精品解析：2025年江苏省常州市市北实验初级中学九年级中考模拟数学试题

2025年市北实验初中中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，16分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x≠2 D. x＜2 【答案】C 【解析】 【分析】令分母不等于0求解即可． 【详解】由题意得 x-2≠0， ∴x≠2． 故选C． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 3. 如图所示的立体图形由大小相同的正方体积木堆叠而成，拿走图中的一块积木后，此图形主视图的形状会改变．这块积木可以是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键要掌握画物体的三视图的口诀： ①主、俯：长对正；②主、左：高平齐；③俯、左：宽相等． 找到从几何体的正面看所得到的图形即可． 【详解】解：拿走图中的“乙”一个积木后，此图形主视图的形状会改变，第二列小正方形的个数由原来的两个变成一个． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 常州作为新崛起的新能源之都，新能源之都澎湃起势．2023年常州新能源产业产值超7600亿元，整车产量近68万辆，投资热度全国第一．数字7600用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选A． 6. 坐标平面上，一次函数的图象通过下列哪一个点（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各点代入一次函数的解析式即可进行验证． 【详解】解：A．当时，所以一次函数的图象不过点，因此选项A不符合题意； B．当时，，所以一次函数的图象过点，因此选项B符合题意； C．当时，所以一次函数的图象不过点，因此选项C不符合题意； D．当时，，所以一次函数的图象不过点，因此选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查判断给定点是否在已知函数图象上．代入验证即可． 7. 业者贩售含咖啡因饮料时通常会以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量，各颜色的意义如表（一）所示． 表（一） 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过200毫克 黄色 超过100毫克，但不超过200毫克 绿色 不超过100毫克 表（二） 容量 咖啡因含量标示 中杯 360毫升 黄色 大杯 480毫升 红色 中国建议每位成人一日的咖啡因摄取量不超过300毫克，欧盟则建议一日不超过400毫克．表（二）为某商店美式咖啡的容量及咖啡因含量标示，已知该店美式咖啡每毫升的咖啡因含量相同，判断一位成人一日喝2杯该店中杯的美式咖啡，其中咖啡因摄取量是否符合我国或欧盟的建议（　　） A. 符合中国也符合欧盟 B. 不符合中国也不符合欧盟 C. 符合中国，不符合欧盟 D. 不符合中国，符合欧盟 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，不等式的性质，正确理解题意，表示出取值范围是关键． 求出2杯该店中杯的咖啡因含量的取值范围即可得出答案． 【详解】解：设咖啡因含量为x毫克， 根据题意可知一杯中杯的咖啡因含量为， 所以2杯该店中杯的咖啡因含量为， 所以不一定符合我国，符合欧盟． 故选：D． 8. 匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键． 根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分， 所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高． 因为瓶子的上半部分是圆柱， 所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升． 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 有理数4的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．根据算术平方根的概念进行计算即可． 【详解】解：有理数4的算术平方根是， 故答案为：． 10. 分解因式：=__________________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）= 考点：分解因式 点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式． 11. 计算的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、求一个数的绝对值，先计算零指数幂、绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 【答案】4 【解析】 分析】将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 13. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为， 烟囱帽的侧面积（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键． 14. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 15. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出． 16. 我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨的中点为E，最长的斜拉索长，记与大桥主梁所夹的锐角为，那么用的长和的三角函数表示主跨长的表达式应为_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，函数关系式，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的中点定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：． 17. 图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为___________．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为___________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得，连接，取的中点，连接，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∵过左侧的三个端点作圆，， 又， ∴在上，连接，则为半径， ∵， 在中， ∴ 解得：； 连接，取的中点，连接，交于点，连接，， ∵， ∴， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， 又， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， 设，则 在中， 即 整理得 即 解得：或 ∴题字区域的面积为 故答案为：；． 【点睛】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 如图，一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1）．现将绕点按顺时针方向旋转，边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等边三角形，点在直线上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求出和，然后根据线段扫过的面积列式计算即可． 【详解】解： 如图，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，， 由旋转的性质得，，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即垂直平分， ∵是等腰直角三角形， ∴点在直线上， 是旋转到的过程中任意位置， 则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积， ∵， ∴， ∴， 作于N， 则， ∴， 过点B作交的延长线于M， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积 ， 故答案为：．     【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点在直线上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 分析】分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后将代入即可． 【详解】解：原式= = 将代入 原式=． 【点睛】本题考查整式的混合运算，二次根式的化简求值．熟练掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则是解决此题的关键． 20. 解方程和不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． （1）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验即可得出答案； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， 是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为． 21. 某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示． 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） B 216 215 220 C 225 227.5 227.5 （1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数． （2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议． 【答案】（1）平均里程：200km；中位数：，众数： （2）见解析 【解析】 【分析】（1）观察统计图，根据平均数、中位数和众数的计算方法求解即可； （2）根据各型号汽车的平均里程、中位数、众数和租金方面进行分析． 【小问1详解】 解：由统计图可知： A型号汽车的平均里程：， A型号汽车的里程由小到大排序：最中间的两个数（第10、11个数据）是200、200，故中位数， 出现充满电后的里程最多的是205公里，共六次，故众数为． 【小问2详解】 选择B型号汽车．理由：型号汽车的平均里程、中位数、众数均低于，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；，型号汽车的平均里程、中位数、众数都超过，其中型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车． 【点睛】本题考查了统计量的选择，平均数、中位数和众数，熟练掌握平均数、方差、中位数的定义和意义是解题的关键． 22. 小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩． （1）小华选择C项目的概率是_________； （2）用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：共有三个热门项目，小华选择C项目的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表法如图， 小华 小丽 共有9种等可能结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目，有6种， ∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》） 【答案】边宽为，天头长为 【解析】 【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可． 【详解】解：设天头长为， 由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为， 边的宽为， 装裱后的长为， 装裱后的宽为， 由题意可得： 解得， ∴， 答：边的宽为，天头长为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系． 24. 如图，在中，，为的中点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作的垂线，与交于点，与线段交于点． （1）依题意补全图形； （2）设，求的度数（用含的代数式表示）； （3）探究，和之间的等量关系，并给出证明． 【答案】（1）见解析；（2）∠CDF=45°-α；（3）2（DF-DG）＝EC，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图形即可． （2）利用直角三角形斜边中线定理以及等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题． （3）结论：2（DF-DG）＝EC．作BH⊥FG交FG于H．想办法证明△BHG等腰直角三角形，△BDH≌△CDF即可解决问题． 详解】解：（1）图形如图所示． （2）∵∠BAC＝90°，BD＝CD， ∴AD＝DB＝DC， ∴DBA＝∠DAB＝α， ∴∠ADC＝∠DBA+∠DAB＝2α， ∵DA⊥DC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠CDE＝90°-2α， ∵DE＝DA＝DC，DF⊥EC， ∴∠CDF＝∠EDF=∠CDF＝45°-α． （3）结论：2（DF-DG）＝EC． 理由：如图，作BH⊥FG交FG于H． ∵∠H＝90°， ∴∠DBH+∠BDH＝90°， ∵∠BDH＝45°﹣α， ∴∠DBH＝45°+α， ∵∠ABC＝α， ∴∠HBG＝45°， ∴∠HBG＝∠BGH＝45°， ∴BH＝HG， ∵∠H＝∠DFC＝90°，BD＝DC，∠BDH＝∠CDF， ∴△BDH≌△CDF（ASA）， ∴CF＝BH，DF＝DH， ∵DC＝DE，DF⊥EC， ∴CF＝EF，EC＝2CF， ∴DF﹣DG＝DH﹣DG＝HG＝BH＝CF， ∴2（DF﹣DG）＝EC． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 25. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 26. 如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，，则 ； （2）如图①，在中，，，．若是的平分线，不难证明是“准互余三角形”．试问在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由； （3）如图②，在四边形中，，，，，且是“准互余三角形”，求对角线的长． 【答案】（1）15 （2）存在， （3）40 【解析】 【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义得到，进而求解即可； （2）首先得到是“准互余三角形”，由也是“准互余三角形”，得到，然后证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可； （3）如图②中，将沿翻折得到，首先证明出A、B、F共线，得到，然后推出，证明出，得到，设，则，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵是“准互余三角形”，，， ∴，即 ∴； 【小问2详解】 解：如图①中， 在中，∵，， ∴， ∴是“准互余三角形”， ∵也是“准互余三角形”， ∴只有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图②中，将沿翻折得到． ∴，，， ∵，， ∴， ∴A、B、F共线， ∴ ∴， ∴只有， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 ∴ ∴或（舍弃）， ∴， 在中，． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 27. 抛物线交轴于两点（在的左边），已知坐标，抛物线交轴于点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，点在抛物线段上，过点作轴垂线，分别交轴、线段于两点，连接，若与相似，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上?若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）点在一条定直线上 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）分两种情况：若时，则；若时，过作轴于；分别求解即可； （3）求出直线的解析式为：，直线的解析式为，联立求出，从而即可得解． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线解析式得， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：在中，令，则， 解得：，， ， 点在抛物线段上， 设点的坐标为， 如图，若时，则， ， ， ， ， 解得：（舍去）或； 如图，若时，过作轴于， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 整理得：， 解得：（舍去）或； 综上所述，符合题意的的值为或，则点的坐标为或； 【小问3详解】 解：点在一条定直线上， 由题意得知抛物线：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ， 为的中点， ， 设，， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 直线经过点， ， 同理可得：直线的解析式为：，直线的解析式为， ， 联立得：， 直线与直线交于点， ，则， ， ， ， 设点在直线上，则， 整理得：， 比较系数可得：，， 解得：，， 当，时，无论，为何值时，等式恒成立， 点在一条定直线上． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，次函数图象上点的坐标特征等，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题． 28. 【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠结合正方形的性质推出，再根据可证明结论； （2）连接．由全等的性质结合折叠以及正方形的性质推出，在 与 中根据勾股定理得出等式即可推出结果； （3）分①当点在点的左侧时，②当点在点的右侧时，两种情况画出图形分别求解． 【详解】（1）证明：∵是由折叠得到， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接． ， ， 由折叠可知， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 或（舍去）， ； （3）解：如图，连接， 由题意， 设， 设． ①当点在点的左侧时， ∵， ∴， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍弃）， ∴； ②当点在点的右侧时，如图， 设，同理， ∵， ∴， ∴， 即， ∴或（舍弃）， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年市北实验初中中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，16分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x≠2 D. x＜2 3. 如图所示的立体图形由大小相同的正方体积木堆叠而成，拿走图中的一块积木后，此图形主视图的形状会改变．这块积木可以是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 常州作为新崛起的新能源之都，新能源之都澎湃起势．2023年常州新能源产业产值超7600亿元，整车产量近68万辆，投资热度全国第一．数字7600用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 6. 坐标平面上，一次函数的图象通过下列哪一个点（　　） A. B. C. D. 7. 业者贩售含咖啡因饮料时通常会以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量，各颜色的意义如表（一）所示． 表（一） 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过200毫克 黄色 超过100毫克，但不超过200毫克 绿色 不超过100毫克 表（二） 容量 咖啡因含量标示 中杯 360毫升 黄色 大杯 480毫升 红色 中国建议每位成人一日的咖啡因摄取量不超过300毫克，欧盟则建议一日不超过400毫克．表（二）为某商店美式咖啡的容量及咖啡因含量标示，已知该店美式咖啡每毫升的咖啡因含量相同，判断一位成人一日喝2杯该店中杯的美式咖啡，其中咖啡因摄取量是否符合我国或欧盟的建议（　　） A. 符合中国也符合欧盟 B. 不符合中国也不符合欧盟 C. 符合中国，不符合欧盟 D. 不符合中国，符合欧盟 8. 匀速地向如图所示一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 有理数4的算术平方根是______． 10 分解因式：=__________________. 11. 计算结果为_______． 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 13. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_____________．（结果保留） 14. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为_____． 15. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 16. 我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨的中点为E，最长的斜拉索长，记与大桥主梁所夹的锐角为，那么用的长和的三角函数表示主跨长的表达式应为_____； 17. 图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为___________．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为___________． 18. 如图，一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1）．现将绕点按顺时针方向旋转，边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 _____________． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解方程和不等式组： （1）； （2）． 21. 某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示． 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） B 216 215 220 C 225 2275 227.5 （1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数． （2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议． 22. 小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩． （1）小华选择C项目的概率是_________； （2）用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率． 23. 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》） 24. 如图，在中，，为的中点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作的垂线，与交于点，与线段交于点． （1）依题意补全图形； （2）设，求的度数（用含的代数式表示）； （3）探究，和之间的等量关系，并给出证明． 25. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 26. 如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，，则 ； （2）如图①，在中，，，．若是的平分线，不难证明是“准互余三角形”．试问在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由； （3）如图②，在四边形中，，，，，且是“准互余三角形”，求对角线的长． 27. 抛物线交轴于两点（在的左边），已知坐标，抛物线交轴于点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，点在抛物线段上，过点作轴垂线，分别交轴、线段于两点，连接，若与相似，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上?若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 28. 【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $