第十一讲 认识一次函数（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十一讲 认识一次函数 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：“均匀”变化现象 1. 生活中随处可见“均匀”变化的现象，比如汽车在道路上匀速行驶，意味着每隔一段相同的时间，汽车行驶的距离相同。所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时， 另一个变量的改变量是相同的。 2. 如果一个变量y 随另一个变量x 变化，那么将关系式 y =ax+b (式中a，b 为常数)，说成是y 随x 均匀变化，即y 关于x 的变化率为a，a 不变(变化率不变)。 知识点02：一次函数与正比例函数 1.定义：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝ kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0 时，称y是x的正比例函数.例如： y=4 x+5 是一次函数， y=4 x 是正比例函数 . 2. 一次函数与正比例函数的关系 (1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx (k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0). 知识点03：根据情境列一次函数关系式 列一次函数关系式的步骤 (1)认真分析，理解题意； (2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系； (3)写出一次函数的关系式； (4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义. 考点1：正比例函数的定义 【典型例题】 下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 若函数是正比例函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式训练2】 有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2：一次函数的定义 【典型例题】 下列关于变量x、y的关系式中，y关于x是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练2】 下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 考点3：根据一次函数的定义求参数 【典型例题】 若函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练1】 若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式训练2】 若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点4：求一次函数的自变量或函数值 【典型例题】 下列的点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在直线上，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D．2 【变式训练2】 一次函数的图象一定不经过点（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列函数中，不是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B．     C．    D． 3．已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 4．若点在函数的图象上，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．有下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示y是x的一次函数的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．如果函数是一次函数，那么m的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 7．已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．若一个正比例函数的图像经过，两点，则n的值为（    ） A．-9 B．1 C．4 D．9 二、填空题 9．已知一次函数，则当时，y的值是 ． 10．下列函数中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 ．（请填写序） ①；②；③；④；⑤；⑥． 11．已知点在一次函数的图象上，则的值是 ． 12．已知与成正比例，当时，，则当时， ． 13．如果函数是关于x的一次函数，那么该函数的表达式为 ． 14．已知点A是直线上一点，其横坐标为，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为 ． 15．若是关于x的一次函数，则k的值为 ． 16．一次函数的图象恒过一点，则该点的坐标为 ． 三、解答题 17．已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上． 18．已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 19．已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式： (2)求时的函数值． 20．函数的图象如图所示．根据图象， (1)分别求当，时，所确定的值； (2)分别求当，时，所确定的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十一讲 认识一次函数 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：“均匀”变化现象 1. 生活中随处可见“均匀”变化的现象，比如汽车在道路上匀速行驶，意味着每隔一段相同的时间，汽车行驶的距离相同。所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时， 另一个变量的改变量是相同的。 2. 如果一个变量y 随另一个变量x 变化，那么将关系式 y =ax+b (式中a，b 为常数)，说成是y 随x 均匀变化，即y 关于x 的变化率为a，a 不变(变化率不变)。 知识点02：一次函数与正比例函数 1.定义：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝ kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0 时，称y是x的正比例函数.例如： y=4 x+5 是一次函数， y=4 x 是正比例函数 . 2. 一次函数与正比例函数的关系 (1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx (k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0). 知识点03：根据情境列一次函数关系式 列一次函数关系式的步骤 (1)认真分析，理解题意； (2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系； (3)写出一次函数的关系式； (4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义. 考点1：正比例函数的定义 【典型例题】 下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，形如为常数且的函数是正比例函数，需满足：①自变量的次数为1；②无常数项；③分母不含自变量．根据正比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A．是正比例函数，符合题意； B．，是反比例函数，不符合题意； C．，未知数的次数是二次，不符合题意； D．，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意． 故选：A． 【变式训练1】 若函数是正比例函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，因此常数项必须为零，即可求解． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得， 故选：D． 【变式训练2】 有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数．需逐一判断各选项是否符合条件． 【详解】解：①：，符合的形式，其中，是正比例函数． ②：，符合的形式，其中，是正比例函数． ③：，含项，次数不为1，不符合正比例函数的定义． ④：，无法整理为的形式，故不是正比例函数． 故选B． 考点2：一次函数的定义 【典型例题】 下列关于变量x、y的关系式中，y关于x是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了一次函数的定义，形如为常数)的函数，叫一次函数．根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是常数函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； B.，不是一次函数，故本选项不符合题意； C.，不是一次函数，故本选项不符合题意； D.是一次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练1】 在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解． 【详解】解：一次函数的为：，，共有个， 故选：C． 【变式训练2】 下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据一次函数的定义，（，为常数，），当时，函数为正比例函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，变形为，是正比例函数，故该选项不符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意； 故选：D． 考点3：根据一次函数的定义求参数 【典型例题】 若函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：形如，为常数且，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ． 故选：B． 【变式训练1】 若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练2】 若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质． 直接将点代入计算即可． 【详解】解：将点代入一次函数中，得： 解得： 故选：B． 考点4：求一次函数的自变量或函数值 【典型例题】 下列的点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．依据题意，分别代入各选项中点的横坐标，求出值，再对照各点的纵坐标，即可得出结论． 【详解】解：A．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意； B．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意； C．当时，，点在函数的图象上，选项符合题意； D．当时，，点不在函数的图象上，选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在直线上，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查轴对称与坐标的变化，直线上的点的坐标特征，先求出点的坐标，再代入直线的解析式，求解即可． 【详解】∵点关于轴对称的点是， ∴点的坐标为：， 把代入，得 ， 故选：B． 【变式训练2】 一次函数的图象一定不经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上的点，熟练掌握一次函数图象上的点的横纵坐标满足一次函数的解析式是解题的关键．将选项中的点分别代入解析式逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，，则一次函数的图象一定经过点，不符合题意； B．当时，，则一次函数的图象一定经过点，不符合题意； C．当时，，则一次函数的图象一定经过点，不符合题意； D．当时，，则一次函数的图象一定不经过点，符合题意； 故选：D． 一、单选题 1．下列函数中，不是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、满足一次函数的定义，故该选项不符合题意； B、满足一次函数的定义，故该选项不符合题意； C、满足一次函数的定义，故该选项不符合题意； D、不满足一次函数的定义，故该选项符合题意； 故选：D 2．下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B．     C．    D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．，符合的形式，其中，是正比例函数，符合题意． B．，含常数项1，属于一次函数而非正比例函数，不符合题意． C．，不符合正比例函数的形式，不符合题意． D．，次数为2，不符合正比例函数的定义，不符合题意． 故选：A． 3．已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由条件可得，根据一次函数图象的性质，若点在图象上，则，将选项中的点代入函数，验证是否满足即可确定答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， A、点，代入函数得，与条件完全一致，故必经过该点，符合题意； B、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，（满足），此时，故不必然经过该点，不符合题意； C、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，，此时，故不必然经过该点，不符合题意； D、点代入得，显然矛盾，故不可能经过该点， 故选：A． 4．若点在函数的图象上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，由点在函数的图象上可得，即得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．有下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示y是x的一次函数的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k，b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：①，变形为，符合一次函数的定义， ②不符合一次函数的定义， ③符合一次函数的定义， ④，变形为，符合一次函数的定义， ⑤不符合一次函数的定义， 综上，表示y是x的一次函数的有①③④，共3个， 故选：C． 6．如果函数是一次函数，那么m的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义“一次函数的一般形式为，其中是常数，”，熟练掌握一次函数的定义是解题关键．根据一次函数的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，且， 解得，且， 综上，的值为2， 故选：B． 7．已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，理解一次函数图象上点的坐标满足一次函数的表达式，及“姐妹点”的定义是解决问题的关键． 先设直线上的“姐妹点”的坐标是，再根据“姐妹点”定义得，然后将点M代入之中求出m即可得出答案． 【详解】解：设直线上的“姐妹点”的坐标是， 则， ∴， ∴， ∵点M是直线上的“姐妹点”， ， ∴， ∴点， 故答案为：D． 8．若一个正比例函数的图像经过，两点，则n的值为（    ） A．-9 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【分析】设正比例函数解析式为，利用A点坐标求出解析式，再将B点坐标代入解析式即可求出n． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵在函数图象上， ∴，解之得：，故其解析式为， ∵在函数图象上，将其代入得到：， 故选：D． 【点睛】本题考查正比例函数，会利用待定系数法求解析式，已知解析式和解析式上点的横坐标，会求纵坐标，解题的关键是利用A点坐标求出解析式． 二、填空题 9．已知一次函数，则当时，y的值是 ． 【答案】1 【分析】此题考查求函数值，将自变量的值代入求出答案即可． 【详解】解：将代入， 得， 故答案为1． 10．下列函数中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 ．（请填写序） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】 ①②④⑥ ②⑥/⑥② 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的概念辨析，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数，即的定义特征． 先对各函数表达式进行化简（若有需要），再根据一次函数形如、正比例函数形如的定义，逐一判断每个函数是否符合条件． 【详解】解：①，符合一次函数的形式，是一次函数，不是正比例函数； ②，符合正比例函数的形式，既是一次函数也是正比例函数； ③，既不是一次函数也不是正比例函数； ④，可化为，符合一次函数定义，是一次函数，不是正比例函数； ⑤，未知数最高次数为2，既不是一次函数也不是正比例函数； ⑥，化简得，符合正比例函数定义，既是一次函数也是正比例函数． 因此，是一次函数的有①②④⑥，是正比例函数的有②⑥． 故答案为：①②④⑥；②⑥． 11．已知点在一次函数的图象上，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握性质是本题的关键． 直接把点代入一次函数解析式得到，再整体代入求值即可． 【详解】解；∵点在一次函数的图象上， ∴ ∴ ∴ 故答案为：0． 12．已知与成正比例，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式及求函数值，待定系数法求解析式是解题的关键，根据题意设，进而待定系数求解即可． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设， 当时，，， ， 当时，； 故答案为：． 13．如果函数是关于x的一次函数，那么该函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义得到：，由此求得k的值，再代入函数解析式即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴且，则， ∴该函数的表达式为， 故答案为：． 14．已知点A是直线上一点，其横坐标为，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解题的关键是点坐标． 把代入，求出点坐标，再利用轴对称的性质求出点坐标即可． 【详解】解：点是直线上一点，其横坐标为， 把代入得，， ， 点与点关于轴对称， ， 故答案为：． 15．若是关于x的一次函数，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一次函数的定义求出参数的值，根据一次函数的定义，得到，，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； 故答案为：． 16．一次函数的图象恒过一点，则该点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，将函数解析式整理得出，令，求出的值，代入求出的值，即可求解． 【详解】解：∵， 当，即时， 此时， 即一次函数的图象恒过点． 故答案为：． 三、解答题 17．已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)点在函数的图象上 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，也考查了正比例函数的性质． （1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出k，从而得到y与x的函数关系式； （2）利用（1）中的解析式，计算自变量为2对应的函数值，若函数值等于，则可判断点在这个函数的图象上． 【详解】（1）解：设， 把，代入得， 解得， ∴； （2）解：∵时，， ∴点在函数的图象上． 18．已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解答的关键是熟知：形如的函数是一次函数，形如的函数是正比例函数． （1）根据一次函数的定义即可解答； （2）根据正比例函数的定义即可解答． 【详解】（1）解：当函数是一次函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是一次函数． （2）解：当函数是正比例函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是正比例函数． 19．已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式： (2)求时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数，函数值的计算，掌握正比例、反比例函数的计算是解题的关键． （1）设，则，把时，；当时，，代入计算即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，． 20．函数的图象如图所示．根据图象， (1)分别求当，时，所确定的值； (2)分别求当，时，所确定的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查求一次函数的函数值或自变量， （1）将的值代入解析式的自变量的位置，求出即可； （2）将的值代入解析式的因变量的位置，求出即可； 将给出的变量的值代入解析式求出另一个变量的值并能进行正确的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）当时，得， 解得：， 当时，， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$