ） ①当（为偶数）时，新多项式的值可能为； ②当时，若，，均为正整数且，得到的新多项式的值恒为非负数，则； ③当，时，对新多项式取绝对值后化简的结果共有种． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 11. 函数有意义，则自变量x的取值范围是_______． 12. 比较大小：____（填“”“”或“”）． 13. 已知为正整数，点在第一象限中，则___________． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 15. 已知货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设货车行驶的时间为x（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为（单位：），（单位：），如图所示的线段、折线分别表示，与x之间的函数关系． （1）货车行驶的速度为_________； （2）当轿车到达甲地时，货车距甲地_________； （3）两车出发_________h时，两车相距． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则_________． 17. 如果关于y的分式方程的解为负整数，且关于y的一元一次不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 18. 我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫格”的一部分，请你推算x的值是______． 三、解答题 19. （1）化简： （2）解方程： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在平面坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度 （1）先将向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，请画出； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，请画出； （3）并直接写出点的长度． 22. 阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： （1）分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； （3）若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 23. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的关系式． （2）结合图形，请直接写出不等式的解集． （3）点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 24. 先化简，再求值：，其中 25. 在平面直角坐标系中，，，，且． （1）请直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），平移线段至，使点的对应点是点，求三角形的面积； （3）如图（2），点是轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求点的坐标． 26. 如图，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市万州区武陵初级中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 在式子，，，，，中，分式的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：分式有：，，共3个． 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 2. 如图，在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，则对应的点可能是（ ） A. M B. N C. P D. Q 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，各象限内点的坐标特征，关于y轴对称 点的坐标特征，解题的关键是得到点的坐标变换规律． 先由图可知点在第一象限，得到，，则点关于y轴对称点，再向下平移一个单位得到点，即可由图得出答案． 【详解】解：由图可知点在第一象限， ∴，， ∴， ∴点是点关于y轴对称点，再向下平移一个单位得到的， ∴对应的点可能是点P， 故选：C． 3. 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据分式的加减乘除运算法则和约分知识进行解答即可． 【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意； B. ，故选项B计算错误，不符合题意； C. ，计算正确，符合题意； D. ，故选项D计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的性质和运算，熟练掌握分式的加减乘除运算法则是解答此题的关键． 4. 每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：根据题意，得． 故选：A． 5. 如图，小红从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由坐标确定位置，掌握方位角以及坐标系成为解题的关键． 先确定原点的位置，再求未知点的位置即可解答． 【详解】解：根据如图所建的坐标系，易知表示的位置是点B． 故选：B． 6. 已知非零实数a，b满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，整式的运算等，熟练掌握相关的运算是解题的关键． 由得到，代入A选项的左边化简后的式子，即可判断A选项．由得到，根据a的取值范围即可判断b的范围，从而判断B选项．由推出，即，根据求出a，b的值，从而判断C选项．根据题意计算，，即可判断D选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴．故A选项错误， ∵， ∴， ∵ ∴当时，，当时．故B选项不一定正确． ∵，， 又且a，b为非零实数． ∴， ∴， ∴． ∵，解得， ∴，故C选项错误． ∵， ， ∴，故D选项正确． 故选：D 7. 在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖米，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设原计划每天挖米，根据计划所用时间-实际所用时间=2列方程即可． 【详解】解：设原计划每天挖米，则实际每天挖米， 根据题意得，． 故选：． 【点睛】本题考查列分式方程，解决问题的关键是确定满足题意的等量关系． 8. 对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 9. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可直接得出答案． 【详解】解：∵函数图象的纵坐标表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度， ∴由函数图象可知这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m， 故选：D． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，准确识图是解题的关键． 10. 已知多项式，满足，且为正整数，将其中的个“”改为“”后得到一个新多项式．下列说法中正确的个数是（ ） ①当（为偶数）时，新多项式的值可能为； ②当时，若，，均为正整数且，得到的新多项式的值恒为非负数，则； ③当，时，对新多项式取绝对值后化简的结果共有种． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值的化简，不等式的性质，整式的规律探索，熟练根据题意正确列出多项式是解题的关键． ①中，正确举例即可得； ②中，根据，，均为正整数且，，得出，设，先判断，再得出当时，的新多项式的最小值为改变项前的“”，设最小值为，得出，得出时，；时，；时，，；又由，得，则可得，即可判断； ③中，逐一枚举，并利用不等式的性质进行化简即可得． 【详解】解：①例如，多项式，， 则， 新多项式可以为， 举例：， 则①正确； ②若，，均为正整数且，， ∴，，，，，，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， 其中，当时，， ∴， 当时，的新多项式的最小值为改变项前的“”， 设最小值为， 即， ∵时，，； 时，，； 时，，； 又∵， ∴， ∴， ∴只有当时，得到的新多项式的值恒为非负数， 故②正确； ③当，时，， 情况1：， ∵， ∴，，， ∴， ∴新多项式取绝对值化简结果为； 情况2：， ∵， ∴，，， ∴， ∴新多项式取绝对值化简结果为； 情况3：， ∵， ∴，，， ∴， ∴新多项式取绝对值化简结果为； 情况4：， 由无法判断的正负， ∴新多项式取绝对值化简结果为或； 情况5：， ∵， ∴，，， ∴， ∴新多项式取绝对值化简结果为； 情况6：， ∵， ∴，，， ∴， ∴新多项式取绝对值化简结果为； 情况7：， 由无法判断的正负， ∴新多项式取绝对值化简结果为或； 情况8：， 由无法判断的正负， ∴新多项式取绝对值化简结果为或； 情况：， 由无法判断的正负， ∴新多项式取绝对值化简结果为或； 情况：， 由无法判断的正负， ∴新多项式取绝对值化简结果为或； 综上，新多项式取绝对值后化简的结果共有种， 故③正确． 故正确的是①②③， 故选：D． 二、填空题 11. 函数有意义，则自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了确定函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 由于是分母，由此得到，由此即可确定自变量的取值范围． 【详解】解：依题意得， ． 故答案为：． 12. 比较大小：____（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、乘方运算、有理数的大小比较，先计算，再比较大小即可，正确计算、比较大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， 故答案为：． 13. 已知为正整数，点在第一象限中，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在第一象限，则，根据为正整数，则，即可． 【详解】∵点在第一象限中， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点的坐标的性质． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到，求出的值，再代入到整式方程中，求出a 的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得 ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 15. 已知货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设货车行驶的时间为x（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为（单位：），（单位：），如图所示的线段、折线分别表示，与x之间的函数关系． （1）货车行驶的速度为_________； （2）当轿车到达甲地时，货车距甲地_________； （3）两车出发_________h时，两车相距． 【答案】 ①. 75 ②. 480 ③. 2.25或4.75 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图像读取信息以及一次函数的实际应用，读懂题意，结合图像与行程问题的数量关系解题是关键． （1）用货车的总路程除以时间即可得出货车的速度； （2）求出所在直线的解析式为，进而得出点E的坐标为，将代入计算求出即可； （3）先求出图中各点的坐标，分别根据待定系数法求出直线的解析式，然后分两种情况进行讨论：①当轿车休息前与货车相距时；②当轿车休息后与货车相距时，列出等式求解即可． 【详解】解：（1）由图象可得，货车行驶的速度为； （2）设直线所在直线的解析式为， 把代入，， 解得：， ∴所在直线的解析式为． 当时，即， 解得， 点D的坐标为． 轿车休息后仍以原速度继续行驶， 继续行驶仍需， 点E的坐标为． 将代入，得， 即当轿车到达甲地时，货车距甲地； （3）设线段所在直线的函数解析式为． 将点，代入， 则， 解得：， 线段所在直线的函数解析式为． 与货车相遇后，以原速度继续行驶， 设线段所在直线的函数解析式为． 将代入，， 线段所在直线的函数解析式为． 当轿车休息前与货车相距时，即， 解得； 当轿车休息后与货车相距时，即， 解得． 故两车出发或时相距， 故答案为：75；480；2.25或4.75． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO， ∴∠DCE＝∠CAO， ∵∠BCA＝2∠CAO， ∴∠BCA＝2∠DCE， ∴∠DCE＝∠DCB， ∵CD⊥y轴， ∴∠CDE＝∠CDB＝90°， 又∵CD＝CD， ∴CDE≌CDB（ASA）， ∴DE＝DB， ∵B（0，4），C（3，n）， ∴CD＝3，OD＝n，OB＝4， ∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n， ∴OE＝OD－DE ＝n－（4－n） ＝2n－4， ∵A（－4，0）， ∴AO＝4， ∵CD∥AO， ∴AOE∽CDE， ∴ ， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 17. 如果关于y的分式方程的解为负整数，且关于y的一元一次不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法是解题的关键．分别解分式方程和不等式组，从而得出的范围，从而得整数的取值，进而得所有满足条件的整数的值之和． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵整数a使关于的一元一次不等式组无解， ∴，即：， ， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为负整数，且， ∴且且 为奇数， ∴的值可以为，，1， 故所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：． 18. 我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫格”的一部分，请你推算x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是九宫格问题，利用一元一次方程解决九宫格问题是解题的关键． 如图，设第2列中间的数为a，第3列最下面的数为b，再由，求解的值，再利用求解即可． 【详解】解：如图，设第2列中间的数为a， 第3列最下面的数为b， 则 ， ， ， ． 故答案为： 三、解答题 19. （1）化简： （2）解方程： 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查同分母分式的减法、解分式方程： （1）分母不变，分子相减即可； （2）先将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， ， 当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及分式的混合运算、算术平方根、特殊角的三角函数、负整数指数幂和分母有理化等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先根据分式的混合运算法则化简原式，再计算算术平方根，代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂化简a，然后把a的值代入化简后的式子求解即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 21. 如图，在平面坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度 （1）先将向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，请画出； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，请画出； （3）并直接写出点的长度． 【答案】（1） 如图即为所作； （2） 如图即为所作， （3） 【解析】 【分析】（1）先将向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，即画出； （2）分别画出点A、B、C三点绕原点O顺时针旋转90°的对应点、、，再连接、、即可． （3）利用网格，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题考查作图平移变换、旋转变换，勾股定理，熟练掌握平移和旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键． 22. 阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： （1）分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； （3）若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】（1）真分式； （2），，，，， （3） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； 【小问2详解】 解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 23. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的关系式． （2）结合图形，请直接写出不等式的解集． （3）点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】（1）反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线与反比例函数的交点坐标，进而根据函数图象解答即可； （）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与反比例函数的图象相交于点， 由，解得，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：当时，， 即， 整理得，， ∴； 当时，， 即， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 24. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，再代数求值． 【详解】解：原式 ， 将代入， 原式． 25. 在平面直角坐标系中，，，，且． （1）请直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），平移线段至，使点的对应点是点，求三角形的面积； （3）如图（2），点是轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求点的坐标． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，非负数的性质等等： （1）根据非负数的性质得到，，则，，据此可得答案； （2）根据点A和点C的坐标得到平移方式为向右移动5个单位长度，向上移动1个单位长度，据此求出点D的坐标；过点C和点D分别作y轴的垂线，垂足分别为G、H，根据进行求解即可； （3）连接，设，根据求出，再分当时，，当时，，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：， ，， ，， ，，； 【小问2详解】 解：平移线段至，使点的对应点是点，点，， 平移方式为向右移动5个单位长度，向上移动1个单位长度， ， 点D的坐标为，即， 如图所示，过点C和点D分别作y轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， ∴ ； ∴三角形的面积． 【小问3详解】 解：如图：连接， 设， ，，， ， 当时，， ， 解得：， ； 当时，， ， 解得：， ； 综上，当把四边形的面积分为的两部分时，点的坐标为或． 26. 如图，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，作交的延长线于点， 则， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）作交的延长线于点，先证明是等腰直角三角形，再证明，接着证明，得到，借助，得证； （2）先计算出，，在上取一点，连接，使，算得，然后在中利用30度所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理算得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ，， 在上取一点，连接，使， 则， ， ， ， ， ， 线段的长是． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形得性质，勾股定理，三角形全等得判定与性质，30度所对得直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $