第二章 一元二次方程 单元测试-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年北师大版九年级上册数学 第二章 一元二次方程 单元测试 考试时间：90分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．一元二次方程x2-8x-2=0，配方的结果是（　　） A．（x+4）2=18 B．（x+4）2=14 C．（x-4）2=18 D．（x-4）2=14 2．关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则（　　） A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0 C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0 3．一元二次方程 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 5．把方程转化成的形式，则，的值是（　　） A．3，8 B．3，10 C．，3 D．，10 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A．-1 B．1 C．2 D．3 7．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 8．在一次篮球比赛中，每两个班级进行一场比赛，如果一共进行55场，则参加篮球比赛的班级数为（　　） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 二、填空题（共6小题，共24分） 9．已知x＝﹣2是方程+ax﹣2＝0的根，则a的值是 　 　． 10．已知 、 是方程 的两根，则 　 　. 11．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为　 　. 12．已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是　 　． 13．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长　 　． 14．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　． 三、解答题（共7小题，共44分） 15．解下列方程： （1）； （2） 16．已知：关于x的方程， （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的一个根是5，求m的值及另一个根． 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 18．解方程：嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （1）嘉嘉的解法 ___________；淇淇的解法 ___________；（填“正确”或“不正确”） （2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程． 19．如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 20．在新冠疫情爆发初期，防护服极度匮乏，某市许多企业都积极地生产防护服以应对疫情，某工厂决定引进若干条防护服生产线．经调查发现：1条防护服生产线最大产能是780件/天，每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天．设该工厂共引进x条生产线． （1）每条生产线的最大产能是_______件/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服6380件，为了尽量控制成本，该工厂引进了多少条生产线？ 21．新年平安，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶，设每顶头降价x元，平均每周的销售量为y顶. （1）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是： （2）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元? 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答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】x2-8x=2， x2-8x+16=18， （x-4）2=18. 故答案为：C. 【分析】把-2移到右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方16，然后把方程左边写成完全平方式即可. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：设x1，x2是该方程的两个负数根， 则有x1+x2＜0，x1x2＞0， ∵x1+x2=-p，x1x2=q ∴-p＜0，q＞0 ∴p＞0，q＞0. 故答案为：A. 【分析】设x1，x2是该方程的两个负数根，由根与系数的关系可得x1+x2=-p＜0，x1x2=q＞0，据此判断. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ，△=（-3）2-4×2×1=9-8=1＞0 ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为B． 【分析】运用一元二次方程根的判别式判定方程的根的情况即可． 4．【答案】D 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+2=0有实数根， ∴b2-4ac=，且k≠0 解得：且k≠0 ∴的取值范围是且 故答案为：D． 【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意，列出不等式组，求解即可. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：方程移项得：x2-6x=1， 配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10， ∵方程x2-6x-1=0转化成（x+m）2=n的形式， ∴m=-3，n=10． 故答案为：D． 【分析】此方程二次项系数为1，故将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“9”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，故A符合题意． 故答案为：A． 【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ a，b是一元二次方程的两个实数根 ∴，a+b=-1 ∴ = =2022 故答案为：C 【分析】本题考查一元二次方程与根的关系、根与系数的关系。方程的根满足方程，代入可得等式，两根之和=，两根之积=。由a，b是一元二次方程的两个实数根可得，a+b=-1；计算即可。 8．【答案】C 【解析】【解答】解：设参加比赛的班级有x个，根据题意，得 ， 解得（舍）， 所以参加篮球比赛得班级数为11个． 故答案为：C 【分析】设参加篮球比赛得班级为x个，每两个班级之间进行一场比赛，实际上是一个从n个班级中选取两个班级进行比赛，据此可列出方程：，最后再解方程即可。 9．【答案】1 【解析】【解答】解：由题意可知： 把x＝﹣2代入方程+ax﹣2＝0中 4﹣2a﹣2＝0，解得：a＝1 故答案为1． 【分析】 根据方程解的定义，把x＝﹣2代入方程+ax﹣2＝0得到关于a的方程4﹣2a﹣2＝0，解出a即可． 10．【答案】6 【解析】【解答】解：∵ 、 是方程 的两根， ∴x1+x2=2，x1x2=-1， 所以， = . 故答案为：6. 【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=-1，由于 ，然后代入计算即可. 11．【答案】4 【解析】【解答】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当Δ= b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.即：16-4k=0，解得：k=4. 故答案为：4 【分析】由一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，可得判别式△=0，据此解答即可. 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：． 【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出不等式，求解即可. 13．【答案】20 【解析】【解答】解：， 则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8， 则菱形的边长为， 故菱形的周长为5×4=20， 故答案为20 【分析】先求出菱形的两条对角线长分别为6和8，再利用勾股定理和菱形的周长求解即可。 14．【答案】 【解析】【解答】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【分析】利用公式法求出方程的解，即得三角形的两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长即可. 15．【答案】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：． 【解析】【分析】（1）利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可； （2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可. （1）解：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， 即， 则或， 解得：． 16．【答案】（1）解：∵方程有实数根， ∴，解得：. ∴ 方程有实数根，求实数m的取值范围. （2）解：∵方程的一个根是5， ∴，解得：， ∴原方程为， 解得：， ∴ m的值，另一个根为． 【解析】【分析】（1）根据方程有实数根得：，解出即可. （2）把代入方程，即可求出m的值，进而得出原方程为，即可求出另一个根． （1）解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程的一个根是5， ∴， 解得：， ∴原方程为， 解得：， ∴，另一个根为． 17．【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴，即 ∴； （2）解：∵，， 由得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）根据方程的根的情况，可得出含有参数a的不等式，解不等式即可得出的取值范围； （2）首先根据根与系数的关系得出，然后再把根据完全平方公式进行适当变形，得出，再整体代入，得出关于a的方程，解方程即可求得a的值。 （1）解：∵方程有两个实数根，， ∴，即 ∴； （2）∵，， 由得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 18．【答案】（1）不正确，不正确 （2）（2）解：方法1：当即，方程成立； 当即时， 两边同除以，得，则， ∴，． 方法2：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【解析】【解答】（1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确， 故答案为：不正确，不正确； 【分析】（1）根据一元二次方程的解法，嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中提取公因式中符号错误，进而可作出判断； （2）可根据两人的方法选择求解即可．本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤，根据方程特点灵活选用并正确求解是解答的关键． （1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确， 故答案为：不正确，不正确； （2）解：方法1：当即，方程成立； 当即时， 两边同除以，得，则， ∴，． 方法2：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 19．【答案】（1）解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 当时，不符合题意，舍去， 答：的长为米． （2）解：由（1）得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴围成生态园的面积不能达到． 【解析】【分析】（1）设米，则米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （2）由面积可得，再根据判别式，可得方程无解，即可求出答案. （1）解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 当时，不符合题意，舍去， 答：的长为米． （2）由（1）得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴围成生态园的面积不能达到． 20．【答案】（1） （2）解：根据题意，可列出方程：， 整理得， 解得， ∵为了尽量控制成本， ∴， 答：该工厂引进了11条口罩生产线． 【解析】【解答】（1）解：∵每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天， ∴引进x条生产线每条生产线的最大产能将减少件/天， ∴每条生产线的最大产能是件/天， 故答案为：； 【分析】（1）根据“ 每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天 ”直接列出代数式即可； （2）根据“ 该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服6380件 ”列出方程，再求解即可. （1）解：∵每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天， ∴引进x条生产线每条生产线的最大产能将减少件/天， ∴每条生产线的最大产能是件/天， 故答案为：； （2）解：根据题意，可列出方程：， 整理得， 解得， ∵为了尽量控制成本， ∴， 答：该工厂引进了11条口罩生产线． 21．【答案】（1）解：根据题意得： 降价（元）， 平均每周可多售出：顶，则 平均每周的销售量： . ∴平均每周的销售量（顶）与降价（元）之间的函数关系式是. （2）解：根据题意，得（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4 000， 整理，得 x2﹣23x+60＝0， 解得 x1＝3，x2＝20． 当 x＝3 时，68﹣x＝68﹣3＝65＞58，不符合题意，舍去. 当 x＝20 时，68﹣x＝68﹣20＝48＜58，符合题意． ∴每顶头盔应降价 20 元时， 该商店每周获得4000元的销售利润. 【解析】【分析】（1）根据题意得： 降价（元）， 平均每周可多售出：顶，则 平均每周的销售量：. （2）根据列方程：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4 000解出即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$