精品解析：广东佛山市南海区南海中学2024-2025学年九年级数学三模试卷

南海中学2024—2025学年度初三年级 第三次学业质量监测 数学学科试卷 说明：1．全卷共6页． 2．考试时间为90分钟，满分100分． 3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 第一部分 选择题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年3月15日，《古树名木保护条例》开始施行．最新数据显示，全国普查范围内的古树名木共计万株．将数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 6和7之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 3和4之间 5. 如图，已知直线，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　） A. ﹣＝10 B. ﹣＝10 C. ﹣＝1.5 D. ﹣＝1.5 7. 如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山的高度，家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处测得小明家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝1：2，已知两家水平距离BC＝120米，大树高度DE＝3米，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin10°≈，tan10°≈） A. 55.0米 B. 50.3米 C. 48.1 米 D. 57.3米 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：x2－25=_________________. 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 11. 正方形的边长为，点分别是对角线上的两点，过点分别作的平行线，则图中阴影部分的面积等于_____． 12. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为________． 13. 如图，在中，于点D，且，点E在上，连接，若，，，则的长______． 二、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 （1）甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______（填写下列选项字母） A．不等式的基本性质； B．加法交换律； C．分式的基本性质； D．乘法分配律 （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 16. 某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分，现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下，请根据以上信息，完成下列问题： 平均数 中位数 众数 第1小组 4 a 第2小组 b 5 第3小组 c 3 （1）第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度； （2）______，______，______； （3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 17. 2025年春晚名为《秧》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； 型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 18. 如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点． （1）尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长． 19. 已知二次函数． 【特例分析】 （1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，请在图中画出当时的函数图象； 【性质探究】 （2）观察图象，发现二次函数恒过定点______，对称轴为______； 【性质运用】 （3）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值； （4）设点，在该二次函数的图象上，且，实数m的取值范围为______； （5）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为______； 20. 综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． （1）理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则______；______． （2）问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸 已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海中学2024—2025学年度初三年级 第三次学业质量监测 数学学科试卷 说明：1．全卷共6页． 2．考试时间为90分钟，满分100分． 3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 第一部分 选择题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，解题的关键是正确理解主视图． 根据从正面看到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，可看到一个直角三角形，且直角顶点位于左下角， ∴只有选项符合题意， 故选：． 2. 2025年3月15日，《古树名木保护条例》开始施行．最新数据显示，全国普查范围内的古树名木共计万株．将数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据用科学记数法表示较大的数时，中的范围是，是正整数，与原数的整数部分的位数的关系是，据此解答即可． 【详解】解：万， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、乘方运算、合并同类项、完全平方公式，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项不能合并，故错误，不合题意； B.，故正确，符合题意； C.，故错误，不合题意； D.，故错误，不合题意； 故选：B． 4. 估计的值在（ ） A. 6和7之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用估算无理数的方法，找到与30相邻的两个完全平方数，即可确定的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 的值在和之间． 5. 如图，已知直线，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据平行线的性质得到的度数，再根据角的和差解题即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选D． 6. 某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　） A. ﹣＝10 B. ﹣＝10 C. ﹣＝1.5 D. ﹣＝1.5 【答案】B 【解析】 【分析】关键描述语是：“结果比用原价多买了10瓶”；等量关系为：实际价格买的瓶数-原价买的瓶数=10． 【详解】原价可买瓶，经过还价，可买瓶．方程可表示为： −=10． 故选B. 【点睛】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意讨价前后商品的单价的变化． 7. 如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山的高度，家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处测得小明家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝1：2，已知两家水平距离BC＝120米，大树高度DE＝3米，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin10°≈，tan10°≈） A. 55.0米 B. 50.3米 C. 48.1 米 D. 57.3米 【答案】C 【解析】 【分析】延长ED交BF于点H，则EH⊥BF，过点E作EG⊥AB于点G，可得四边形BGEH是矩形，根据坡面CD的坡度i＝1：2，设DH＝x，则CH＝2x，可得GE＝BH＝BC+CH＝120+2x，BG＝HE＝HD+DE＝x+3，再根据锐角三角函数即可求出AB的值，进而求出小山山顶D到水平面BF的垂直高度． 【详解】解：如图， 延长ED交BF于点H，则EH⊥BF， 过点E作EG⊥AB于点G， ∵AB⊥BF， ∴四边形BGEH是矩形， ∴GE＝BH，BG＝EH， ∵坡面CD的坡度i＝1：2， ∴＝， 设DH＝x，则CH＝2x， ∴GE＝BH＝BC+CH＝120+2x， BG＝HE＝HD+DE＝x+3， 在Rt△ABC中，∠ACB＝37°，BC＝120， ∴AB＝120×tan∠ACB≈90， 在Rt△AEG中，∠AEG＝10°，AG＝AB﹣BG＝90﹣（x+3）＝87﹣x， ∴tan10°＝， 即＝， 解得x≈48.1（米）． 答：小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为48.1米． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：x2－25=_________________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 11. 正方形的边长为，点分别是对角线上的两点，过点分别作的平行线，则图中阴影部分的面积等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可知四边形，四边形是正方形，由此即可将阴影部分的面积转换为正方形面积的一半． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形，，， ∴四边形，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形，求不规则图形的面积的综合，理解题意，掌握正方形的性质，不规则图形的面积计算方法是解题的关键． 12. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，求出的面积，进而得到的值，根据值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴轴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在中，于点D，且，点E在上，连接，若，，，则的长______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是综合相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质解决问题．作的垂直平分线交于点，连接，根据已知条件证明，可得，设，，再根据勾股定理即可求出和的值，进而可得结论． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ，， ，， ， 整理得， 在中，根据勾股定理，得， 即， 把代入，整理得， 解得，（不符合题意舍去）， ． ． 故答案为：8． 二、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 15. 化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 （1）甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______（填写下列选项字母） A．不等式的基本性质； B．加法交换律； C．分式的基本性质； D．乘法分配律 （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）C；D （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则计算，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故选：C；D； 【小问2详解】 解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 16. 某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分，现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下，请根据以上信息，完成下列问题： 平均数 中位数 众数 第1小组 4 a 第2小组 b 5 第3小组 c 3 （1）第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度； （2）______，______，______； （3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）18 （2）5；；3 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、折线统计图、加权平均数、中位数、众数、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、加权平均数、中位数、众数的定义、概率公式是解答本题的关键． （1）用乘以扇形统计图中1分的百分比可得答案． （2）根据众数、中位数、平均数的定义可得答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为． 故答案为：18； 【小问2详解】 解：由条形统计图可得，出现次数最多的是，故， 由扇形统计图可得，， 将第3小组的20人的得分按照从小到大的顺序排列，排在第10和11名的分数为3分，3分， ． 故答案为：5；；3． 【小问3详解】 解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， 所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为． 17. 2025年春晚名为《秧》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； 型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】（1）型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元 （2）购买A型号智能机器人5台，购买B型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程组和函数表达式成为解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设每天分拣快递的件数为万件，购买A型号智能机器人，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，根据题意可得，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， ，解得． 答：A型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． 【小问2详解】 解：设每天分拣快递的件数为万件，购买A型号智能机器人，且为整数）台，则购买型号智能机器人台， 根据题意得：， ，解得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值． （台）， ∴购买A型号智能机器人5台，购买B型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多． 18. 如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点． （1）尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长． 【答案】（1）如图，点C即为所求； 证明：∵点E是线段OP的中点， ∴OE＝EP， ∵EC＝EP， ∴OE＝EC＝EP， ∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P， ∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°， ∴∠ECO+∠ECP＝90°， ∴OC⊥PC，且OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线； （2）8 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图：以点E为圆心，EP长为半径画弧，在直径AB上方的圆上交一点C，再根据已知条件可得OE＝EC＝EP，根据三角形内角和可得∠ECO＋∠ECP＝90°，进而证明PC是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，根据BP＝4，EB＝1，可得EP的长，进而可得半径，再根据勾股定理即可求PC的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵BP＝4，EB＝l， ∴OE＝EP＝BP+EB＝5， ∴OP＝2OE＝10， ∴OC＝OB＝OE+EB＝6， 在Rt△OCP中，根据勾股定理，得PC＝＝8． 则PC的长为8． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图、线段垂直平分线的性质、切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 19. 已知二次函数． 【特例分析】 （1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，请在图中画出当时的函数图象； 【性质探究】 （2）观察图象，发现二次函数恒过定点______，对称轴为______； 【性质运用】 （3）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值； （4）设点，在该二次函数的图象上，且，实数m的取值范围为______； （5）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为______； 【答案】 （1）图象如图所示： （2）和，直线； （3）的值为或； （4）且； （5）或或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，图象的画法，图象过定点问题，图象和平移规律，二次函数的函数值大小，二次函数与线段的交点问题（动线段），熟练掌握以上知识点并学会分类讨论是解题的关键． （1）当时，，画出图象即可； （2）因为，令，则或2，此时，从而可求得定点坐标，继而由对称性可得对称轴； （3）由可知抛物线的顶点为，由平移可知，再根据和时，分别解方程即可； （4）由题意可知，，从而，进而可得且； （5）当时，只要当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；或者当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；当时，可得线段与此函数图象恒有且只有一个公共点，即可求解． 【详解】解：（1）当时，； （2），令， 则或2，此时， 故二次函数恒过定点和， 由对称性可知对称轴为直线， 故答案为：和，直线； （3）由可知抛物线的顶点为， 由平移可知， 当时，解得； 当时，解得， 综上，的值为或； （4）由题意可知，， ， ， ，从而， 即， 故答案为：且， （5）当时， ①当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点， 即， 解得； ②当时，，且当，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点， 即， 解得， 当时， 当时，；当时，， 因为， 则， 线段与此函数图象恒有且只有一个公共点， 综上所述，的取值范围为或或． 20. 综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． （1）理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则______；______． （2）问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸 已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 【答案】（1）2； （2）， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）由得到，得到，根据相似三角形的性质即可求出．根据勾股定理在中，求出，进而在中求出； （2）由得到，得到，因此，设，则，，在中，根据勾股定理求得，进而有，，即可得到； （3）分两种情况讨论：①若，则由，得到，设，则，，证明，得到，求得，即，在中，根据勾股定理即可求出．②若，同①思路即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ． ， 在中，， 在中，． 故答案为：2；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①如图，若， 在矩形中，， ， ， 设，则，， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，即， 解得（负值舍去）， ， 在中，； ②如图，若， 在矩形中，， ， ， 设，则，， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，即， 解得（负值舍去）， ， 在中，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查平行四边形与矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $