精品解析：山东省菏泽市巨野县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

八年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求． 1. 2算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 三角形的三边长为a，b，c，下列条件不能判断它是直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（　　） A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5° 6. 下列命题中，是真命题的为（　　） A. 一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 一组对边相等且对角线互相垂直四边形是菱形 D. 三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 7. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（　　） A. B. C. 1 D. 2 9. 在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,当平行四边形ABCD的面积最大时,下结论正确的有( ) ①AC=5 ②∠A+∠C=180° ③AC⊥BD ④AC=BD A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 10. 如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：________（填“”，“”或“”）． 12. 若关于的不等式可化为，则的取值范围是_______． 13. 我们把顺次连接四边形四条边中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为和的菱形，它的中点四边形的对角线长是___________． 14. 菱形ABCD的边AB为5，对角线AC为8，则菱形ABCD的面积为_____． 15. 如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算： （2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 18. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形矩形； （2）连接，若，求的长． 19. 如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 20. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接、． （1）求证：； （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 21. 已知关于x的方程 的解是非负数． （1）求a的取值范围； （2）若关于y的不等式组的解集为 ，求所有符合条件的整数a的和． 22. 随着“双减”政策的逐步落实，某校为了加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个篮球和排球，两种球的售价分别为篮球每个160元，排球每个120元． （1）若学校从该商店一次性购买篮球和排球共 60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个篮球？ （2）若该商店到厂家批发购进篮球和排球共100个，按售价全部售出，厂家批发价分别为篮球每个130元，排球每个100元，要使商店的利润不低于2580元，且购进排球数量不少于篮球数量的，商店有哪几种进货方案？ 23. 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）连接，如图，求证：； （2）如图，过点作交于点，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，如图，连接，当，时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求． 1. 2的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴2的算术平方根是， 故选：C． 2. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，算术平方根，立方根，解题的关键是正确理解无理数的定义． 根据无理数的定义，对各选项分析判断即可． 【详解】解：．，是有理数，不符合题意； ．，是有理数，不符合题意； ．是无理数，符合题意； ．是有理数，不符合题意； 故选： ． 3. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 4. 三角形的三边长为a，b，c，下列条件不能判断它是直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，逐项进行计算即可判断． 【详解】A．设， ∴ ∴不能判断它是直角三角形，符合题意； B．∵， ∴，故能判断是直角三角形，不符合题意； C．， ∴，故能判断是直角三角形，不符合题意； D．设， ∴ ∴能判断是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 5. 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（　　） A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5° 【答案】D 【解析】 【详解】正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°， 已知DC⊥CE，则∠ACE=135°， 又∵CE=AC， ∴∠E=22.5°． 故选D． 6. 下列命题中，是真命题的为（　　） A. 一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性． 根据特殊四边形的判定定理逐一分析选项，排除错误选项，确定正确答案． 【详解】A． 一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，而选项中另一组对边仅“相等”不满足条件（如等腰梯形），故为假命题． B． 对角线互相平分的四边形是平行四边形，需对角线相等才是矩形，选项缺少“对角线相等”条件，故为假命题． C． 菱形的判定需对角线互相垂直且平分，或四边相等．选项仅满足一组对边相等和对角线垂直，无法保证是菱形，故为假命题． D． 三个角为直角说明四边形是矩形，而矩形对角线互相垂直时必为正方形，故为真命题． 故选：D． 7. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式组求解，掌握不等式的性质，不等式组取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质求解，再结合不等式组的取值方法，结合不等式组的取值方法即可求解． 【详解】解：， 由①得，， ∵关于的不等式组的整数解共有个， ∴， ∴的值可以是， 故选：C ． 8. 定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为，所以与化简所求解集相同，可得出等式，即可求得m． 【详解】解：由， ∴， 得：， ∵解集为， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式． 9. 在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,当平行四边形ABCD的面积最大时,下结论正确的有( ) ①AC=5 ②∠A+∠C=180° ③AC⊥BD ④AC=BD A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论． 【详解】根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=BD， ∴∠BAD+∠BCD=180° ，AC==5， ①正确，②正确，④正确；③不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形是解决问题的关键． 10. 如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解． 【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值． ∵四边形ABCD菱形， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵ ∴F是BC的中点， ∴AF⊥BC． 则AF＝AB•sin60°＝2． 即的最小值是． 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是的最小值是关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数大小比较解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答． 12. 若关于的不等式可化为，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围． 【详解】解：不等式可化为， ， 解得：， 故答案为：． 13. 我们把顺次连接四边形四条边中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为和的菱形，它的中点四边形的对角线长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 由菱形的性质可得对角线互相垂直，用勾股定理可求菱形边长，根据平行四边形的判定和性质，可得中点四边形的对角线长． 【详解】解：如图，点、点、点、点是菱形各边中点，，， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得，， 故答案为：． 14. 菱形ABCD的边AB为5，对角线AC为8，则菱形ABCD的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，再利用勾股定理求出另一条对角线的长度，根据菱形的面积计算方法求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴ ， ∴， 菱形ABCD的面积． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、菱形面积的计算方法等知识，解题关键是利用勾股定理求菱形的对角线． 15. 如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，正方形的判断与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形． 根据题意分两种情况：在上，，四边形是正方形，；在上，，用勾股定理，解，即可得的长． 【详解】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形， ∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折性质，可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算： （2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 （1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，立方根，绝对值，算术平方根，解不等式组，用数轴表示不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握运算法则和解不等式组． （1）先计算立方根，化简绝对值，算术平方根，再进行加减计算即可； （2）分别解每一个不等式，求公共部分，在数轴上表示即可． 【详解】（1）解： （2）解： 解不等式得，， 解不等式得，， ∴原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 17. 图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合安全标准，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】解：该婴儿车符合安全标准，理由： ∵， ∴在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：该车是否符合安全标准． 18. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】对于（1），先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得，即可得出答案； 对于（2）根据菱形得性质得，再根据勾股定理得，进而得出，然后根据矩形的性质，结合勾股定理求出答案. 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形. ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴. ∵四边形是矩形， ∴. 在中，由勾股定理得：. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，理解特殊平行四边形之间的关系是解题的关键，勾股定理是求线段长的常用方法． 19. 如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可． 【详解】证明：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC， ∵E、F分别是OB、OC的中点， ∴EF∥BC，EF=BC， ∴DE=EF，DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°， ∵M为EF的中点，OM=3， ∴EF=2OM=6． 由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6． 20. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接、． （1）求证：； （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）四边形是菱形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质定理． （1）由平行四边形的性质，可得，由三角形全等的判定和性质，可得，从而证得结论； （2）由平行四边形的性质，可得，根据已知，等量代换可得，结合四边形是平行四边形，即可证得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点是延长线与延长线的交点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 21. 已知关于x的方程 的解是非负数． （1）求a的取值范围； （2）若关于y的不等式组的解集为 ，求所有符合条件的整数a的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组），不等式组的整数解： （1）先用含a的式子表示出该方程的解，再根据解是非负数列不等式，即可求解； （2）根据不等式组的解集为，得出关于a的不等式，结合（1）中结论得出关于a的不等式组，得出整数解，求和即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得， 该方程解是非负数， ， 解得； 【小问2详解】 解： 解不等式得：， 解不等式得：， 该不等式组的解集为 ， ， ， 由（1）得， ， 整数a可能为，或， ， 所有符合条件的整数a的和为． 22. 随着“双减”政策逐步落实，某校为了加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个篮球和排球，两种球的售价分别为篮球每个160元，排球每个120元． （1）若学校从该商店一次性购买篮球和排球共 60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个篮球？ （2）若该商店到厂家批发购进篮球和排球共100个，按售价全部售出，厂家批发价分别为篮球每个130元，排球每个100元，要使商店的利润不低于2580元，且购进排球数量不少于篮球数量的，商店有哪几种进货方案？ 【答案】（1）36个 （2）商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60个，排球40个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，找准不等关系，正确列出不等式以及不等式组是解此题的关键． （1）设学校购买篮球个，排球个，根据“总费用不超过8640元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； （2）设商店到厂家购进篮球个，则排球是个，根据“商店的利润不低于2580元，且购进排球数量不少于篮球数量的”列出一元一次不等式组，解不等式组得出，再根据为整数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设学校购买篮球个，排球个， 依题意得：， 解得， 答：学校最多可购买篮球36个． 【小问2详解】 解：设商店到厂家购进篮球个，则排球是个， 依题意得：， 解得：， 因为为整数， 所以，59，60， 所以商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60个，排球40个． 23. 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）连接，如图，求证：； （2）如图，过点作交于点，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，如图，连接，当，时，请直接写出的长． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质，结合三角形全等的判定和性质，即可证得结论； （2）作于点，于点，可证得，可得，由等边对等角，结合直角三角形两个锐角之间的关系，即可证得结论； （3）在延长线上截取，连接，可证得，从而可证得，可得的长度，根据勾股定理，即可得的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：作于点，于点，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，角平分线的性质，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $