5.2.3 简单复合函数的导数 学案-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

5.2.3简单复合函数的导数 学习目标 1、了解复合函数的概念； 2、理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数。 任务一 问题情境 情境：设 y=f(u),u=g(x) (1)设 f(u)=u2， g(x)=3x-1，求f(g(x))； (2)设 f(u)=sinu， g(x)=2x，求f(g(x))； 一般的，对于两个函数y=f(u)与u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么这个函数称为y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y= f(g(x))，其中 y=f(u)称为复合函数的外层函数，u=g(x)称为复合函数的内层函数. 问题1 怎样求复合函数的导数呢？复合函数的导数与它的内外层函数的导数有关系吗？ 任务二 数学探究 探究1 先考察y=(3x-1)2的导数？ 探究2 再考察y=sin2x的导数？ 活动三：知识梳理 1、复合函数的定义 2、简单复合函数的求导法则 3、简单复合函数的求导的基本步骤 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 动二：活动探究 类型一 复合函数的分解与求导问题 例1、试说明下列函数是怎样合成的？指出其内、外函数，并求出它们的导数。 (1) y＝(2x－3)2； (2) y＝ln(5x＋1)； (3) y＝； (4) y＝cos(1－2x)。 练习1、判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx；(　　) (2)f (x)＝ln(3x－1)则f ′(x)＝； (　　) (3)f (x)＝x2cos2x，则f ′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x。 (　　) 练习2、函数y＝的导数是( ) (A) (B) (C)－ (D)－ 例2、求下列函数的导数。 (1)y＝cos； (2)y＝x2＋tanx。 变式：求函数 y＝sin4x＋cos4x 的导数。 练习：已知函数，求的值。 例3、利用sinx＝cos()，(cosx)′ ＝－sinx，证明： (sinx)′ ＝cosx。 活动四：课堂检测 课本第208页练习第1、2、3、4、5题。 学科网（北京）股份有限公司 $$